L’objectif
de l’exercice est d’�tudier une condition sur la grandeur
temp�rature n�cessaire pour le bon d�roulement de la fermentation.
Pour cela, on r�alise l’exp�rience qui consiste � mesurer l’�volution
de
la temp�rature du lait au cours du temps lors de la phase de
fermentation.
Description de l’exp�rience.
Le lait est chauff� puis vers� dans un r�cipient contenant les deux
ferments. On mesure la
temp�rature du syst�me {r�cipient + lait} � l’aide d’une sonde.
La temp�rature est relev�e r�guli�rement au cours du temps � partir
d’une temp�rature initiale qui
sera not�e T
0 jusqu’au retour � la temp�rature ambiante not�e T
ext .
Lors de cette �tude, le transfert thermique re�u par le syst�me entre
les instants t et t +
Dt est not�
Q, il est mod�lis� par la loi de Newton :
Q = h � S � (T
ext - T(t)) �
Dt
avec h le coefficient d’�change thermique surfacique, S l’aire de la
surface ext�rieure du r�cipient,
T
ext la temp�rature ambiante, T(t) la temp�rature du syst�me {r�cipient
+ lait} et
Dt la dur�e. On
suppose
Dt faible devant la dur�e typique d’�volution de la temp�rature
du syst�me �tudi�.
Q1. D�terminer le sens du transfert thermique dans cette exp�rience.
Justifier.
Le transfert thermique s'effectue du corps chaud ( le lait) vers le corps froid ( l'ext�rieur).
Q2. Exprimer la variation d’�nergie interne
DU du syst�me �tudi� entre
les instants t et t +
Dt en
fonction de sa capacit� thermique C suppos�e constante, de la
temp�rature � l’instant t not�e T(t)
et de celle � l’instant t +
Dt not�e T(t +
Dt). En d�duire le signe de
DU dans le cadre de cette
exp�rience.
DU = Q =C( T(t + Dt) -T(t))= h � S � (Text - T(t)) � Dt.
Text - T(t) < 0 donc DU < 0.
Q3. �tablir l’�quation diff�rentielle suivante qui caract�rise
l’�volution temporelle de la
temp�rature du syst�me :
dT
/dt
+
T(t) /
t =
T
ext / t
o�
t est la dur�e caract�ristique de l’�volution de la temp�rature du
syst�me dont on donnera
l’expression, en fonction de h, C et S.
C( T(t + dt) -T(t))= h � S � (Text - T(t)) � dt.
( T(t + dt) -T(t)) / dt = dT /dt =h � S / C � (Text - T(t)).
dT /dt + T(t) / t =
Text / t avec t = h S / C.
La solution de cette �quation diff�rentielle est de la forme : T(t) = (T
0 - T
ext) � exp(- t /
t) +T
ext.
Les valeurs exp�rimentales de la temp�rature en degr� Celsius (y) et du temps en minutes (x) sont
correctement mod�lis�es par une courbe d’�quation :
y = 29 � exp(- x
/38) + 27.
Q4. Identifier les valeurs num�riques des grandeurs physiques T
0, T
ext et
t dans le cadre de ce
mod�le.
t =38 min. T
ext = 27�C.T
0 = 29+27=56�C.
Lors de la fermentation, gr�ce � leur action conjointe, les populations des deux bact�ries
employ�es – Streptococcus thermophilus et Lactobacillus bulgaricus - croissent rapidement. Elles
transforment le lactose en acide lactique. Cette �tape de fabrication est optimale � une temp�rature
comprise entre 42 �C et 45 �C et doit durer au minimum entre 3 et 4 heures.
Q5. Montrer que le processus de fermentation ne s’est pas r�alis� correctement au cours de
l’exp�rience d�crite ci-dessus.
42 = 29 � exp(- x
/38) + 27.
(42-27) / 29 =0,517 : x = -ln(0,517) x38 =25 min.
42 = 29 � exp(- x
/38) + 27.
(45-27) / 29 =0,621 : x = -ln(0,621) x38 =18 min.
25-18 = 7 min, valeur non comprise entre 3 et 4 heures..
Pour ralentir le refroidissement, il est possible d’utiliser des mat�riaux diff�rents. Dans les m�mes
conditions, le syst�me {r�cipient + lait} a cette fois-ci �t� envelopp� :
- dans une deuxi�me exp�rience, avec du carton ;
- dans une troisi�me exp�rience, avec du carton et une feuille d’aluminium intercal�e entre le
syst�me {r�cipient + lait} et l’enveloppe en carton.
Q6. � partir d’une
exploitation graphique effectu�e sur le document donn� , comparer les
dur�es caract�ristiques d’�volution de la temp�rature du
syst�me, associ�es � la deuxi�me et � la troisi�me exp�rience.
Q7. Interpr�ter qualitativement l’effet induit par la pr�sence de la feuille d’aluminium.
La feuille d'aluminium diminue les �changes thermiques par rayonnement : la dur�e du refroidissement augmente.
Q8. �valuer graphiquement la valeur de la dur�e optimale de fermentation dans le cas de la
troisi�me exp�rience. Conclure.
La dur�e de la fermentation est environ 18 min, ce qui est insuffisant.
Q9. G�n�ralement, pour faire des yaourts maison, on utilise une yaourti�re �lectrique. Expliquer.
La yaourti�re chauffe le m�lange lait + ferments afin de maintenir une
temp�rature optimale en compensant les pertes thermiques vers
l'ext�rieur.
