Math�matiques, g�om�trie, Bac M�tropole Antilles 2022. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts. . . . . . . .. .. ...... ... Dans l’espace rapport� � un rep�re orthonorm�, on consid�re :  le point A de coordonn�es (−1 ; 1 ; 3),  la droite D dont une repr�sentation param�trique est :  x = 1+2t ; y = 2− t ;  z = 2+2t  avec t r�el. On admet que le point A n’appartient pas � la droite D.  1. a. Donner les coordonn�es d’un vecteur directeur  de la droite D. Vecteur u de coordonn�es (2 ; -1 ; 2).  b. Montrer que le point B(−1 ; 3 ; 0) appartient � la droite D. -1 = 1+2t soit t = -1. y = 2-t = 2+1=3 =yB. z = 2+2(-1) = 0 = zB.  c. Calculer le produit scalaire suivant :  2. On note P le plan passant par le point A et orthogonal � la droite D, et on appelle H le point d’intersection du plan P et de la droite D. Ainsi, H est le projet� orthogonal de A sur la droite D.  a. Montrer que le plan P admet pour �quation cart�sienne : 2x − y +2z −3 = 0. P le plan passant par le point A et orthogonal � la droite D de vecteur directeur (2 ; -1 ; 2). Equation du plan P : 2x-y+2z+d=0. A (-1 ; 1 ; 3) appartient au plan P : -2-1+6+d = 0 : d = -3. 2x-y+2z-3=0.  b. En d�duire que le point H a pour coordonn�es ( 7/ 9 ; 19/ 9 ; 16 /9 ). H appartient � la droite D : xH = 1+2t ; yH = 2− t ;  zH = 2+2t. H appartient au plan P : 2xH-yH+2zH-3=0. 2+4t -2+t+4+4t-3 = 0 ; 9t+1=0 soit t = -1/9. xH = 1-2 /9 = 7 /9 ; yH =2+1/9 = 19 /9 ; zH = 2-2/9 = 16 /9.  c. Calculer la longueur AH. On donnera une valeur exacte. AH = [(7 /9+1)2+(19 / 9 -1)2+(16 /9 -3)2]� =(256 +100 +121)� / 9 =477� / 9 =53� / 3 .  3. Dans cette question, on se propose de retrouver les coordonn�es du point H, projet� orthogonal du point A sur la droite D, par une autre m�thode. On rappelle que le point B(−1 ; 3 ; 0) appartient � la droite D et que le vecteur u est un vecteur directeur de la droite D. a. Justifier qu’il existe un nombre r�el k tel que  . Les points H et B appartiennent � la droite D, de vecteur directeur  donc b. Montrer que  .  c. Calculer la valeur du nombre r�el k et retrouver les coordonn�es du point H. On note H(x ; y ; z). 1+x =16 / 9 ; x = 7 / 9. 3-y = 8 / 9 ; y = 3-8 /9 =19 / 9 ; -z = -16 /9 ; z = 16 / 9. 4. On consid�re un point C appartenant au plan P tel que le volume du t�tra�dre ABCH soit �gal � 8 / 9 . Calculer l’aire du triangle ACH. Les points A, H et C appartiennent au plan P. H est le projet� orthogonal de B sur ce plan P. V = aire du triangle ACH x BH / 3. Aire du triangle ACH = 3 V / BH = 8 / (3 BH). BH = [(7 /9+1)2+(19 / 9 -3)2+(16 /9 -0)2]� =(256 +64 +256)� / 9 = 24 / 9= 8 / 3. Aire du triangle ACH =1 unit� d'aire. ... .... On consid�re un cube ABCDEFGH et on appelle K le milieu du segment [BC]. On consid�re le t�tra�dre EFGK. On rappelle que le volume d’un t�tra�dre est donn� par : V = 1/ 3 �B �h o� B d�signe l’aire d’une base et h la hauteur relative � cette base.  1. Pr�ciser les coordonn�es des points E, F, G et K. E(0 ; 0 ; 1) ; F(1 ; 0 ; 1) ; G(1 ; 1 ; 1) ; K(1 ; 0,5 ; 0). 2. Montrer que le vecteur n de coordonn�es (2 ; -2 ; 1) est orthogonal au plan (EGK). 3. D�montrer que le plan (EGK) admet pour �quation cart�sienne : 2x −2y + z −1 = 0.   Le vecteur n de coordonn�es (2 ; -2 ; 1) est orthogonal au plan (EGK). Equation de ce plan : 2x-2y+z+d = 0. E(0 ; 0 ; 1) appartient � ce plan : 1+d = 0 soit d = -1. 2x-2y+z-1 = 0. 4. D�terminer une repr�sentation param�trique de la droite (d) orthogonale au plan (EGK) passant par F. Coordonn�es du vecteur directeur de cette droite : (2 ; -2 ; 1). x = 2t +xF =2t+1. y = -2t +yF = -2t. z =t+zF = t +1.  5. Montrer que le projet� orthogonal L de F sur le plan (EGK) a pour coordonn�es ( 5/ 9 ; 4/ 9 ; 7/ 9) . L appartient au plan (EGK) : 2xL-2yL+zL-1 = 0. L appartient � la droite (d) : xL = 2t+1 ; yL = -2t ; zL = t+1. 2(2t+1)-2(-2t)+t+1-1=0 ; 9t + 2=0 ; t = -2 /9. xL =-4 /9 +1 =5 / 9. yL = -2 (-2 /9) = 4 /9. zL = -2/9 +1 = 7 / 9. 6. Justifier que la longueur LF est �gale � 2/ 3 . LF = [(1-5/9)2+(0-4/9)2+(1-7/9)2 ]� =(16 +16 +4)� / 9 =6 /9 = 2 /3.  7. Calculer l’aire du triangle EFG. En d�duire que le volume du t�tra�dre EFGK est �gal � V =1/ 6. Aire du triangle EFG = moiti� de l'aire d'une face du cube = 0,5 cm2. Hauteur dut�tra�dre  : 1 cm. V = 0,5 x1 / 3 = 1 / 6 cm3.  8. D�duire des questions pr�c�dentes l’aire du triangle EGK. V = LF x aire du triangle EGK / 3.  Aire du triangle EGK =3 V / LF = 0,5 / (2 /3) =3 / 4 cm2.  9. On consid�re les points P milieu du segment [EG], M milieu du segment [EK] et N milieu du segment [GK]. D�terminer le volume du t�tra�dre FPMN. D'apr�s le th�or�me de la droite des milieux , les c�t�s du triangle MNP ont des longueurs �gales � la moiti� de celles du triangle EGK. Aire du triangle MNP = 1 /4  fois aire du triangle EGK = 1 /4 x3 /4 = 3 / 16.  Les points M, N et P appartiennent au plan (EGK) : il en est de m�me du triangle MNP. La hauteur du t�tra�dre  FPMN est la hauteur du t�tra�dre EFGK, cest � dire EL. Volume du t�tra�de FPMN = aire triangle MNP x LF / 3 = 3 / 16 x 2 / 3 x 1 /3 = 1 /24.

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