Math�matiques, probabilit�s, Bac M�tropole Antilles 2022.

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Le directeur d’une grande entreprise a propos� � l’ensemble de ses salari�s un stage de formation � l’utilisation d’un nouveau logiciel. Ce stage a �t� suivi par 25 % des salari�s.
 1. Dans cette entreprise, 52 % des salari�s sont des femmes, parmi lesquelles 40 % ont suivi le stage. On interroge au hasard un salari� de l’entreprise et on consid�re les �v�nements :
- F : � le salari� interrog� est une femme �,
 S : � le salari� interrog� a suivi le stage �.
  a. Donner la probabilit� de l’�v�nement S.
p(S) = 0,25.
 b. Recopier et compl�ter les pointill�s de l’arbre pond�r�ci-dessous.
 c. D�montrer que la probabilit� que la personne interrog�e soit une femme ayant suivi le stage est �gale � 0,208.

 d. On sait que la personne interrog�e a suivi le stage. Quelle est la probabilit� que ce soit une femme ?
PS(F) = P(S n F) / P(S) = 0,208 / 0,25 =0,832.
 e. Le directeur affirme que, parmi les hommes salari�s de l’entreprise, moins de 10 % ont suivi le stage. Justifier l’affirmation du directeur.
L'affirmation est vraie ( 8,75 % des hommes ont suivi le stage).

On note X la variable al�atoire qui � un �chantillon de 20 salari�s de cette entreprise choisis au hasard associe le nombre de salari�s de cet �chantillon ayant suivi le stage. On suppose que l’effectif des salari�s de l’entreprise est suffisamment important pour assimiler ce choix � un tirage avec remise.
a. D�terminer, en justifiant, la loi de probabilit� suivie par la variable al�atoire X.
C'est un sch�ma de bernoulli. : on r�p�te 20 exp�riences al�atoires ayant deux issues, identiques et ind�pendantes entre elles.
 X suit la loi binomiale de param�tre n = 20 et p =0,25.
 b. D�terminer, � 10−3 pr�s, la probabilit� que 5 salari�s dans un �chantillon de 20 aient suivi le stage.
P(X=5) = (20 5) x 0,255x0,7515=0,202.
 c. Le programme ci-dessous, �crit en langage Python, utilise la fonction binomiale(i,n,p) cr��e pour l’occasion qui renvoie la valeur de la probabilit� P(X = i) dans le cas o� la variable al�atoire X suit une loi binomiale de param�tres n et p.
def proba(k) :
 P=0
 for i in range(0,k+1) :
 P=P+binomiale(i,20,0.25)
return P
D�terminer, � 10−3 pr�s, la valeur renvoy�e par ce programme lorsque l’on saisit proba(5) dans la console Python. Interpr�ter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
ce programme calcule p(X < 5).
la calculatrice donnde p(X < 5) = 0,617.
d. D�terminer, � 10−3 pr�s, la probabilit� qu’au moins 6 salari�s dans un �chantillon de 20 aient suivi le stage.
p(X > 6) = 1 -p(X< 5) = 1-0,617 = 0,383.
3. Cette question est ind�pendante des questions 1 et 2. Pour inciter les salari�s � suivre le stage, l’entreprise avait d�cid� d’augmenter les salaires des salari�s ayant suivi le stage de 5 %, contre 2 % d’augmentation pour les salari�s n’ayant pas suivi le stage. Quel est le pourcentage moyen d’augmentation des salaires de cette entreprise dans ces conditions ?
Sur 100 € de salaire :
25 % des salari�s ont suivi le stage : 100 x1,05 = 105.
75 % des salari�s n'ont pas suivi le stage : 100 x1,02 = 102.
A partir de 100 € : le salaire moyen devient :105 x 0,25 +102 x 0,75 =26,25 +76,5 =102,75 €.
Soit 2,75 % d'augmentation en moyenne.

