On �tudie le vol d’un parapente et de son pilote assimil� � un point mat�riel G
situ� au centre de masse du syst�me {pilote + parapente}. Un vol droit �quilibr� est un vol
au cours duquel la trajectoire est rectiligne et sans variation de vitesse. L’air environnant
est suppos� immobile.
�tude cin�matique
On observe un parapente en vol droit �quilibr�. On se demande s’il s’agit d’une
voile d’�cole ou de comp�tition.
Le mouvement du syst�me est contenu dans un plan vertical muni du rep�re.
Depuis le sol, on filme le mouvement. Puis on pointe les positions successives de G.
Les coordonn�es cart�siennes de G(x,y), dans le rep�re , obtenues apr�s
mod�lisation s’expriment en fonction du temps :
x(t)= = 11,0 � t ; y(t) = −1,1 �t.
Dans ces relations, x(t) et y(t) sont exprim�s en m�tres et t en secondes
1. D�terminer les composantes du vecteur vitesse du syst�me puis la valeur de la vitesse
du syst�me en m�s
-1 puis en km�h
-1 du parapentiste.
La vitesse est la d�riv�e par rapport au temps de la position.
v
x(t) = 11,0 et v
y(t) = -1,1.
v =(11,0
2 +(-1,1)
2)
� ~11,1 m/s ou 11,1 x3,6 ~40 km /h.
2. V�rifier, � partir des r�sultats de la question pr�c�dente, la nature rectiligne uniforme
du mouvement. En d�duire son vecteur acc�l�ration.
La valeur de la vitesse �tant constante, le mouvement est uniforme.
t = x / 11 ; repport dans y(t) :
y = -1,1 x /11 =-0,1 x, fonction lin�aire ( le mouvement est rectiligne).
Le vecteur acc�l�ration est nulle ( premi�re loi de Newton).
3. Calculer l’angle de plan�
a.
tan
a = |y| /x=1,1/11=0,1 ;
a=5,7 �.
�tude dynamique
Au cours du mouvement d’un corps dans un fluide, il appara�t deux forces de contact
qu’exerce le fluide sur le corps :
- la tra�n�e T, de direction identique au vecteur vitesse mais dont le sens est oppos�
au sens du vecteur vitesse,
- la portance F, dont la direction est perpendiculaire � celle du vecteur vitesse et
dans le plan (𝑥Oy).
Les forces qui s’appliquent sur le syst�me {pilote + parapente} sont le poids P, la tra�n�e T et la portance F.
La masse de l’ensemble du syst�me est m = 87,7 kg.
Le parapentiste effectue un vol droit �quilibr� avec une vitesse par rapport au sol de
v= (11 � 1) m�s
-1 faisant un angle
a = 5,7 � par rapport � l’horizontale.
Donn�es : intensit� du champ de pesanteur terrestre : g = 9,80 m�s
-2
expression de l’intensit� de la tra�n�e T= 0,5
r v
2 S Cx
avec
r : masse volumique de l’air � l’altitude de vol = 1,14 kg�m
-3
v : vitesse du corps en m.s
-1 ;
S : surface de r�f�rence en m
2 : la voile du parapente �tudi� a une surface de
r�f�rence de 22,6 m
2
.
Cx : le coefficient de tra�n�e, sans unit�, refl�te l’a�rodynamisme d�pendant de la
forme. Il d�pend de la forme du corps en mouvement dans le fluide.
4. � l’aide de la deuxi�me loi de Newton, obtenir une relation entre T, m, g et
a. On
pourra utiliser la direction de la trajectoire comme axe de projection.
-T +mg sin
a = ma.
Le mouvement �tant rectiligne uniforme, l'acc�l�ration est nulle.
T = mg sin
a.
5. En d�duire le coefficient Cx en fonction de m, g,
a,
r, v et S. Pr�senter le r�sultat
accompagn� de son incertitude-type associ�e.
T= 0,5 r v2 S Cx=mg sin a.
Cx = mg sin a /(0,5 r v2 S)= 87,7 x9,80 x sin(5,7) / (0,5 x1,14 x11,12 x22,6)=0,054.
u(Cx) = 2 Cx (u(v) / v)=2x0,054 x1 /11 ~0,01.
Cx = 0,05 �0,01.
6. D�terminer la forme de la voile et v�rifier que le r�sultat de la mesure est en accord
avec la valeur de r�f�rence.
(0,05-0,04) / 0,01 = 1 < 3.
La voile est un corps profil�.
