D’apr�s
la troisi�me loi de Kepler, la p�riode de r�volution d’une plan�te
autour du Soleil d�pend uniquement de la valeur du demi-grand axe de sa
trajectoire elliptique. Dans le cas des plan�tes du Syst�me solaire, on
constate ainsi que, plus elles sont proches du Soleil, plus la p�riode
de r�volution est faible. Pourtant, certains objets semblent ne pas
v�rifier la
troisi�me loi de Kepler.
Le satellite SOHO est charg� d’observer en continu le Soleil afin d’en
�tudier la structure interne, les processus produisant le vent solaire
ainsi que la couronne solaire. Le satellite est plac� sur une orbite
circulaire centr�e sur le Soleil ; le Soleil, le satellite et la Terre
sont align�s � tout instant. La position du satellite sur l’axe
Terre-Soleil est constante au cours
du temps et se situe � une distance de la Terre d’environ 1,496 �10
6
km. L’orbite de la Terre autour du Soleil est consid�r�e comme
circulaire.
Donn�es :
• constante de gravitation universelle : G = 6,674�10
-11 m
3∙kg
-1∙s
-2 ;
• masse du Soleil : M
S = 1,989�10
30 kg ;
• masse de la Terre : M
T = 5,974�10
24 kg ;
• distance moyenne Soleil-Terre : R
T = 1,496�10
8 km ;
• distance entre le Terre et le satellite SOHO : d = 0,015�10
8 km ;
• rayon de l’orbite de SOHO autour du Soleil : r = 1,481�10
8 km ;
• p�riode de r�volution terrestre : T
T = 365,2 jours.
L’�tude est conduite dans le ref�rentiel h�liocentrique dont l’origine
est confondue avec le centre du Soleil et dont les axes pointent vers
des �toiles lointaines. Il est suppos� galil�en.
Q1. Justifier, � l’aide d’une analyse conduite dans le rep�re de Frenet, que le mouvement du satellite SOHO est uniforme.
La seule force appliqu�e est la force gravitationnelle exerc�e
par le soleil.
Le vecteur acc�l�ration est dirig� vers le centre du soleil.
La composante de l'acc�l�ration �tant nulle suivant le vecteur
t de la base de Frenet, la norme du vecteur vitesse ne change pas
(mouvement uniforme)
Q2. � l’aide d’un
argument g�om�trique, montrer que la p�riode de r�volution du satellite
SOHO autour du Soleil est la m�me que celle de la Terre autour du
Soleil.
Le satellite est plac� sur une orbite
circulaire centr�e sur le Soleil ; le Soleil, le satellite et la Terre
sont align�s � tout instant. La position du satellite sur l’axe
Terre-Soleil est constante au cours du temps
Q3. �noncer la
troisi�me loi de Kepler, l’exprimer dans le cas de la Terre. Montrer
alors, � l’aide de la question 2, que la troisi�me loi de Kepler n’est
pas v�rifi�e dans le cas de l’�tude du mouvement du satellite SOHO
autour du Soleil.
Le carr� de la p�riode de r�volution est proportionnelle au cube du rayon de l'orbite.
T
T2 / R
T3 = 4
p2 / (GM
S).
Pour le satellite Soho :
TT2 / r3 diff�re de 4 p2 / (GMS).
La p�riode de SoHO est �gale � la p�riode de r�volution de la Terre autour du Soleil soit environ 365 jours.
La p�riode de r�volution
T' d'un satellite soumis � la seule force gravitationnelle exerc�e par
le Soleil ne d�pend que du rayon r de l'orbite ( T� = K . r3 ).
Le rayon de la
trajectoire de SoHO devrait �tre �gal � celui de l'orbite de la Terre ;
ce n'est pas le cas, donc il y a au moins une autre force � consid�rer.
On cherche d�sormais � comprendre pourquoi, dans le cas de l’�tude du
mouvement du satellite SOHO, la troisi�me loi de Kepler n’est pas
v�rifi�e.
Q4. Reproduire sur
la copie le sch�ma de la figure 1 ci-dessus et y repr�senter
qualitativement les forces gravitationnelles exerc�es respectivement
par le Soleil sur le satellite et la Terre sur le satellite. Ce trac�
se fera sans souci d’�chelle.
Q5. Compte tenu de
la trajectoire du satellite, d�terminer laquelle des deux forces est la
plus intense. Justifier pr�cis�ment la r�ponse.
Q6. D�terminer la valeur du rapport FS/Soho / FT/Soho .Commenter.
F
S/Soho = GM
S m / r
2 ;
FT/Soho = GMT m / d2 ;
r ~ 100 d ; MS ~ 3 105 MT :
FS/Soho ~ G *3 105 MT / (100d)2 ~30 GMT m / d2 ~30 FT/Soho .
Q7. Proposer une
explication qualitative au fait que la troisi�me loi de Kepler soit
valable dans le cas de l’�tude du mouvement des plan�tes du Syst�me
solaire, mais pas dans le cas de l’�tude du mouvement du satellite SOHO
autour du Soleil.
Les plan�tes du syst�me solaire sont suffisamment �loign�es les unes
des autres. L'action d une plan�te sur une autre est n�gligeable devant
l'action du soleil sur cette m�me plan�te, ainsi seule l'action du
soleil peut �tre prise en compte.
L'action exerc�e par la terre su Soho n'est pas n�gligeable devant
l'action exerc�e par le soleil sur Soho. La troisi�me loi de Kepler
n'est pas appliquable dans le cas de Soho.
Q8. Justifier de l’inter�t de placer le satellite SOHO � cet endroit particulier du syst�me Terre-Soleil.
Soit un objet orbitant autour du Soleil, plus pr�s de celui-ci que la Terreet situ� sur une m�me ligne. Cet objet subit l'attraction solaire sup�rieure � celle de la Terre ; il tourne donc plus rapidement autour du Soleil que la Terre.
Mais la gravit� terrestre contrecarre en partie la gravit� du Soleil : ce qui ralentit cet objet.
Plus l'objet est proche de la Terre, plus cet effet est important.
� un certain point, le point L1 ( point de Lagrange ), l'objet et la Terre ont la m�me vitesse angulaire.
Soho est donc immobile par rapport � la terre et au soleil.
SOHO peut ainsi observer en continu le Soleil.
