Un
tracteur gravitationnel pour d�vier un ast�ro�de, bac Polyn�sie 2022.
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Exercice 2 ( 5
points).
Etude de la d�viation d'un ast�ro�de.
1.
Repr�senter sans souci d'�chelle, la force de gravitation exerc�e par
l'engin spatial E sur l'ast�ro�de A, tous deux consid�r�s comme des
points mat�riels, lorsqu'ils se trouvent � la distance d =AB l'un de
l'autre.
Cette interaction a lieu pendant une dur�e Dt
faible devant la p�riode orbitale de l'ast�ro�de. Pendant cet
intervalle de temps, la trajectoire de l'ast�ro�de est suppos�e
quasi-rectiligne et l'engin se maintient � une distance d constante de
l'ast�ro�de.
On a repr�sent� ci-dessous une portion de la trajectoire de l'ast�ro�de ainsi que sa vitesse initiale Vi en un point M de sa trajectoire sans pr�sence de l'engin spatiel puis le vecteur vitesse Vf de l'ast�ro�de juste apr�s l'interaction en pr�sence de l'engin spatial.
2. Repr�senter le
vecteur variation de vitesse r�sultant de l'interaction avec l'engin
spatial et qui permet de le d�vier de sa trajectoire.
3. En
d�duire la direction privil�gi�e dans laquelle les astronomes
doivent placer l'engin spatial pour d�vier l'ast�ro�de de sa
trajectoire initiale en choisissant parmi les propositions suivantes :
Dans la direction de DV : oui, la vitesse finale augmente, donc le rayon de l'orbite cro�t.
Perpendiculaire � DV :non. La force de gravitation exerc�e par le soleil est tr�s sup�rieure � FE/A.
Quelconque : non..
Application � la direction d'Apophis.
Masse d'Apophis M = 4 1010 kg.
Masse de E : m = 5 103 kg ; distance d = 240 m.
4. Donner l'expression de la norme de la force FE/A et calculer sa valeur.
FE/A = G M m / d2 =6,67 10-11 x 4 1010 x 5 103 / 2402=0,23 ~0,2 N.
Soit Dt la dur�e pendant laquelle il faut appliquer cette force pour obtenir la variation de vitesse DV voulue.
5. En appliquant la seconde loi de Newton � Apophis, dans le r�f�rentiel h�liocentrique, montrer que Dt = DVd2 / (G m).
Selon un axe tangentiel � la trajectoire, orient� dans le sens du mouvement, la seconde loi de Newton conduit � :
F = G M m / d2 = M DV / Dt.
G m / d2 = DV / Dt.
Dt = DVd2 / (G m).
Les scientifiques ont estim� qu'il pourrait suffire d'augmenter la norme du vecteur vitesse de l'ast�ro�de de 2 10-6 m /s au niveau de l'aph�lie pour �viter la terre.
6 . Montrer que, dans ces conditions, Dt ~ 4 jours.
Dt = 2 10-6 x 2402 / (6,67 10-11 x 5 103) =3,45 105 s ~96 heures ~4 jours.
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L'utilisation
du tracteur gravitationnel engendre une augmentation du rayon de la
trajectoire de l'ast�ro�de. Cette modification entra�ne une
augmentation de la p�riode de r�volution T de l'ast�ro�de autour du
soleil d'environ 15 minutes, ce qui �vitera l'impact avec la terre.
Rayon de la trajectoire d'Apophis R = 1,37961 1011 m.
Masse du soleil M = 1,98892 1030 kg.
T = 323,442 jours sans la pr�sence du tracteur.
G = 6,67408 10-11 N m2kg-2.
On consid�re que l'ast�ro�de �volue autour du soleil selon un mouvement uniforme quasi-circulaire de rayon R.
7. Etablir la troisi�me loi de Kepler pour Apophis dans le r�f�rentiel h�liocentrique.
L'ast�ro�de d�crit la circonf�rence 2pr � la vitesse v en T seconde.
2 p r = vT ; 4 p2 r2 = v2 T2 =GM / r T2.
T2 / r3 = 4 p2 /(GM).
8. Calculer la valeur de la p�riode de r�volution T ' d'apophis apr�s l'utilisation du tracteur.
T ' = T + 15 x 60 = 323,442 x24 x3600 +15 x 60 =2,7945 107 +900 =2,794629 107 s.
9. Calculer la valeur du nouveau rayon de la trajectoire R ' et en d�duire la valeur de l'augmentation DR en m�tre de rayon de cette trajectoire.
T2 / R3 = T '2 / R '3 ; R ' 3 =( T ' / T )2 R3.
R ' = ( T ' / T )2 / 3 R.
( T ' / T )2 / 3 =2,794629 107 / (2,794539 107 ) ~1,0000215.
R ' = 1,0000215 x 1,37961 1011 =1,37964 1011 m.
DR =(1,37964 -1,37961) 1011 =2.9660 106 m.
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