Les orbites de la
Terre et de Mars sont souvent consid�r�es comme circulaires. Ce sont
pourtant des ellipses. Dans le r�f�rentiel h�liocentrique, la valeur de
leur vitesse varie le
long de l’orbite entre 𝑣
𝑚𝑖𝑛 et 𝑣
𝑚𝑎𝑥, tout
comme la distance Soleil-plan�te varie entre 𝑅
𝑚𝑖𝑛
et 𝑅
𝑚𝑎𝑥. Le rayon moyen 𝑅
𝑚𝑜𝑦 est d�fini
comme le rayon du cercle approximant au mieux la trajectoire de la
plan�te. La vitesse 𝑣
𝑚𝑜𝑦 est d�fini comme la vitesse de
la plan�te sur
cette trajectoire circulaire.
|
Terre
|
Mars
|
Jupiter
|
vmin
( km /s)
|
29,3
|
22,0
|
12,4
|
| vmax
( km /s) |
30,3
|
26,5
|
13,7
|
| vmoy
( km /s) |
29,8
|
24,1
|
13,1
|
Rmin
(km)
|
147 106
|
207 106 |
741 106 |
| Rmax
(km) |
152 106
|
249 106 |
816 106 |
| Rmoy
(km) |
150 106 |
228 106 |
778 106 |
1. � l’aide de la
deuxi�me loi de Kepler, identifier le sch�ma correct parmi les
suivants.
Justifier.
Pour chaque sch�ma, on repr�sente la position de la plan�te au
voisinage de son
p�rih�lie P (respectivement aph�lie A) entre les instants 𝑡
1
et 𝑡
1 + ∆𝑡 (respectivement
𝑡
2 et 𝑡
2 + ∆𝑡) ainsi que son vecteur vitesse �
cette position dans le r�f�rentiel
h�liocentrique.
b est faux : les
aires hachur�es parcourues pendant la dur�e
Dt doivent �tre �gales.
c est faux : M(t1) M(t1+Dt) > M(t2)
M(t2+Dt),
donc vP > vA.
Lorsque la plan�te est situ�e � l’aph�lie ou au p�rih�lie, le segment
Soleil-Terre est
perpendiculaire au vecteur vitesse. L’aire balay�e par le segment
Soleil-Terre pendant une
dur�e ∆𝑡 courte devant la p�riode de r�volution, correspond
approximativement alors � l’aire
du triangle rectangle ayant pour sommets 𝑆, le centre du Soleil,
𝑀(𝑡), position de Terre �
l’instant 𝑡 et 𝑀(𝑡 + ∆𝑡), position de Terre � l’instant 𝑡 + ∆𝑡 :
Dans le sch�ma ci-dessus, 𝑅 est la longueur du segment
Soleil-Terre, et 𝑣 � ∆𝑡 la distance
parcourue par la plan�te durant la dur�e ∆𝑡 � la vitesse 𝑣.
2. Exprimer l’aire
balay�e par le segment Soleil-Terre durant ∆𝑡 en fonction de 𝑅, 𝑣 et
∆𝑡.
Aire du triangle rectangle : Rv
Dt
/ 2.
3. En d�terminant
la valeur de l’aire balay�e par le segment Soleil-Terre durant ∆𝑡 = 1
s,
v�rifier que les donn�es dans le cas de la Terre sont compatibles avec
la seconde loi
de Kepler.
R
min V
max / 2 =149 10
6 x 30,3 /2 ~2,26
10
9 km
2.
Rmax Vmin / 2 =152 106 x 29,3 /2
~2,23 109 km2.
Ecart relatif :( 2,26-2,23 ) /
2,245 ~1,3 inf�rieur � 2 %, donc r�sultats compatibles avec la seconde
loi de Kepler..
4. �
l’aide des donn�es disponibles d�terminer si l’aire balay�e durant 1 s
est la m�me
pour la Terre et pour Mars.
Rmin
Vmax / 2 = 207 106 x 26,5 /2 ~2,74 109
km2.
Ecart relatif :( 2,74-2,26 ) / 2,5 ~0,19 ~ 19 %,
donc l’aire
balay�e durant 1 s est diff�rente
pour la Terre et pour Mars.
