Quelques utilisations du condensateur, bac Mayotte 2022.

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A. La balance capacitive.

Lorsque la balance est � vide (sans masse sur le plateau), la distance entre les deux armatures est not�e e0. Lorsqu’un objet de masse M est pos� sur le plateau de pes�e, les armatures du condensateur se rapprochent, modifiant alors la valeur de sa capacit� C. Les deux armatures ne peuvent pas entrer en contact gr�ce � la pr�sence de petites but�es de taille n�gligeable devant e0. La mesure de la capacit� C par un dispositif �lectronique permet alors de d�terminer la masse M de l’objet.
Capacit� d'un condensateur plan.

C = e0 er S /e.
 . C : capacit� du condensateur en Farad (F) ;  S : superficie des armatures ;  e0 : permittivit� di�lectrique du vide = 8,85�10-12 F�m-1 ; er: permittivit� di�lectrique relative de l’isolant entre les armatures. Pour l’air : er = 1,0 ;
 e : distance entre les 2 armatures ;  e0 = 1 cm.
1. Domaine d’utilisation de la balance.
 1.1. D�terminer la valeur de la capacit� C0 du condensateur lorsque la balance est � vide. Commenter.
S =4,0 10-2 x 3,0 10-2 =1,2 10-3 m2.
C0 =8,85 10-12 x 1,2 10-3 / 10-2~1,1 10-12 F, valeur assez faible.
 1.2. Pr�ciser si la capacit� du condensateur augmente ou diminue lorsque l’on place une masse sur le plateau. Justifier.
La distance des armatures diminue, S reste constante, donc la capacit� augmente.
. 1.3. Lorsqu’un objet de masse M est pos� sur le plateau, la distance entre le plateau et le support passe de D0 � D et le plateau exerce sur l’objet une action mod�lis�e par une force F dirig�e vers le haut. La valeur de cette force est donn�e par la relation :
 F =k (D0- D) , avec k = 980 N�m-1 .
1.3.1. L’objet de masse M �tant � l’�quilibre sur le plateau, v�rifier que, connaissant la distance D entre le plateau et le support, on peut d�duire M par la relation : M = k(D0-D) / g o� g est l’intensit� de la pesanteur : g = 9,8 N�kg-1 .
Le poids compense  l'action exerc�e par le plateau.
Mg=k (D0- D) ; M = k(D0-D) / g

 1.3.2. En admettant que l’armature mobile du condensateur se d�place de la m�me distance que le plateau lorsqu’un objet de masse M est pos� sur celui-ci, calculer la masse maximale que peut mesurer cette balance.
Distance minimale des armatures : D =e0-h = 10-0,5 = 9,5 mm = 9,5 10-3 m.
Mmaxi =980 x9,5 10-3 / 9,8 =0,95 kg.
2. Mesure de la masse � peser.
Pour d�terminer la valeur de la capacit� C du condensateur et en d�duire la valeur de la masse immobile sur le plateau, on �tudie la charge du condensateur � partir du circuit ci-dessous. � l’instant t = 0, le condensateur est d�charg� ; on applique alors au circuit la tension E.

2.1. Montrer que l’�quation diff�rentielle v�rifi�e par la tension aux bornes du condensateur peut  s'�crire :
RC dUc/dt +Uc = E.
Additivit� des tensions : E = Uc + UR.
UR = RI ; I = dQ /dt = CdUc/dt.
Par suite E = Uc +RCdUc /dt.
2.2. D�terminer l’expression de t en fonction de R et de C pour que la fonction Uc(t) = E(1-exp(-t / t)) soit solution de l’�quation diff�rentielle pr�c�dente.
On d�rive : dUc /dt = E/ t exp(-t / t).
Repport dans l'�quation diff�rentielle :
E = E(1-exp(-t / t)) +E RC/ t exp(-t / t).
t = RC.
On enregistre les valeurs de la tension Uc aux bornes du condensateur au cours du temps pour deux masses M1 et M2 diff�rentes. Les courbes sont fournies.
2.3. Pour quelle courbe, 1 ou 2, du graphique 1, la valeur de la capacit� du condensateur est-elle la plus �lev�e ? Justifier.
La distance des armatures est la plus faible ( donc C et t les plus �lev�s ) pour la masse la plus grande ( courbe 2).

 2.4. En exploitant les graphiques 1 et 2, d�terminer la valeur de la masse pes�e M2. La m�thode utilis�e devra �tre pr�cis�e sur les graphiques fournis.
C =44 10-6 / 107=4,4 10-12 F.
1 /C ~2,3 1011 F-1.

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 Acc�l�rateur lin�aire de particules.
 On s’int�resse dans cette partie � un acc�l�rateur lin�aire de particules constitu� de blocs m�talliques cylindriques s�par�s par des cavit�s vides, et comprenant au voisinage de leur axe un passage tubulaire dans lequel les particules charg�es peuvent se d�placer. Les particules, ici des protons, sont acc�l�r�es dans les cavit�s, o� r�gne un champ �lectrique E . Dans les passages tubulaires, le champ �lectrique est nul. Toutes les cavit�s ont la m�me longueur d. Dans cet exercice, on �tudie le mouvement d’un proton.

