Le rover am�ricain Pers�v�rance, qui s'est pos� sur la
plan�te Mars le 18 f�vrier 2021 dans le crat�re Jezero,
est un v�hicule de la taille d'une voiture et �quip� de
multiples capteurs et instruments de mesure.
Apr�s six mois et demi de voyage environ, le rover
am�ricain, prot�g� dans sa capsule, a accompli un
encha�nement d�licat et rigoureux d’actions pour se
poser. Tout s'est jou� en seulement 7 minutes : � les
sept minutes de terreur �.
Cet enchainement d�licat se d�roule en 4 phases ;
comme pr�sent� sur la figure 1 :
• phase 1 : la descente ralentie du Sky Crane portant
le rover
• phase 2 : le surplace du Sky Crane
• phase 3 : la descente � vitesse constante suivie du
d�p�t du rover
• phase 4 : l'�jection du Sky Crane.
intensit� du champ de pesanteur au voisinage de la surface de Mars : g = 3,7 m∙s
-2
�tudes cin�matique et dynamique lors de la descente autopropuls�e (phases 1 � 3)
Dans cette premi�re question, le syst�me �tudi� est l'ensemble � Sky Crane + rover
Pers�v�rance � (assimil� � un point mat�riel) dans un r�f�rentiel consid�r� galil�en li� �
Mars. Pour simplifier l’�tude, on consid�rera que les mouvements �tudi�s sont rectilignes et
que les frottements sont n�gligeables.
1. Compl�ter le tableau. On notera F la
force de propulsion des r�trofus�es du Sky Crane, qui permettent de ralentir ou
d’emp�cher la descente de l'ensemble. Les vecteurs (forces, vitesse ou acc�l�ration)
seront repr�sent�s sans souci d’�chelle. Leurs longueurs devront cependant �tre
coh�rentes avec la situation �tudi�e ainsi qu’avec leurs �volutions au cours du temps.
�jection du Sky Crane une fois le rover d�pos� (phase 3 � 4).
Mouvement �tudi�
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Etude cin�matique
(repr�senter la vitesse et l'acc�l�ration)
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Etude dynamique
( repr�senter F)
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Justifier l'�tude dynamique � partir d'une loi.
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La descente ralentie entre (1) et (2)
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Seconde loi de Newton.
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Le surplace (2).
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Vitesse et acc�l�ration nulles.
F et P se compensent.
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Premi�re loi de Newton.
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La descente � vitesse constante entre (2) et (3)
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Acc�l�ration nulle ; vitesse constante.
F et P se compensent.
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Premi�re loi de Newton. |
Pour la suite de cette partie, le syst�me �tudi� est limit� au seul Sky Crane, assimil� � un
point mat�riel, not� M. D�s que le rover a �t� d�pos�, le Sky Crane monte � la verticale jusqu’�
une altitude H de 60,0 m au-dessus du sol martien, puis s'incline d’un angle
a = 45,0 � par
rapport � l’horizontale et une force propulsive l'�jecte loin du lieu d'atterrissage du rover, avec
une vitesse initiale v
0 = 25,0 m∙s
-1. La force propulsive cesse � t = 0 s.
2. � partir de t = 0 s, les forces de frottements sont n�glig�es. Citer la seule force
s'appliquant sur le Sky Crane et qualifier ainsi la nature de la chute ainsi obtenue.
Le syst�me n'est soumis qu'� son poids. Il s'agit d'un mouvement de chute libre avec vitesse initiale.
3. �tablir l'expression des composantes de l’acc�l�ration, celles de la vitesse du Sky Crane
et enfin celle des coordonn�es de sa position en fonction du temps.
a
x = 0 ; a
z = -g.
La vitesse est une primitive de l'acc�l�ration :
v
x = v
0 cos
a ; v
z = -gt +v
0 sin
a.
La position est une primitive de la vitesse.
x =
v0 cos a t ; z = -�gt2 +v0 sin a t + H.
4. Montrer que l’�quation de la trajectoire du Sky Crane s’�crit : z(x) = − � g [x /( v
0cos
a)]
2 + tan
a x +H.
Pr�ciser le type de trajectoire auquel correspond cette �quation.
t = x / (
v0 cos a) ; repport dans z :
z = -�g[ x / (v0 cos a) ]2 +v0 sin a [x / (v0 cos a)] + H.
z(x) = − � g [x /( v0cos a)]2 + tan a x +H.
Il s'agit d'une trajectoire parabolique.
5. Pour des questions de s�curit� �vidente et afin de ne pas endommager le rover
Pers�v�rance qui a �t� d�pos� sur le sol martien en O, le Sky Crane doit �tre �ject� au
minimum � 200 m de distance du lieu d'atterrissage du rover. Dans ces conditions
op�ratoires, v�rifier que le Sky Crane atteint bien la distance de s�curit�.
z(x) = − � g [x /( v0cos a)]2 + tan a x +H = 0.
-0,5 * 3,7 /(25 cos 45)2 x2+ x tan 45 +60 = 0
-5,92 10-3 x2 +x +60 = 0.
Discriminant D = 1+60 *4 *5,92 10-3 =2,42~1,562.
On retient la solution positive : x = (-1 -1,56) / (-2*5,92 10-3) =2,2 102 m.
La distance de s�curit� est atteinte.
.
