Le spa gonflable
Un
spa gonflable permet de profiter d’une eau chauff�e pour se d�tendre.
L’eau du spa est chauff�e par une r�sistance �lectrique. Le spa est en
outre �quip� d’un syst�me permettant d’envoyer de l’air dans le fond du
spa pour faire
des bulles et d’un couvercle permettant de le fermer.
Le but de l’exercice est d’�tudier les conditions de fonctionnement du
spa.
Donn�es pour la situation �tudi�e :
− volume d’eau dans le spa rempli : V
eau = 795 L ;
− masse volumique de l’eau :
reau
= 1,00�10
3 kg m
-3;
− puissance de chauffage du spa : P
chauffage = 2,20�10
3
W ;
− capacit� thermique massique de l’eau : c
eau = 4,18�10
3
J⋅K
-1⋅kg
-1.
Dans un premier temps, on s’int�resse � la mise en service du spa. Le
spa est rempli avec de l’eau � la temp�rature initiale T
i =
17 �C, puis le chauffage est mis en route. On suppose que la masse
d’eau dans le spa reste constante.
Q1. Exprimer la
capacit� thermique C de l’eau du spa en fonction de V
eau,
reau et c
eau.
En d�duire
l’expression puis la valeur de la variation d’�nergie interne DU de l’eau du spa lorsque
sa temp�rature varie de Ti � la temp�rature Tf =
37 �C.
C = Veau reau
ceau=0,795 x1,0 103 x4,18 103=3,32 106
J K-1.
DU=C(Tf-Ti)
=3,32 106 (37-17)=6,65 107 J.
Q2. Montrer que la
valeur de la puissance thermique moyenne P re�ue par l’eau du spa lors
de la mise en service est de l’ordre de 1,5 kW.
P =
DU / dur�e =6,65 107
/ (12 x3600) ~1,54 103 W ~1,5 kW.
Q3. Comparer cette
puissance thermique moyenne P re�ue par l’eau du spa avec la puissance
de chauffage du spa Pchauffage et commenter.
P / P
chauffage = 1,5 / 2,2 ~0,68.
68 % de la puissance �lectrique sert � chauffer l'eau.
Dans cette partie, on s’int�resse aux pertes d’�nergie thermique du spa
lorsque le syst�me de chauffage est �teint.
La paroi du spa est constitu�e de deux couches de PVC de 4 mm
d’�paisseur, s�par�es par une couche d’air de 24 cm d’�paisseur. On
consid�re une temp�rature ext�rieure moyenne de 9 �C et une temp�rature
de l’eau moyenne de 37 �C.
Q4. Expliquer
qualitativement pourquoi il est, a priori, int�ressant, d’un point de
vue thermique, que les parois soient remplies d’air.
L'air est un tr�s bon isolant thermique.
Q5. D�terminer le
sens du transfert thermique dans cette situation. Justifier.
Le transfert thermique s'effectue de l'eau chaude vers l'ext�rieur, le
corps froid.
On consid�re le spa ouvert, le syst�me de chauffage �tant �teint. �
l’instant t = 0, la temp�rature vaut 37 �C.
On mod�lise le transfert thermique Q entre l’eau du spa et l’air
ext�rieur entre les instants t et t +
Dt par la loi de Newton :
Q = h . S . (T
ext - T(t)) .
Dt
Avec h le coefficient conducto-convectif surfacique, S l’aire de la
surface de l’eau en contact avec l’air, T
ext la temp�rature
de l’air ext�rieur, T(t) la temp�rature de l’eau du spa et
Dt
la dur�e d’�tude suppos�e petite devant la dur�e typique d’�volution de
la temp�rature du syst�me.
Q6. �tablir
l’�quation diff�rentielle qui caract�rise alors l’�volution temporelle
du syst�me {eau du spa} et la mettre sous la forme :
dT / dt +T(t) /
t
= T
ext /
t.
avec t le temps caract�ristique de l’�volution de la
temp�rature du syst�me dont on donnera l’expression en fonction de h,
S, ceau, reau et Veau.
DU=Q ; Veau
reau
ceau dT(t) =h . S . (Text - T(t)) .dt.
dT(t) / dt = h . S . (Text - T(t)) /
( Veau reau
ceau).
On pose t = Veau
reau
ceau / (h S).
dT(t) / dt +T(t) / t
= Text / t.
L’�volution de la temp�rature peut �tre mod�lis�e par une �quation du
type :
T(t) = A . exp (-t /
t)
+B
D�terminer graphiquement la o� A et B sont deux constantes que l’on ne
cherchera pas � d�terminer. Une simulation de cette �volution est
propos�e.valeur de
t.
Commenter.
L'eau du spa se refroidit tr�s lentement du fait de l'solation.
Dans les m�mes conditions que pr�c�demment, on active les bulles du spa.
Q8. Expliquer
qualitativement comment �volue la valeur de
t compar�e � la situation
pr�c�dente.
L'eau va se refroidir plus rapidement ;
t diminue.
Q9. Tracer alors
l’allure de la courbe d’�volution de la temp�rature que l’on
obtiendrait dans ce dernier cas.
