Pour plus de confort, les voitures sont �quip�es d’un syst�me de chauffage de l’habitacle.
Dans le cas des v�hicules thermiques, c’est la � chaleur � du moteur qui est directement
exploit�e. Dans le cas des voitures �lectriques, le dispositif de chauffage est aliment� par
la batterie. L’utilisation du chauffage diminue donc l’autonomie de la voiture.
Le but de l’exercice est d’�tudier l’�volution de la temp�rature de l’habitacle d’une voiture
au cours du temps.
Donn�es :
− �nergie maximale stockable par la batterie d’une voiture �lectrique : 40 kWh ;
− autonomie du v�hicule � la vitesse fixe de l’�tude : 242 km ;
− capacit� thermique massique de l’air : 𝑐 = 1,0 kJ⋅K
−1
⋅ kg
−1
;
− volume estim� de l’habitacle : 𝑉 = 2,6 m
3
;
− masse volumique de l’air : 𝜌 = 1,3 kg ⋅ m
−3
;
− surface estim�e de l’habitacle : 𝑆 = 8 m
2
.
L’autonomie de la voiture passe de 242 km sans chauffage, � 200 km lorsque le chauffage
est utilis�.
On mod�lise la situation en consid�rant que le v�hicule �volue � la m�me vitesse
constante dans les deux cas.
1. Montrer que, dans le cadre de ce mod�le, l’�nergie 𝐸
chauffage utilis�e pour le chauffage
lorsque la voiture roule jusqu’� d�charge compl�te de la batterie est �gale � 6,9 kWh.
Le chauffage diminue la distance parcourue de 42 km.
E
chauffage = 40 x42 / 242 ~
6,9 kWh.
2. On choisit comme syst�me l’air contenu dans l’habitacle. On formule les hypoth�ses
suivantes :
− les transferts thermiques avec l’ext�rieur ne sont pas pris en compte ;
− l’�nergie 𝐸
chauffage est enti�rement c�d�e � l’air contenu dans l’habitacle.
D�terminer la valeur de la variation de temp�rature de l’air de l’habitacle. Commenter
la valeur obtenue ainsi que les hypoth�ses formul�es.
Masse d'air contenue dans l'habitacle m = V
r = 2,6 x1,3 =3,38 kg.
E
chauffage = m c
DT ;
DT = Echauffage /( m c) =6,9 103 x3600 /(3,38 x 103) =7,3 103 �C.
Cette valeur est absurde ; il faut prendre en compte les transferts thermiques vers l'ext�rieur.
On ne chaufe pas que l'air int�rieur, mais �galement les parois internes et le contenu de l'habitacle.
On mod�lise la carrosserie de l’habitacle par
une paroi uniforme travers�e par un flux
thermique. L’air ext�rieur est � 5�C tandis que
l’air de l’habitacle est � 20�C gr�ce au
chauffage.
Le sens r�el du transfert thermique � travers la
paroi de l’habitacle est repr�sent� par la fl�che
verticale . Plus elle est large, plus le transfert
est important.
3. Justifier le sens du transfert thermique.
Le transfert thermique s'effectue du corps chaud ( l'habitacle) vers le corps froid ( l'air ext�rieur ).
On s’interroge sur l’influence de la vitesse de la voiture sur la valeur du flux thermique. On
envisage pour cela deux situations :
le cas de la voiture immobile et celui de la voiture en
mouvement.
4. Pour analyser le ph�nom�ne en jeu, on propose deux hypoth�ses, correspondant aux
sch�mas A et B. Identifier celui qui rend compte de la situation. Justifier sans calcul.
Le sch�ma B est correct : l'air en mouvement est plus efficace pour prendre de l'�nergie � l'habitacle.
On coupe le chauffage. On s’int�resse � l’�volution de la temp�rature de l’air 𝑇(𝑡) de
l’habitacle au cours du temps. La temp�rature ext�rieure est suppos�e constante et not�e
𝑇
ext. On note 𝑇
i
la temp�rature initiale de l’habitacle.
On suppose que l’�quation diff�rentielle suivante mod�lise l’�volution de la temp�rature de
l’habitacle :
𝑑𝑇(𝑡) /
𝑑𝑡 =
1/
𝜏
. (𝑇
ext− 𝑇(𝑡))
5. D�terminer la dimension de la constante 𝜏 en justifiant. Pr�ciser la signification
physique de cette constante et d�crire son �volution avec la vitesse du v�hicule.
Chaque terme de l'�quation est homog�ne � une temp�rature divis�e par une dur�e.
t est homog�ne � un temps.
t =
(𝑇ext− 𝑇(𝑡)) / [𝑑𝑇(𝑡) /
𝑑𝑡].
A vitesse �lev�e, l'habitacle se refroidit plus rapidement : t est alors plus faible.
