Mathématiques, probabilités, Bac Polynésie 2022. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . . . .. .. ...... ... Les douanes s’intéressent aux importations de casques audio portant le logo d’une certaine marque. Les saisies des douanes permettent d’estimer que :  - 20 % des casques audio portant le logo de cette marque sont des contrefaçons ; -  2 % des casques non contrefaits présentent un défaut de conception ; - 10 % des casques contrefaits présentent un défaut de conception.  L’agence des fraudes commande au hasard sur un site internet un casque affichant le logo de la marque. On considère les évènements suivants :  - C : « le casque est contrefait »; - D : « le casque présente un défaut de conception ».  Dans l’ensemble de l’exercice, les probabilités seront arrondies à 10−3 si nécessaire.  Partie 1 1. Calculer P(C ∩D). On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.  2. Démontrer que P(D) = 0,036.  3. Le casque a un défaut. Quelle est la probabilité qu’il soit contrefait ? P(C n D) / P(D) = 0,02 / 0,036 =0,556. Partie 2.  On commande n casques portant le logo de cette marque. On assimile cette expérience à un tirage aléatoire avec remise. On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de casques présentant un défaut de conception dans ce lot. 1. Dans cette question, n = 35. a. Justifier que X suit une loi binomiale B(n, p) où n = 35 et p = 0,036. On répète 35 fois une épreuve de Bernoulli, de façon indépendante. Probabilité du succès ( casque avec défaut) est p = 0,036.  b. Calculer la probabilité qu’il y ait parmi les casques commandés, exactement un casque présentant un défaut de conception. P(X=1)=(35 1)x0,0361x(1-0,036)34=0,362.  c. Calculer P(X < 1). P(X < 1).= P(X=0) + P(X=1)=0,277 +0,362=0,639.  2. Dans cette question, n n’est pas fixé. Quel doit être le nombre minimal de casques à commander pour que la probabilité qu’au moins un casque présente un défaut soit supérieur à 0,99 ? P(X >1) =1-P(X=0) =1-(n0) x0,0360 x0,964n = 1- > 0,99. 0,01 >0,964n . ln(0,01) > n ln(0,964). -4,605 > -0,0367 n. n > 126. ... .... Selon les autorités sanitaires d’un pays, 7 % des habitants sont affectés par une certaine maladie. Dans ce pays, un test est mis au point pour détecter cette maladie. Ce test a les caractéristiques suivantes :  - Pour les individus malades, le test donne un résultat négatif dans 20% des cas ; - Pour les individus sains, le test donne un résultat positif dans 1% des cas. Une personne est choisie au hasard dans la population et testée. On considère les évènements suivants :  M « la personne est malade » ; - T « le test est positif ». 1. Calculer la probabilité de l’évènement M ∩T . On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré. 0,07 x0,8=0,056. 2. Démontrer que la probabilité que le test de la personne choisie au hasard soit positif, et de 0,065 3. 0,0093 +0,056=0,0653.  3. Dans un contexte de dépistage de la maladie, est-il plus pertinent de connaître PM (T ) ou PT (M) ? Objectif : dépister la maladie. Il est plus pertinent de calculer la peobabilité d'être malade saxhant que le test est positif soit PT(M).  4. On considère dans cette question que la personne choisie au hasard a eu un test positif. Quelle est la probabilité qu’elle soit malade ? On arrondira le résultat à 10−2 près. PT(M) = P(T n M) / P(T) = 0,056 / 0,0653=0,86. 5. On choisit des personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d’assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On note X la variable aléatoire qui donne le nombre d’individus ayant un test positif parmi les 10 personnes.  a. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par X. Loi binomiale de paramètres n = 10 et p =0,0653. b. Déterminer la probabilité pour qu’exactement deux personnes aient un test positif. On arrondira le résultat à 10−2 près. P(X=2) =(102)x 0,06532 x(1-0,0653)8~0,11.  6. Déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité qu’au moins l’une d’entre elle ait un test positif, soit supérieur à 99%. P(X>1) = 1 -P(X=0) >0,99 ; 1-(1-0,0653)n >0,99. 1-0,99 > 0,9347n ; 0,01 > 0,9347n . ln(0,01) > n ln(0,9347) ;  n > 69.

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