Math�matiques,
g�om�trie, Bac Polyn�sie
2022.
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d’int�r�ts.
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L’espace est rapport� un rep�re orthonormal o� l’on consid�re :
les points A(2 ; −1 ; 0) B(1 ; 0 ; −3), C(6 ; 6 ; 1) et E(1 ; 2 ; 4);
Le plan P d’�quation cart�sienne 2x − y − z +4 = 0.
1. a. D�montrer que le triangle ABC est rectangle en A.
AB 2 =(1-2) 2 +(0-(-1)) 2+(-3-0) 2 =11.
AC2 =(6-2)2 +(6-(-1))2+(1-0)2 =66.
BC2 =(6-1)2 +(6-0)2+(1-(-3))2 =77.
BC2 =AC2 +
AB2 .
b. Calculer le produit scalaire suivant puis les longueurs BA et BC.
c. En d�duire la mesure en degr�s de l’angle ABC arrondie au degr�.
 2. a. D�montrer que le plan P est parall�le au plan (ABC).
b. En d�duire une �quation cart�sienne du plan (ABC).
2x − y − z +d = 0.
A(2 ; -1 ;0) appartient au plan ABC : 2*2-(-1)-0+d = 0 ; d = -5.
2x − y − z -5= 0.
c. D�terminer une repr�sentation param�trique de la droite D orthogonale au plan
(ABC) et passant par le point E.
Coordonn�es d'un vecteur directeur de la droite (D) : (2 ; -1 ; -1).
Par suite x = 2t+x E =2t+1.
y = -t+y E =-t+2.
z = -t+z E = -t+4 avec t r�el.
d. D�montrer que le projet� orthogonal H du point E sur le plan (ABC) a pour
coordonn�es (
4 ;
1
/2
;
5/
2 )
.
Le point H appartient au plan (ABC) et � la droite D.
2x H-y H-z H-5=0.
x H = 2t+1 ; y H = -t+2 ; z H = -t+4.
2(2t+1) -(-t+2)-(-t+4)-5 = 0.
6t= 9 t = 1,5.
x H =2 *1,5+1 = 4 ; y H =-1,5 +2 = 0,5 ; z H = -1,5 +4 = 2,5.
3. On rappelle que le volume d’une pyramide est donn� par V =
1
/3
Bh o� B d�signe l’aire
d’une base et h la hauteur de la pyramide associ�e � cette base.
Calculer l’aire du triangle ABC puis d�montrer que le volume de la pyramide � ABCE
est �gal � 16,5 unit�s de volume.
Aire du triangle ABC : AB x AC / 2 = 11 � x66 � / 2 =5,5 x6 �.
h = HE =[(1-4) 2+(2-0,5) 2+(4-2,5) 2] � =13,5 �=(27 /2) � = 3* (3 /2) �.
V= 5,5 x6�x3 *(3/2)� / 3=5,5 x3=16,5 unit�s de volume.
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On
consid�re le cube ABCDEFGH d’ar�te de longueur 1.
L’espace est muni du rep�re orthonorm�.. Le point I est le milieu du
segment [EF], K le centre du carr� ADHE et O le milieu du segment [AG].
Le but de l’exercice est de calculer de deux mani�res diff�rentes, la distance du point B au plan
(AIG).
Partie 1. Premi�re m�thode
1. Donner, sans justification, les coordonn�es des points A, B, et G.
A(0 ; 0; 0) origine du rep�re.
B(1 ; 0 ; 0) ; G( 1 ; 1 ; 1).
On admet que les points I et K ont pour coordonn�es I(
1
/2
; 0 ; 1)
et K(
0 ;
1/
2
;
1/
2 )
.
2. D�montrer que la droite (BK) est orthogonale au plan (AIG).
Coordonn�es d'un vecteur directeur de la droite (BK) : ( -1 ; 0,5 ; 0,5) ou encore (2 ; -1 ; -1)..
3. V�rifier qu’une �quation cart�sienne du plan (AIG) est : 2x − y − z = 0.
-x +0,5y +0,5z +d=0
A(0 ; 0 ; 0) appartient � ce plan; par suite d = 0.
-x+0,5y +0,5z = 0 soit en multipliant par -2 : 2x-y-z=0.
4. Donner une repr�sentation param�trique de la droite (BK).
x = -t +xB =-t+1.
y = 0,5 t +yB = 0,5 t.
z = 0,5 t+zB = 0,5 t.
5. En d�duire que le projet� orthogonal L du point B sur le plan (AIG) a pour coordonn�es
L
(1
/3
;
1/
3
;
1
/3 ).
L appartient au plan (AIG) et � la droite (D) :
2xL-yL-zL=0.
xL=-t+1 ; yL=0,5t ; zL=0,5 t.
2(-t+1)-0,5t -0,5t = 0
3t =2 ; t = 2 /3.
xL = -2/3 +1=1/3 ; yL = 0,5 x2/3 = 1 /3 ; zL = 0,5 x2/3 = 1 /3.
6. D�terminer la distance du point B au plan (AIG).
BL = [(1/3-1)2+(1/3)2+(1/3)2 ]� =(6 /9)� =( 2 /3)�.
Partie 2. Deuxi�me m�thode
On rappelle que le volume V d’une pyramide est donn� par la formule V =
1
/3
�b �h, o� b est
l’aire d’une base et h la hauteur associ�e � cette base.
1. a. Justifier que dans le t�tra�dre ABIG, [GF] est la hauteur relative � la base AIB.
b. En d�duire le volume du t�tra�dre ABIG.
h = GF = 1.
Base = aire du triangle AIB= 0,5 x aire d'une face du carr� = 0,5.
V = 1 x0,5 / 3 = 1 / 6 unit� de volume.
2. On admet que AI = IG = 5� /
2
et que AG =3�.
D�montrer que l’aire du triangle isoc�le AIG est �gale � 6�/
4
unit� d’aire.
2 x aire du triangle rectangle AOI = 0,5 AG xOI.
O( �xG ; �yG ; �zG) soit (0,5 ; 0,5 ; 0,5).
OI =(02 +0,52 +0,52)� = 1/ 2� .
Aire du triangle AIG =0,5 x3�x1 / 2�=3� /(2 *2�)=6� / 4 unit�s d'aire.
3. En d�duire la distance du point B au plan (AIG).
Volume du t�tra�dre ABIG = 1 /3 Aire du triangle AIG x BL =1 / 3 x 6� /4 xBL=1/ 6.
BL = 2 / 6� = 2� x2� / (2�x3�) =( 2 /3)�.
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