Math�matiques, QCM : suite, fonctions, Bac M�tropole 9 /9 / 2022.

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Sujet 1. 7 points.
Une seule des 4 r�ponses propos�es est exacte.
  1. On consid�re la fonction g d�finie sur R par : g(x) = 2ex /(ex+1).
La courbe repr�sentative de g admet pour asymptote en +oo la droite d'�quation :
a. x =2 ; b. y = 2 vrai ; c. y = 0 ; d. x = -1.
g(x) = 2 / (1+e-x).
Quand x tend vers +oo, e-x tend vers z�ro et g(x) tend vers 2.
La droite d'�quation y = 2 est asymptote.

  2. On consid�re une fonction f d�finie et 2 fois d�rivable sur R. On appelle C sa repr�sentation graphique. On d�signe par f " sa d�riv�e seconde. On a repr�sent� la courbe de f " not�e C".

a. C admet un unique point d'inflexion.
b. f est convexe sur [-1 ; 2].
c. f est convexe sur ]-oo ; -1] et sur [2 ; +oo[. Vrai.
d. f est convexe sur R.
La d�riv�e seconde s'anulle est change de signe en x = -1 et en x = 2 : donc deux points d'inflexion.
f " est positive sur ]-oo ; -1] et sur [2 ; +oo[ ; f est donc convexe sur ces intyervalles.

3. On donne la suite (un) d�finie par u0 = 0 et pour tout entier naturel n , un+1 = 0,5 un+1.
La suite (vn) d�finie pour tout entier naturel n par vn = un-2 est :
a. arithm�tique de raison -2.
b. g�om�trique de raison -2.
c. arithm�tique de raison 1.
d. g�om�trique de raison 0,5. Vrai.
vn+1 =
un+1 -2 =0,5 un -1 =0,5(un-2) = 0,5 vn.

4. On consid�re la suite (un) telle que, pour tout entier naturel , on a :
1 + 0,25n < un < 2-n /(n+1).
On peut affirmer que la suite (un) :
a. converge vers 2.
b. converge vers 1. Vrai.
c. diverge vers  plus l'infini.
d. n'a pas de limite.
Quand n tend vers plus l'infini : 0,25n tend vers 0 et n / (n+1) = 1 /(1 +1/n) tend vers z�ro.
Par suite 1 < limite de un en +oo < 1.

5. Soit f la fonction d�finie sur ]0 ; +oo[ par f(x) = x2 ln(x).
Une primitive F de f sur cet intervalle est d�finie par :
a. F(x) = x3 / 3 (ln(x-1/3). Vrai.
On d�rive en posant u = x3 / 3 ; v = ln(x-1 /3) ; u' = x2 ; v' = 1 / x.
u'v+v'u = x2 ln(x-1 /3) +x3 / (3x)= x2 ln(x)-x2 /3) +x2 /3= x2 ln(x) = f(x)
b. F(x) = x3/3 (ln(x-1).
c. F(x) = x2 .
d. F(x) = x2 / 3 (ln(x-1)

6. Pour tout r�el x, l'expression A = 2+(3e-x-5) / (e-x+1) est �gale � :
a. (5-3ex) /(1+ex). Vrai.
b. (5+3ex) /(1-ex).
c. (5+3ex) /(1+ex).
d. (5-3ex) /(1-ex).
R�duire au m�me d�nominateur puis multiplier num�rateur et d�nominateur par ex.
A = [2 e-x+2 +
3e-x-5 ] / (e-x+1)=(5e-x-3 ] / (e-x+1)=(5-3ex) / (1+ex).

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Sujet 2. 7 points.
  On consid�re les suites (an) et (bn) d�finie par a0 = 1 et, pour tout entier naturel n, an+1 = 0,5an +1 et bn = an −2. On peut affirmer que :
 a. (an) est arithm�tique;
 b. (bn) est g�om�trique;  vrai
c. (an) est g�om�trique;
 d. (bn) est arithm�tique.
bn+1 =an+1-2 = 0,5 an+1-2 =0,5 an -1 =0,5(an-2) = 0,5 bn.

 Dans les questions 2. et 3., on consid�re les suites (un) et (vn) d�finies par : u0 = 2, v0 = 1 et, pour tout entier naturel n :
un+1 = un +3vn ;  vn+1 = un + vn.
2. On peut affirmer que : a.  u2 = 5 ; v2 = 3
 b. u 2 2 −3v 2 2 = −2 2
c. u2 / v2 = 1,75 vrai
d. 5u1 = 3v1.
u1 = u0 +3v0=2+3=5. v1 = u0 + v0= 3.
u2 = u1 +3v1=5+9=14.
v2 = u1 + v1= 8.
u2 / v2 =14 / 8 = 7 / 4 = 1,75.

3. On consid�re le programme ci-dessous �crit en langage Python :
def valeurs() :
u = 2
 v = 1
for k in range(1,11)
c = u
u = u + 3*v
v = c + v
return (u, v).
Ce programme renvoie :
 a. u11 et v11 vrai ; b. u10 et v11 ;
c. les valeurs de un et vn pour n allant de 1 � 10;
 d. u0 et v10.

Pour les questions 4. et 5., on consid�re une fonction f deux fois d�rivable sur l’intervalle [−4 ; 2]. On note f ′ la fonction d�riv�e de f et f ′′ la d�riv�e seconde de f . On donne ci-dessous la courbe repr�sentative C ′ de la fonction d�riv�e f ′ dans un rep�re du plan.
 On donne de plus les points A(−2 ; 0), B(1; 0) et C(0; 5).

4. La fonction f est : a. concave sur [−2 ; 1];
 b. convexe sur [−4 ; 0]; vrai
c. convexe sur [−2 ; 1];
 d. convexe sur [0; 2].
f ' est croissante sur [-4 ; 0]; f " est positive  et f est convexe sur cet intervalle.

 5. On admet que la droite (BC) est la tangente � la courbe C ′ au point B. On a :
a. f ′ (1) < 0 ; b. f ′ (1) = 5 ; c. f ′′(1) > 0 ; d. f ′′(1) = −5. Vrai.
Le coefficient directeur de la droite (BC) est f "(1)= -5.

6. Soit f la fonction d�finie sur R par f (x) = ( x 2 +1 ) e x . La primitive F de f sur R telle que F(0) = 1 est d�finie par :
a. F(x) = ( x 2 −2x +3 ) e x ; ne convient pas car F(0) = 3
 b.  ( x 2 −2x +3 ) e x −2; vrai
On calcule F'(x) en posant u = x 2 −2x +3 et v =e x.
u' = 2x-2 ; v' = ex.
u'v+v'u = 2(x-1)ex+ex( x 2 −2x +3 ) =ex(x2+1)= f(x).
 c. F(x) = ( 1 /3 x 3 + x ) e x +1;
d. F(x) =( 1/ 3 x 3 + x ) e x ne convient pas car F(0) = 0.



  
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