La
plan�te Mercure, bac Polyn�sie 2022.
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En
premi�re approximation sa trajectoire autour du soleil peut �tre
consid�r�e comme circulaire. Sa distance du soleil varie de 0,31 u a �
0,47 ua et sa vitesse , qui vaut en moyenne 47 km /s, varie de 39 � 59
km /s.
Rayon de Mercure : R =2440 km.
1 ua = 1,5 1011 m.
Etude de la trajectoire de Mercure.
1.
Enoncer la premi�re loi de Kepler. Repr�senter, sans souci
d'�chelle,l'allure de la trajectoire de Mercure autour du soleil. Faire
appara�tre la position du soleil et le demi-grand axe de l'orbite.
Le soleil est l'un des foyers de l'ellipse.
2. Montrer par un calcul simple que le demi-grand axe vaut 0,39 ua.
(0,47 +0,31) / 2 = 0,39 ua.
3. Enoncer la
seconde loi de Kepler. Appliquer cette loi pour d�terminer dans quelle
partie de sa trajectoire Mercure atteint sa vitesse de 39 km /s.
Justifier.
Deuxi�me loi ou loi des
aires : le mouvement de chaque plan�te est
tel que le segment de droite reliant le soleil et la
plan�te balaie des aires
�gales pendant des dur�es
�gales.
Les aires hachur�es sont �gales.
La distance M(t1) M (t1+Dt) est sup�rieure � la distance M(t2) M (t2+Dt).
Donc la vitesse de Mercure au point le plus proche du soleil est plus grande que la vitesse au point le plus �loign�.
La troisi�me loi de Kepler s'�crit T2/a3 = k avec k = 2,9 10-19 SI pour le syst�me solaire.
4.
Donner la signification de T et a pour Mercure. Justifier que cette
plan�te parcourt l'ensemble de son orbite autour du soleil en un peu
moins de trois mois.
T : p�riode de r�volution de Mercure autour du Soleil.
a : demi grand-axe de l'ellipse.
a = 0,39 x 1,5 1011 = 5,85 1010 m.
T2 = ka3 =2,9 10-19 x(5,85 1010)3 =5,8 1013.
T =7,6 106 s ou 88 jours.
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Etude de la trajectoire de Messenger.
Satellis�e autour de Mercure, cette sonde effectue des orbites avec une p�riode TS
=8,00 heures. Lors de son passage au plus pr�s de la surface de la
plan�te, � l'altitude h = 200 km, la sonde poss�dait une acc�l�ration a
= 3,15 m s-2. On supposeraa que cette acc�l�ration est due uniquement � l'attraction de Mercure.
On note m la masse de la sonde et M la masse de Mercure et R le rayon de Mercure.
5.
Reproduire le sch�ma en y faisant appara�tre R, r, le vecteur force
gravitationnelle exerc�e par Mercure sur la sonde, le vecteur vitesse
de la sonde ainsi que son vecteur acc�l�ration.
6.
Enoncer la seconde loi de Newton, puis l'appliquer � Messenger dans le
r�f�rentiel mercurocentrique consid�r� galil�en. En d�duire
l'expression du vecteur acc�l�ration.
Dans un r�f�rentiel galil�en, la somme vectorielle des forces
ext�rieuresappliqu�es au syst�me est �gale au produit de la masse du
syst�me par son vecteur acc�l�ration.
7. En d�duire M, masse de Mercure.
M = a r2 / G =3,15 x[(2440 +200)103]2 / (6,67 10-11)= 3,29 1023 kg.
8.
Appliquer la troisi�me loi de Kepler au mouvement de la sonde ;
calculer la valeur du demi-grand axe de son orbite. Expliquer pourquoi
la trajectoire de la sonde ne peut pas �tre consid�r�e comme circulaire.
a3 = TS2 GM / (4p2).
a3 =(8,00 x3600)2 x 6,67 10-11 x3,29 1023/ (4 x3,142)=4,61 1020.
a =7,72 106 m = 7,72 103 km.
Cette valeur �tant tr�s sup�rieure � r = 3640 km, la trajectoire de la sonde n'est pas circulaire.
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