Math�matiques, logarithme, exponentielle, Bac M�tropole 9 /9 / 2022. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts. . . . . . . .. .. ...... ... Sujet 1. 7 points. Partie A.  On consid�re la fonction f d�finie sur l’intervalle [1 ; +∞[ par f (x) = ln(x) / x , o� ln d�signe la fonction logarithme n�p�rien. 1. Donner la limite de la fonction f en +∞. Par croissance compar�e ln(x) / x tend vers z�ro. L'axe des abscisses est asymptote � la courbe repr�sentant f(x). 2. On admet que la fonction f est d�rivable sur l’intervalle [1 ; +∞[ et on note f ′ sa fonction d�riv�e. a. Montrer que, pour tout nombre r�el x > 1, f ′ (x) = (1−ln(x)) / x 2 . On pose u = ln(x) et v = x ; u' = 1 /x ; v' = 1. (u'v-v'u) / v2 =(1-ln(x)) / x2.  b. Justifier le tableau de signes suivant, donnant le signe de f ′ (x) suivant les valeurs de x. Le signe de f '(x) est celui de 1-ln(x). Si x < e, 1-ln(x) est positif ; si x > e, 1-ln(x) est n�gatif. Si x = e, f '(x) est nul. c. Dresser le tableau de variations complet de la fonction f .  3. Soit k un nombre r�el positif ou nul. a. Montrer que, si 0 < k < 1 /e , l’�quation f (x) = k admet une unique solution sur l’intervalle [1 ; e]. Sur ]0 ; 1 / e], f(x) est strictement croissante de moins l'infini � 1 / e : d'apr�s le th�or�me des valeurs interm�diaires l'�quation f(x) = k admet une solution unique sur cet intervalle.  b. Si k > 1/ e , l’�quation f (x) = k admet-elle des solutions sur l’intervalle [1 ; +∞[ ? Justifier. . f(x) < 1 /e : l'�quation f(x) = k avec k > 1/e n'admet pas de solution . Partie B.  Soit g la fonction d�finie sur R par : g(x) = e x /4 . On consid�re la suite (un) d�finie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n : un+1 = exp ( un/ 4) c’est-�-dire : un+1 = g (un). 1. Justifier que la fonction g est croissante sur R. g '(x) = 0,25e x /4 > 0. g(x) est strictement croissante sur R.  2. Montrer par r�currence que, pour tout entier naturel n, on a : un < un+1 < e. Initialisation : u0 = 1 ; u1 = e1/4. la propri�t� est vraie au rang z�ro. H�r�dit� : un < un+1 < e est suppos� vrai. La fonction g �tant strictement croissante : g( un ) < g(un+1 )< g(e). un+1 < un+2 < g(e). Or g(e) = ee/4~1,9  < e. un+1 < un+2 < e. Conclusion : la prorpi�t� est vraie au rang z�ro et h�r�ditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n. 3. En d�duire que la suite (un) est convergente. La suite est croissante et major�e par e : donc elle converge vers une limite inf�rieure ou �gale � e.  On note ℓ la limite de la suite (un) et on admet que ℓ est solution de l’�quation : e x/ 4 = x.  4. En d�duire que ℓ est solution de l’�quation f (x) = 1 /4 , o� f est la fonction �tudi�e dans la partie A.  La fonction logarithme n�p�rien �tant croissante  : e x/ 4 = x conduit � x /4 = ln(x) ; 1 / 4 = ln(x) / x ; f(x) = 1 /4. 5. Donner une valeur approch�e � 10−2 pr�s de la limite ℓ de la suite (un). 