Math�matiques, g�om�trie dans l'espace, Bac M�tropole 9 /9 / 2022.

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts.

.
. . .

.
.
.. ..
......


...
Sujet 1. 7 points.
Dans l’espace rapport� � un rep�re orthonorm�, on consid�re les points A(−1 ; −1 ; 3), B(1 ; 1 ; 2), C(1 ; −1 ; 7) On consid�re �galement la droite D passant par les points D(−1 ; 6 ; 8) et E(11 ; −9 ; 2).
1. a. V�rifier que la droite D admet pour repr�sentation param�trique :  x = −1+4t ; y = 6−5t ; z = 8−2t avec t r�el.
Coordonn�es du vecteur DE :
[ 11-(-1) ; -9 -6 ; 2-8] soit [12 ; -15 ; -6 ) puis diviser par 3.
Vecteur directeur de cette droite :(4 ; -5 ; -2).
D appartient � cette droite :
x = xD+4t ; y = yD−5t ; z = zD−2t avec t r�el.
x = −1+4t ; y = 6−5t ; z = 8−2t avec t r�el.
 
 b. Pr�ciser une repr�sentation param�trique de la droite ∆ ′ parall�le � ∆ et passant par l’origine O du rep�re.
Ces deux droites ont m�me vecteur directeur.
x = xO+4t ; y = yO−5t ; z = zO−2t avec t r�el.
x =4t ; y = −5t ; z = −2t avec t r�el.

 c. Le point F(1,36 ; −1,7 ; −0,7) appartient-il � la droite D ′ ?
Si F appartient � cette droite : 1,36 = 4t soit t = 0,34.
Par suite y = -5 x0,34 =-1,7 = yF.
z = -2 x0,34 = -0,68 diff�rent de zF.
F n'appartient pas � cette droite.
 2. a. Montrer que les points A, B et C d�finissent un plan.
Coordonn�es du vecteur AB : (2 ; 2 ; -1).
Coordonn�es du vecteur AC : (2 ; 0 ;4).
Ces deux vecteurs n'�tant pas colin�aires, les points A, B et C ne sont pas align�s : ils d�finissent un plan.
 b. Montrer que la droite D est perpendiculaire au plan (ABC).

c. Montrer qu’une �quation cart�sienne du plan (ABC) est : 4x −5y −2z +5 = 0.
4x -5y-2z +d = 0.
A(−1 ; −1 ; 3) appartient � ce plan : 4xA -5yA-2zA +d = 0.
-4+5-6+d = 0 ; d  = 5.
 3. a. Montrer que le point G(7; -4; 4) appartient � la droite D.
Si G appartient � cette droite :
xG = −1+4t ;
7 = -1 +4t ; t = 2.
y =6-5*2 = -4 =
yG.
8-2*2=4=
zG.
b. D�terminer les coordonn�es du point H, projet� orthogonal du point G sur le plan (ABC).
G appartient � la fois � la droite D et au plan (ABC) :
4xH −5yH −2zH +5 = 0.
et
xH = −1+4t ; yH = 6−5t ; zH = 8−2t avec t r�el.
4(-1+4t) -5(6-5t) -2(8-2t)+5 = 0
-45+45 t = 0 ; t = 1.
H(3 ; 1 ; 6).

 c. En d�duire que la distance du point G au plan (ABC) est �gale � 3 * 5.
HG = [(7-3)2+(-4-1)2+(4-6)2] =45 = 3 *5.
4. a. Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.
AB2 =(22+22+12)=9.
AC2 =(22+02+42)=20.
BC2 =(02+(-2)2+52)=29 =AC2 +AB2.
D'apr�s la r�ciproque du th�or�me de Pytgagore, le triangle ABC est rectangle en A.

 b. Calculer le volume V du t�tra�dre ABCG.
Base :triangle ABC ;  aire du triangle ABC : AB x AC / 2 = 3 x2 x5 / 2 = 3 x5 .
Hauteur HG =
3 x5.
Volume du t�tra�dre : aire de base  fois hauteur / 3 =
3 x5 x3 x 5 / 3=15.

...
....