Les protons sont �mis par une source avec une vitesse n�gligeable.
Donn�es :  masse d’un proton : mp = 1,67�10-27 kg ;  charge �lectrique �l�mentaire : e = 1,60�10-19 C ;  expression de la norme du vecteur champ �lectrique : E = U /d , o� U repr�sente la tension entre deux blocs cons�cutifs et d la distance les s�parant.
1. Mod�lisation par un condensateur plan.
 L’ensemble constitu� par une cavit� et deux blocs adjacents peut �tre mod�lis� par un condensateur plan reli� � un g�n�rateur d�livrant une tension continue UAB = 1 kV. On �tudie l’acc�l�ration d’un proton � l’int�rieur de la cavit�. Un proton de charge q = e entre dans la cavit�, en O, � la date t0 = 0,0 s avec une vitesse initiale nulle et atteint l’armature B au point S avec une vitesse v.

1.1. Pr�ciser le signe des charges port�es par les armatures A et B du condensateur si on souhaite que le proton soit acc�l�r� entre ces deux armatures. Justifier la r�ponse.
Le proton porte une charge positive, il sera acc�l�r� si B porte une charge n�gative.
1.2. Exprimer la norme Fe de la force �lectrique mod�lisant l’action exerc�e sur le proton entre les armatures du condensateur. Exprimer le r�sultat en fonction de UAB, q et d.
F = qE = e E = e UAB / d.
On montre que le travail de la force �lectrique Fe entre les points O et S est : W = q�UAB.
 1.3. Exploiter le th�or�me de l’�nergie cin�tique pour montrer que la vitesse du proton au point S est (2qUAB / m)�.
�mv2 - 0 = W = qUAB.
v2 =2qUAB / m.
v =(2qUAB / m)�.
 1.4. Calculer la valeur de v.
v = (2 x1,6 10-19 x1000 / (1,67 10-27) )� =4,38 105 m /s.
2. Constitution de l’acc�l�rateur lin�aire de particules.
 Pour que l’acc�l�ration se poursuive dans les diff�rentes cavit�s, la polarit� de chaque tube est alternativement positive et n�gative : pour cela, le g�n�rateur d�livre une tension ua(t) alternative de p�riode T = 5,0�10-7 s.


On note d la distance entre deux blocs, LA la longueur bloc A, LB la longueur du bloc B, etc.
 2.1. Justifier la n�cessit� de changer le signe de la tension entre les blocs B et C lors du passage de la particule de la premi�re cavit� � la deuxi�me. Dans un bloc, le mouvement d’une particule est suppos� rectiligne uniforme.
2.2. Justifier que le proton doit parcourir la longueur d’un bloc plus la longueur d’une cavit� en 2,5�10-7 s.
Le champ �lectrique r�gnant dans les intervalles �tant variable au cours du temps, la fr�quence de la tension Ua(t) et la longueur des tubes sont choisies tr�s pr�cis�ment pour que les protons arrivent dans chaque intervalle � l'instant o� le sens du champ �lectrique est tel qu'il permet leur acc�l�ration.
  A t = T /4, Ua(t) >0, alors VA > VB et le champ �lectrique pointe vers le plus petit potentiel, S1 dans l'intervalle 1 et vers O2 dans l'intervalle 2.

2.3. M�me question � t = 3T /4.
A t = 3T /4, Ua(t) < 0, alors VA < VB et le champ �lectrique pointe vers le plus petit potentiel, O1 dans l'intervalle 1 et vers S2 dans l'intervalle 2.

A t = T /4, Ua(t) est positive et maximale alors, VA > VB et le champ �lectrique pointe vers le plus petit potentiel, S1 dans l'intervalle 1 et vers O2 dans l'intervalle 2.
A t = 3 T / 4, pour �tre acc�l�r� de mani�re optimale, |Ua(t) |doit �tre maximale.
La dur�e du passage entre les tubes doit �tre �gale � �T.

2.3. Expliquer qualitativement pourquoi les blocs sont de plus en plus longs dans l’acc�l�rateur lin�aire.
La vitesse des protons augmente et la dur�e du passage entre les tubes est constante, �gale � �T.
Un vitesse est une longueur divis�e par une dur�e.
La longueur des tubes doit donc cro�tre.
 Dans les ann�es 1970, l’acc�l�rateur lin�aire de protons de Los Alamos (USA), long de 800 m, permettait d’obtenir des protons d’�nergie �gale � 8,0 MeV � l’aide d’une tension ua(t) caract�ris�e par Ua max = 1 kV.
 2.4. D�terminer le nombre de cavit�s acc�l�ratrices n�cessaires pour qu’un proton atteigne une �nergie �gale � 8,0 MeV. On consid�re que le gain en �nergie cin�tique est identique pour toutes les cavit�s.
Energie cin�tique d'un proton � la sortie d'une cavit� : �m v2 = 0,5 x1,67 10-27 x(4,38 105 )2 =1,6 10-16 J ou 1,6 10-16 / (1,6 10-19) =1 keV = 10-3 MeV.
Il faut donc : 8,0 103 cavit�s.

  
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