1 /e ~0,367 ; 1 / 4 = 0,25. L'�quation f(x) = 0,25 admet une solution unique sur [1 ; e]. f(1) = 0 ; f(2) = ln(2) / 2 ~0,346. f(1,40) ~0,24 ; f(1,50)~0,27. Donc la limite est comprise entre 1,4 et 1,5. f(1,42 = 0,247 : f(1,43) ~ 0,251. f(1,429) ~0,2498 ; f(1,430) ~0,2501. La limite est �gale � environ 1,43. ... .... Sujet 2. 7 points.   Les parties B et C sont ind�pendantes. Partie A.  On consid�re la fonction f d�finie sur ]0 ; +∞[ par f (x) = x − x ln(x), o� ln d�signe la fonction logarithme n�p�rien. 1. D�terminer la limite de f (x) quand x tend vers 0. ln(x) tend vers moins l'infini ; x ln(x) tend vers z�ro et f(x) tend vers z�ro. 2. D�terminer la limite de f (x) quand x tend vers +∞. f(x) = x(1-ln(x). ln(x) tend vers plus l'infini ; 1-ln(x) tend vers moins l'infini etpar produit des limites f(x) tend vers moins l'infini. 3. On admet que la fonction f est d�rivable sur ]0 ; +∞[ et on note f ′ sa fonction d�riv�e.  a. D�montrer que, pour tout r�el x > 0, on a : f ′ (x) = −lnx. On pose u = x et v = ln(x) ; u' =1 ; v' = 1 /x. u'v+v'u = ln(x)+1 ;  f '(x) = 1-(ln(x) +1) = -ln(x). b. En d�duire les variations de la fonction f sur ]0 ; +∞[ et dresser son tableau de variations.  4. R�soudre l’�quation f (x) = x sur ]0 ; +∞[. x = x(1-ln(x) ; 1 = 1-ln(x). ln(x) =0 ; x = 1. Partie B. Dans cette partie, on pourra utiliser avec profit certains r�sultats de la partie A.  On consid�re la suite (un) d�finie par :  u0 = 0,5  ; un+1 = un −un ln(un) pour tout entier naturel n.  Ainsi, pour tout entier naturel n, on a : un+1 = f (un). 1. On rappelle que la fonction f est croissante sur l’intervalle [0,5; 1]. D�montrer par r�currence que, pour tout entier naturel n, on a : 0,5 < un < un+1. Initialisation : u0 = 0,5 ; u1 =0,5(1-ln(0,5) ~0,846. La propri�t� est vraie au rang z�ro. H�r�dit� : 0,5 < un < un+1 est suppos� vrai. La fonction f �tant strictement croissante : f(0,5) < f( un ) < f(un+1 ). f(0,5) ~ 0,846 ; 0,846 < un+1 < un+2. 0,5 < un+1 < un+2. Conclusion : la prorpi�t� est vraie au rang z�ro et h�r�ditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n.  1. 2. a. Montrer que la suite (un) est convergente. La suite est croisante et born�e par 1 ; donc d'apr�s le th�or�me de la convergence monotone, la suite converge.  b. On note ℓ la limite de la suite (un). D�terminer la valeur de ℓ. f(un) = un+1. La fonction �tant continue : f(l) = l. Or l'�quation f(x) = x admet pour solution x = 1 ; en cons�quence l = 1. Partie C.  Pour un nombre r�el k quelconque, on consid�re la fonction fk d�finie sur ]0 ; +∞[ par : fk (x) = k x − x ln(x). 1. Pour tout nombre r�el k, montrer que fk admet un maximum yk atteint en xk = e k−1 . D�riv�e de -x ln(x) : ln(x) +1. fk'(x) =k -(ln(x) +1) = k-1 -ln(x). fk'(x) =0 si k-1 = ln(x) soit x = ek-1. Si x appartient � ]0 ; ek-1[, fk'(x) >0 et fk (x) est strictement croissante. Si x appartient � ] ek-1; +oo[, fk'(x) < 0 et fk (x) est strictement d�croissante. fk admet un maximum yk atteint en xk = e k−1 .  2. V�rifier que, pour tout nombre r�el k, on a : xk = yk. yk =fk(xk) = k xk − xk ln(xk) = k e k−1 -e k−1 ln(e k−1 )=k e k−1 -e k−1 (k-1)= e k−1 .

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