Sujet 2. 7 points.
Dans l’espace rapport� � un rep�re orthonorm�, on consid�re :
• la droite D passant par le point A(2; 4; 0) et dont un vecteur directeur not� u a pour coordonn�es ( 1 ; 2 ; 0 );
 • la droite D ′ dont une repr�sentation param�trique est :  x = 3 ; y = 3+ t ; z = 3+ t ,t ∈ R.
 1. a. Donner les coordonn�es d’un vecteur directeur  not� u' de la droite D ′ .
(0 ; 1 ; 1).
 b. Montrer que les droites D et D ′ ne sont pas parall�les.
Les vecteurs directeurs des deux droites n'�tant pas colin�aires, les droites D et D' ne sont pas parall�les.
c. D�terminer une repr�sentation param�trique de la droite D.
x = t +xA = t +2 ; y = 2t +yA = 2t+4 ; z =zA = 0.
 On admet dans la suite de cet exercice qu’il existe une unique droite D perpendiculaire aux droites D et D ′ . Cette droite D coupe chacune des droites D et D ′ . On appellera M le point d’intersection de D et D, et M′ le point d’intersection de D et D ′ . On se propose de d�terminer la distance MM′ appel�e � distance entre les droites D et D ′ �.
2. Montrer que le vecteur n de coordonn�es (2 ; -1 ; 1) est un vecteur directeur de la droite D.

3. On note P le plan contenant les droites D et D, c’est-�-dire le plan passant par le point A et de vecteurs directeursu et u' .
 a. Montrer que le vecteur n( 2 −1 −5 ) est un vecteur normal au plan P .
Le vecteur n �tant orthogonal � deux vecteurs directeurs du plan (P), le vecteur n est un vecteur normal au plan (P).
 b. En d�duire qu’une �quation du plan P est : 2x − y −5z = 0.
2x -y -5z +d = 0.
A(2; 4; 0) appartient au plan P, donc 2xA -yA -5zA +d = 0.
2*2-4-5*0+d=0.
d=0.
�quation du plan P : 2x − y −5z = 0.
 c. On rappelle que M′ est le point d’intersection des droites D et D ′ . Justifier que M′ est �galement le point d’intersection de D ′ et du plan P . En d�duire que les coordonn�es du point M′ sont (3; 1; 1).
M' appartient � la fois au plan (P) et � la droite D' :
2xM' − yM' −5zM' = 0.
xM' = 3 ; yM' = 3+ t ; zM' = 3+ t
2*3-3-t-5(3+t)=0
-12-6t=0 ; t = -2.
xM' = 3 ; yM' = 3-2= 1 ; zM' = 3-2=1.
4. a. D�terminer une repr�sentation param�trique de la droite D.
Vecteur directeur de la droite D :  (2 ; -1 ; 1).
M'(3 ; 1 ; 1) appartient � cette droite.
Repr�sentation param�trique de cette droite :
x = 2t'+3 ; y =-t'+1 ; z = t'+1 avec t' r�el.
b. Justifier que le point M a pour coordonn�es (1; 2; 0).
M appartient � D : xM =2+t ; yM = 4+2t ; zM = 0.
M appartient � D : xM =3+2t' ; yM = 1-t' ; zM = t'+1.
t'+1=0 ; t'=-1.
2+t =3+2t' ; t =1+2t'=-1.
M(1 ; 2 ; 0).
 c. Calculer la distance MM′ .
MM' = [(3-1)2+(1-2)2+(1-0)2] =6.
5. On consid�re la droite d de repr�sentation param�trique :
 x = 5t ; y = 2+5t ; z = 1+ t avec t r�el.
 a. Montrer que la droite d est parall�le au plan P .
Hypoth�se : la droite d coupe le plan P, alors :
Equation de ce plan : 2x-y-5z = 0.
2 *5t -(2+5t)-5(1+t)=0.
0 t-7=0.
Le syst�me n'ayant pas de solution, l'hypoth�se est fausse.
La droite d est parall�le au plan P.
 b. On note l la distance d’un point N de la droite d au plan P . Exprimer le volume du t�tra�dre ANMM′ en fonction de l.
Les points A, M et M' appartiennent au plan P ; le triangle AMM' est la base du t�tra�dre ; la hauteur est la distance du point N au plan P, c'est � dire l.
La droite D est perpendiculaire aux droites D et D'.
A appartient � D ; M est l'intersection des droites D et D.
M' appartient � D ; D et D sont perpendiculaires, en cons�quence les droites D et D sont perpendiculaires.
Par suite le triangle AMM' est rectangle en M.
AM = [(1-2)2 +(2-4)2+(0-0)2] = 5.
Aire de la base AMM' : AM xMM' / 2 = 5 x6 / 2=30 / 2.
Volume du t�tra�dre : aire de base x hauteur / 3 =30 l / 6.

 c. Justifier que, si N1 et N2 sont deux points quelconques de la droite d, les t�tra�dres AN1MM′ et AN2MM′ ont le m�me volume.
La droite d est strictement parall�le au plan P : les distances de N1 et N2 au plan P sont �gales.
Le triangle AMM' est la base des t�tra�dres AN1MM′ et AN2MM′.
Donc les t�tra�dres AN1MM′ et AN2MM′ ont le m�me volume. 



  
menu