Math�matiques, probabilit�s, Bac M�tropole 9 /9 / 2022.
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Sujet 1. 7 points.
Un h�tel situ� � proximit� d’un site touristique d�di� � la pr�histoire propose deux visites
dans les environs, celle d’un mus�e et celle d’une grotte.
Une �tude a montr� que 70 % des clients de l’h�tel visitent le mus�e. De plus, parmi les
clients visitant le mus�e, 60 % visitent la grotte.
Cette �tude montre aussi que 6 % des clients de l’h�tel ne font aucune visite.
On interroge au hasard un client de l’h�tel et on note :
• M l’�v�nement : � le client visite le mus�e �;
• G l’�v�nement : � le client visite la grotte �.
Ainsi, d’apr�s l’�nonc�, on a : p(
non M ∩ non G )
= 0,06.
1. a. V�rifier que P non M ( non G) =0,2, probabilit� que le client interrog� ne visite pas la grotte sachant
qu’il ne visite pas le mus�e.
Pnon M ( non G) = P(
non M ∩ non G ) / P(non M) =0,06 / 0,3 =0,2.
b. L’arbre pond�r� suivant mod�lise
la situation. Recopier et compl�ter
cet arbre en indiquant sur chaque
branche la probabilit� associ�e.
c. Quelle est la probabilit� de l’�v�nement � le client visite la grotte et ne
visite pas le mus�e � ? (0,24).
d. Montrer que p(G) = 0,66.
2. Le responsable de l’h�tel affirme que parmi les clients qui visitent la grotte, plus de la
moiti� visitent �galement le mus�e. Cette affirmation est-elle exacte ?
P G(M) = P( M ∩ G ) / P(G) =0,42 / 0,66 ~0,63 > 0,5. Affirmation exacte..
3. Les tarifs pour les visites sont les suivants :
• visite du mus�e : 12 euros;
• visite de la grotte : 5 euros.
On consid�re la variable al�atoire T qui mod�lise la somme d�pens�e par un client de
l’h�tel pour ces visites.
a. Donner la loi de probabilit� de T . On pr�sentera les r�sultats sous la forme d’un
tableau.
T
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0
|
5
|
12
|
17
|
Probabilit�
|
0,06
|
0,24
|
0,28
|
0,42
|
b. Calculer l’esp�rance math�matique de T .
0 x0,06 +5 x0,24 +12 x0,28 +17 x0,42 =11,7.
c. Pour des questions de rentabilit�, le responsable de l’h�tel estime que le montant
moyen des recettes des visites doit �tre sup�rieur � 700 euros par jour.
D�terminer le nombre moyen de clients par journ�e permettant d’atteindre cet
objectif.
700 / 11,7 ~ 60.
4. Pour augmenter les
recettes, le responsable souhaite que l’esp�rance de la variable
al�atoire mod�lisant la somme d�pens�e par un client de l’h�tel pour
ces visites passe
� 15 euros, sans modifier le prix de visite du mus�e qui demeure � 12
euros.
Quel prix faut-il fixer pour la visite de la grotte afin d’atteindre
cet objectif ? (On admettra que l’augmentation du prix d’entr�e de la
grotte ne modifie pas la fr�quentation des
deux sites).
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T
|
0
|
X
|
12
|
12+X
|
Probabilit�
|
0,06
|
0,24
|
0,28
|
0,42
|
0 *0,06 +0,24 X +12 *0,28 +(12+X) *0,42 =15.
0,24X +0,42 X= 15-8,4 =4,5 ; X= 10 €.
5. On choisit au hasard 100 clients de l’h�tel, en assimilant ce choix � un tirage avec remise.
Quelle est la probabilit� qu’au moins les trois quarts de ces clients aient visit� la grotte
� l’occasion de leur s�jour � l’h�tel ?
On donnera une valeur du r�sultat � 10 −3 pr�s.
La probabilit� qu'un client visite la grotte est 0,66.
La variable al�atoire Y �gale au nombre de visite de la grotte suit la loi binomialeB(100 ; 0,66).
