Math�matiques, probabilit�s, Bac Polyn�sie 2022.

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Les douanes s’int�ressent aux importations de casques audio portant le logo d’une certaine marque. Les saisies des douanes permettent d’estimer que :
 - 20 % des casques audio portant le logo de cette marque sont des contrefa�ons ; -
 2 % des casques non contrefaits pr�sentent un d�faut de conception ;
- 10 % des casques contrefaits pr�sentent un d�faut de conception.
 L’agence des fraudes commande au hasard sur un site internet un casque affichant le logo de la marque. On consid�re les �v�nements suivants :
 - C : � le casque est contrefait �;
- D : � le casque pr�sente un d�faut de conception �.
 Dans l’ensemble de l’exercice, les probabilit�s seront arrondies � 10−3 si n�cessaire.
 Partie 1

1. Calculer P(C ∩D). On pourra s’appuyer sur un arbre pond�r�.
 2. D�montrer que P(D) = 0,036.
 3. Le casque a un d�faut. Quelle est la probabilit� qu’il soit contrefait ?
P(C n D) / P(D) = 0,02 / 0,036 =0,556.

Partie 2.
 On commande n casques portant le logo de cette marque. On assimile cette exp�rience � un tirage al�atoire avec remise. On note X la variable al�atoire qui donne le nombre de casques pr�sentant un d�faut de conception dans ce lot.
1. Dans cette question, n = 35. a. Justifier que X suit une loi binomiale B(n, p) o� n = 35 et p = 0,036.
On r�p�te 35 fois une �preuve de Bernoulli, de fa�on ind�pendante.
Probabilit� du succ�s ( casque avec d�faut) est p = 0,036.
 b. Calculer la probabilit� qu’il y ait parmi les casques command�s, exactement un casque pr�sentant un d�faut de conception.
P(X=1)=(35 1)x0,0361x(1-0,036)34=0,362.
 c. Calculer P(X < 1).
P(X < 1).= P(X=0) + P(X=1)=0,277 +0,362=0,639.
 2. Dans cette question, n n’est pas fix�. Quel doit �tre le nombre minimal de casques � commander pour que la probabilit� qu’au moins un casque pr�sente un d�faut soit sup�rieur � 0,99 ?
P(X >1) =1-P(X=0) =1-(n0) x0,0360 x0,964n = 1- > 0,99.
0,01 >0,964n .
ln(0,01) > n ln(0,964).
-4,605 > -0,0367 n.
n > 126.

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Selon les autorit�s sanitaires d’un pays, 7 % des habitants sont affect�s par une certaine maladie. Dans ce pays, un test est mis au point pour d�tecter cette maladie. Ce test a les caract�ristiques suivantes :
 - Pour les individus malades, le test donne un r�sultat n�gatif dans 20% des cas ;
- Pour les individus sains, le test donne un r�sultat positif dans 1% des cas.
Une personne est choisie au hasard dans la population et test�e. On consid�re les �v�nements suivants :
 M � la personne est malade � ;
- T � le test est positif �.

1. Calculer la probabilit� de l’�v�nement M ∩T . On pourra s’appuyer sur un arbre pond�r�.
0,07 x0,8=0,056.
2. D�montrer que la probabilit� que le test de la personne choisie au hasard soit positif, et de 0,065 3.
0,0093 +0,056=0,0653.
 3. Dans un contexte de d�pistage de la maladie, est-il plus pertinent de conna�tre PM (T ) ou PT (M) ?
Objectif : d�pister la maladie. Il est plus pertinent de calculer la peobabilit� d'�tre malade saxhant que le test est positif soit PT(M).
 4. On consid�re dans cette question que la personne choisie au hasard a eu un test positif. Quelle est la probabilit� qu’elle soit malade ? On arrondira le r�sultat � 10−2 pr�s.
PT(M) = P(T n M) / P(T) = 0,056 / 0,0653=0,86.
5. On choisit des personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d’assimiler ce pr�l�vement � un tirage avec remise. On note X la variable al�atoire qui donne le nombre d’individus ayant un test positif parmi les 10 personnes.
 a. Pr�ciser la nature et les param�tres de la loi de probabilit� suivie par X.
Loi binomiale de param�tres n = 10 et p =0,0653.
b. D�terminer la probabilit� pour qu’exactement deux personnes aient un test positif. On arrondira le r�sultat � 10−2 pr�s.
P(X=2) =(102)x 0,06532 x(1-0,0653)8~0,11.
 6. D�terminer le nombre minimum de personnes � tester dans ce pays pour que la probabilit� qu’au moins l’une d’entre elle ait un test positif, soit sup�rieur � 99%.
P(X>1) = 1 -P(X=0) >0,99 ; 1-(1-0,0653)n >0,99.
1-0,99 > 0,9347n ; 0,01 > 0,9347n .
ln(0,01) > n ln(0,9347) ;  n > 69.



  
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