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 Le coyote est un animal sauvage proche du loup, qui vit en Am�rique du Nord. Dans l’�tat d’Oklahoma, aux �tats-Unis, 70 % des coyotes sont touch�s par une maladie appel�e ehrlichiose. Il existe un test aidant � la d�tection de cette maladie. Lorsque ce test est appliqu� � un coyote, son r�sultat est soit positif, soit n�gatif, et on sait que :
 Si le coyote est malade, le test est positif dans 97 % des cas.
 Si le coyote n’est pas malade, le test est n�gatif dans 95 % des cas.
Partie A.
 Des v�t�rinaires capturent un coyote d’Oklahoma au hasard et lui font subir un test pour l’ehrlichiose. On consid�re les �v�nements suivants :
M : � le coyote est malade �;  T : � le test du coyote est positif �.
 1. Recopier et compl�ter l’arbre pond�r� ci-dessous qui mod�lise la situation.
2. D�terminer la probabilit� que le coyote soit malade et que son test soit positif.
3. D�montrer que la probabilit� de T est �gale � 0,694.

4. On appelle � valeur pr�dictive positive du test � la probabilit� que le coyote soit effectivement malade sachant que son test est positif. Calculer la valeur pr�dictive positive du test. On arrondira le r�sultat au milli�me.
PT(M) =P(T n M) / P(T) =0,679 / 0,694 =0,978.
5. a. Par analogie avec la question pr�c�dente, proposer une d�finition de la � valeur pr�dictive n�gative du test � et calculer cette valeur en arrondissant au milli�me
On appelle � valeur pr�dictive n�gative du test � la probabilit� que le coyote soit sain sachant que son test est n�gatif.
P(non T (non M) =P(non T n non M) / P(non T) =0,285 / (1-0,694)=0,931.
b. Comparer les valeurs pr�dictives positive et n�gative du test, et interpr�ter.
0,978  > 0,931. Un r�sultat positif est plus probant ( erreur 2 %) qu'un r�sultat n�gatif ( erreur 7 %).

 Partie B.
 On rappelle que la probabilit� qu’un coyote captur� au hasard pr�sente un test positif est de 0,694.
1. Lorsqu’on capture au hasard cinq coyotes, on assimile ce choix � un tirage avec remise. On note X la variable al�atoire qui � un �chantillon de cinq coyotes captur�s au hasard associe le nombre de coyotes dans cet �chantillon ayant un test positif.
a. Quelle est la loi de probabilit� suivie par X ? Justifier et pr�ciser ses param�tres.
Toutes les captures sont ind�pendantes, le nombre de coyotes �tant suffisamment grand. Il y a deux issues possibles " malade ou sain".
X suit la loi binomiale de param�tre n = 5 et p = 0,694.
 b. Calculer la probabilit� que dans un �chantillon de cinq coyotes captur�s au hasard, un seul ait un test positif. On arrondira le r�sultat au centi�me.
P(X=1) = (5 1) x 0,6941x(1-0,694)4=0,030.
c. Un v�t�rinaire affirme qu’il y a plus d’une chance sur deux qu’au moins quatre coyotes sur cinq aient un test positif : cette affirmation est-elle vraie? Justifier la r�ponse.
Il faut v�rifier que P(X > 4) > 0,5.
P(X > 4) = P(X = 4) + P(X =5).
P(X=4) = (5 4) x 0,6944x(1-0,694)1=0,3549.
P(X=5) = (5 5) x 0,6945x(1-0,694)0=0,1609.
P(X > 4) =0,516 > 0,5.
Le v�t�rinaire a raison.
2. Pour tester des m�dicaments, les v�t�rinaires ont besoin de disposer d’un coyote pr�sentant un test positif. Combien doivent-ils capturer de coyotes pour que la probabilit� qu’au moins l’un d’entre eux pr�sente un test positif soit sup�rieure � 0,99 ?
Y : variable al�atoire associ�e au nombre de coyotes ayant un test positif.
P(Y > 1) > 0,99.
P(Y > 1= 1-P(Y = 0) = 1-(n0) x0,6940 x0,306n =1-0,306n .
1-0,306n >0,99 ; 0,01 > 0,306n.
ln(0,01) > n ln(0,306) ; n > ln(0,01) / ln(0,306) ; n >3,99.
Il faut capturer au moins 4 coyotes.

  
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