P(Y > 75) ~0,980 d'apr�s la calculatrice.
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Sujet 2. 7 points.
Dans le magasin d’Hugo, les clients peuvent louer deux types de v�los : v�los de route ou
bien v�los tout terrain.
Chaque type de v�lo peut �tre lou� dans sa version �lectrique ou non.
On choisit un client du magasin au hasard, et on admet que :
Si le client loue un v�lo de route, la probabilit� que ce soit un v�lo �lectrique est de 0,4 ;
Si le client loue un v�lo tout terrain, la probabilit� que ce soit un v�lo �lectrique est de
0,7 ;
La probabilit� que le client loue un v�lo �lectrique est de 0,58.
On appelle x la probabilit� que le client loue un v�lo de route, avec 0 < x < 1.
On consid�re les �v�nements suivants :
• R : � le client loue un v�lo de route �;
• E : � le client loue un v�lo �lectrique �.
On mod�lise cette situation al�atoire � l’aide
de l’arbre reproduit ci-dessous.
1. Recopier cet arbre sur la copie et le compl�ter.
2. a. Montrer que p(E) = 0,7−0,3x.
p(E) = 0,4 x +0,7(1-x) = 0,7−0,3x.
b. En d�duire que : x = 0,4.
0,7−0,3x =0,58 ; x = (0,7-0,58) / 0,3 = 0,4.
3. On sait que le
client a lou� un v�lo �lectrique. D�terminer la probabilit� qu’il ait
lou� un v�lo tout terrain. On donnera le r�sultat
arrondi au centi�me.
PE(non R) =P( E ∩ non R ) / P(E) = 0,7 x(1-0,4) / 0,58 ~0,72.
4. Quelle est la probabilit� que le client loue un v�lo tout terrain �lectrique ?
P( E ∩ non R )=0,7 x(1-0,4) = 0,42.
5. Le prix de la location � la journ�e d’un v�lo de route non �lectrique est de 25 euros,
celui d’un v�lo tout terrain non �lectrique de 35 euros.
Pour chaque type de v�lo, le choix de la version �lectrique augmente le prix de location
� la journ�e de 15 euros.
On appelle X la variable al�atoire mod�lisant le prix de location d’un v�lo � la journ�e.
a. Donner la loi de probabilit� de X. On pr�sentera les r�sultats sous forme d’un
tableau.
T
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25
|
35
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25+15=40
|
35+15=50
|
Probabilit�
|
0,4 x0,6 =0,24
|
0,6 x0,3 =0,18
|
0,4 x 0,4 = 0,16
|
0,6 x 0,7 = 0,42
|
b. Calculer l’esp�rance math�matique de X et interpr�ter ce r�sultat.
25 x0,24 +35 x0,18 +40 x0,16 +50 x 0,42 =6 +6,3 +6,4 +21=39,7.
Une location revient � 39,7 € en moyenne.
6. Lorsqu’on choisit 30
clients d’Hugo au hasard, on assimile ce choix � un tirage avec
remise.
On note Y la variable al�atoire associant � un �chantillon de 30
clients choisis au hasard le nombre de clients qui louent un v�lo
�lectrique.
On rappelle que la probabilit� de l’�v�nement E est : p(E) = 0,58.
a. Justifier que Y suit une loi binomiale dont on pr�cisera les param�tres.
On r�p�te 30 fois des �preuves identiques et ind�pendantes avec deux issues possibles. La probabilit� du succ�s est 0,58.
Y suit une loi binomiale de param�tres n = 30 et p = 0,58.
b. D�terminer la probabilit� qu’un �chantillon contienne exactement 20 clients qui
louent un v�lo �lectrique. On donnera le r�sultat arrondi au milli�me.
P(Y=20) = (30 20) x0,5820 x(1-0,58) 30-20 ~0,095.
c. D�terminer la probabilit� qu’un �chantillon contienne au moins 15 clients qui
louent un v�lo �lectrique. On donnera le r�sultat arrondi au milli�me.
P(Y > 15) = 1 -P(Y < 14) ~1- 0,1419 ~0,858.
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