Refroidissement d'un fer � cheval, bac M�tropole 2022.

Un fer � cheval doit �tre parfaitement adapt� � la morphologie du sabot du cheval pour que celui-ci ne se blesse pas. Cela n�cessite un ensemble d’op�rations r�alis�es lors de la pose du fer par le mar�chal-ferrant : le fer est chauff� � une temp�rature d’environ 900 �C dans une forge pour �tre mall�able. � l’aide d’un marteau, il est ensuite d�form� pour s’ajuster � la forme du sabot.
1. Chauffage du fer.
Lors du chauffage du fer � cheval pour le rendre plus mall�able, sa temp�rature passe de la temp�rature ambiante q_ext = 15 �C � q₀ = 900 �C.
Q1. D�terminer la valeur de la masse m du fer � cheval.
volume du fer � cheval : V = 104 cm³ ; masse volumique du fer, suppos�e ind�pendante de la temp�rature : r= 7,87 g∙cm^–3 ;
masse m = V r = 104 x 7,87 =818,48 = 818 g.
Q2. Calculer la variation d’�nergie interne DU du fer � cheval lors de cette �tape.
capacit� thermique massique du fer suppos�e ind�pendante de la temp�rature : c = 440 J∙kg^–1∙K^–1 ;
DU = m c Dq =0,818 x 440 x (900-15) =3,19 10⁵ J.
Q3. Interpr�ter au niveau microscopique la variation d’�nergie interne DU du fer � cheval.
Agitation thermique, augmentation de l'�nergie cin�tique microscopique des atomes de fer.

2. Refroidissement du fer
Lorsque le fer est � la temp�rature souhait�e de 900 �C, le mar�chal-ferrant le sort de la forge et le fa�onne � l’aide d’un marteau pendant une minute environ. Il s’installe ensuite pr�s du cheval et il s’�coule � nouveau environ une minute. Le fer, encore chaud, est alors pos� quelques secondes sur la face inf�rieure du sabot, ce qui est sans douleur pour l’animal, mais br�le la corne en laissant une trace. Cela permet au mar�chal-ferrant de juger si la forme est satisfaisante. Si c’est le cas, il refroidit rapidement le fer en le trempant dans l’eau puis le fixe d�finitivement sur le sabot � l’aide de clous.
2.1. Refroidissement � l’air libre.
On consid�re que les transferts thermiques entre le fer � cheval et le milieu ext�rieur suivent la loi de Newton. Le syst�me �tudi� est le fer � cheval.
Q4. Le mar�chal-ferrant mart�le le fer � cheval dans l’air. Appliquer le premier principe de la thermodynamique pour le syst�me �tudi� entre les instants t et t + Dt ; la dur�e Dt �tant suppos�e faible devant une dur�e caract�ristique d’�volution de la temp�rature et la temp�rature variant de q(t) � q(t + Dt). En d�duire que l’�quation diff�rentielle r�gissant l’�volution de la temp�rature du fer � cheval peut s’�crire sous la forme :
dq /dt + q / t = q_ext / t avec t = m c / (h_air S)�
h_air = 14 W�m^–2�K^–1 ; coefficient de transfert thermique.
Loi de Newton : F = h_air S ( q_ext-q).
DU = W + Q avec W =0, le fer n'�change pas de travail avec l'ext�rieur.
Q = m c Dq ; F = Q / Dt =m c Dq / Dt = h_air S ( q_ext-q).
Dq / Dt = h_air S / (mc) ( q_ext-q)..
Dq / Dt = ( q_ext-q)./ t.
Dq / Dt + q / t = q_ext / t .
Dans ces conditions t = 880 s.
L’�quation diff�rentielle pr�c�dente admet pour solution la fonction : q(t) = (q₀ – q_Ext)�exp(-t / t) + q_Ext
Q5. V�rifier que la fonction propos�e q(t) est bien solution de l’�quation diff�rentielle pr�c�dente.
On d�rive : dq /dt = - (q₀ – q_Ext)� / t exp(-t / t).
Repport dans l'�quation diff�rentielle :
- (q₀ – q_Ext)� / t exp(-t / t) + (q₀ – q_Ext)�/ t exp(-t / t) + q_Ext / t =q_Ext / t.
Cette �galit� �tant v�rifi�e quel que soit le temps, la fonction propos�e est solution de l'�quation diff�rentielle.
Q6. Calculer la valeur de la temp�rature du fer au moment o� le mar�chal-ferrant le pose sur la face inf�rieure du sabot du cheval. Commenter.
t ~ 2 minutes = 120 s.
q =(900-15) exp(-120/ 880)+ 15 =787 �C.
Le fer encore tr�s chaud peut br�ler la corne.

2.2. Refroidissement dans l’eau avant la pose.
Pour acc�l�rer le refroidissement du fer afin de le poser rapidement sur le sabot, le mar�chal-ferrant plonge le fer encore chaud � la temp�rature de 600 �C dans un r�cipient contenant de l’eau � temp�rature ambiante de 15 �C que l’on consid�re comme constante.
Q7. En adaptant la solution obtenue dans le cadre du mod�le pr�c�dent, estimer la valeur de la dur�e n�cessaire pour que le fer soit refroidi � une temp�rature q_finale = 40 �C � laquelle l’artisan pourra poser le fer � l’aide de clous sur le sabot du cheval.
h_eau = 360 W�m^–2�K^–1 ; t =880 / 360 x 14=34,2 s.
q(t) = (q₀ – q_Ext)�exp(-t / t) + q_Ext.40 =(900-15)exp(-t / 34,2)+ 15.
35 / 885 = exp(-t / 34,2)
0,0395 =exp(-t / 34,2).
ln(0,0395) = -t / 34,2 ; t ~110 s.
Q8. Dans la r�alit�, 20 secondes suffisent pour refroidir le fer dans de l’eau � 15 �C. Commenter.
Les �changes entre le fer tr�s chaud et l'eau ne sont pas que conducto-convectifs. Le fer c�de de l'�nergie par rayonnement.
La temp�rature de l'eau varie ; une partie de l'eau se vaporise.