Physique chimie, math�matiques,  Bac STI2D M�tropole, Antilles 9 / 2022. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts. . . . . . . .. .. ...... ... Une horloge au jus d'orange. Pour mettre en �vidence le principe de fonctionnement d’une pile, il est possible d’alimenter une horloge gr�ce � une pile rudimentaire constitu�e d’une �lectrode de cuivre et d’une �lectrode en magn�sium plongeant dans du jus d’orange. En r�alisant l’exp�rience les valeurs suivantes sont relev�es : Dur�e de fonctionnement maximale Environ 21h.  Tension 1,52 V.  Intensit� du courant �lectrique 0,3mA.  pH du jus d’orange au d�but et � la fin de l’exp�rience D�but : 3,9 Fin : 6,5.  Volume du jus d’orange 140 mL.  Le but de cet exercice est de mod�liser le fonctionnement de cette pile � l’aide d’un mod�le math�matique en coh�rence avec les r�sultats exp�rimentaux mesur�s.  Partie A : �tude de la pile.  Lorsque cette pile rudimentaire est en fonctionnement, l’�lectrode en cuivre est le si�ge d’une transformation chimique mod�lis�e par la demi-�quation �lectronique suivante : 2H+(aq)+2e− →H2(g).  L’�lectrode en magn�sium est quant � elle le si�ge d’une transformation chimique mod�lis�e par la demi-�quation �lectronique : Mg(s)→Mg2+(aq) +2e−. 1. Sch�matiser cette pile alimentant un dip�le (mod�lisant l’horloge) en indiquant le sens de circulation des �lectrons et en identifiant clairement les deux �lectrodes. Rep�rer sur le sch�ma l’anode et la cathode de cette pile.  2. � partir des deux demi-�quations �lectroniques, �crire l’�quation de la r�action qui mod�lise le fonctionnement de la pile. Mg(s)→Mg2+(aq) +2e−. 2H+(aq)+2e− →H2(g). Addition : Mg(s) +2H+(aq)+2e−→Mg2+(aq) +2e−+ H2(g). Simplifier : Mg(s) +2H+(aq)→Mg2+(aq) + H2(g).  3. Utiliser l’�quation de la r�action pr�c�dente pour expliquer qualitativement l’�volution du pH du jus d’orange lorsque la pile d�bite. Les ions H+ sont consomm�s, leur concentration diminue et le pH augmente.  On d�sire comparer la dur�e maximale de fonctionnement obtenue en utilisant la pile au jus d’orange et celle que l’on aurait avec une pile LR6 standard achet�e en magasin.  4. Une pile LR6 a une quantit� d’�lectricit� stock�e moyenne de 2 800 mAh. En admettant que la pile LR6 d�bite un courant d’intensit� identique � celle de la pile � jus d’orange, calculer la dur�e maximale de fonctionnement de l’horloge aliment�e par la pile LR6. En d�duire le nombre de piles au jus d’orange n�cessaires pour remplacer une pile du commerce. Dur�e t = Q / I = 2 800 / 0,3 = 9,3 103 heures pour la pile LR6. 9,3 103 / 21 ~ 445 pile au jus d'orange. Partie B : �tude math�matique.  On note t le temps, exprim� en minute, �coul� depuis la mise en fonctionnement de la pile au jus d’orange. � l’aide d’une �tude exp�rimentale, la valeur du pH en fonction du temps peut �tre mod�lis�e par la fonction f d�finie sur [0 ;+∞[ par : f (t) = 6,571−2,671exp(− t / 261 ). Une repr�sentation graphique de f est donn�e ci-dessous. 1. Calculer f (0). Interpr�ter ce r�sultat dans le contexte de l’exp�rience. f(0) = 6,571 -2,671 = 3,9  ( pH initial du jus ). 2. a. R�soudre graphiquement l’�quation f (t) = 5. Donner le r�sultat en heure et minute. 140 min = 2 h 20 min.  b. R�soudre alg�briquement l’�quation f (t) = 5. Donner le r�sultat arrondi � la minute. Comparer ce r�sultat � celui obtenu � la question 2. a. 6,571−2,671exp(− t / 261 ) = 5 ; 6,571-5 =1,571= 2,671exp(− t / 261 ). 1,571 / 2,67 =0,588 ; ln(0,588) = -t / 261 ; 0,530 = t / 261 ; t ~138  min, en accord avec le graphe. 3. Calculer lim t→+∞ f (t). Le r�sultat est-il compatible avec les valeurs relev�es lors de l’exp�rience ? exp(− t / 261 ) tend vers 0 si t tend vers + oo. 2,671exp(− t / 261 ) tend vers 0 si t tend vers + oo. pH tend vers 6,57, en accord avec l'exp�rience. ... .... QUESTION 1 Pour chacune des deux questions suivantes, une seule des quatre r�ponses est exacte. Aucune justification n’est demand�e. Une bonne r�ponse rapporte un demi-point. Une mauvaise r�ponse, plusieurs r�ponses ou l’absence de r�ponse ne rapportent, ni n’enl�vent aucun point. Indiquer sur la copie le num�ro de la question et la r�ponse choisie.  1. Le nombre ln(35) est �gal � :  a. ln(5)�ln(7) ;  b. ln(5)+ln(7) vrai ; c. ln(30)+ln(5) ; d. ln(30)�ln(5). ln(35) = ln(5 x7) = ln(5) + ln(7).  2. Le nombre e20 est �gal � : a. e 4 �e 5 ; b. e 4 + e 5 ; c. e 5 +e 15 ; d. e 5 �e 15 vrai. e20 = e5 +15 =e 5 �e 15 . QUESTION 2 Lors d’une course, on a mesur� la fr�quence cardiaque d’un coureur de 100 m. Cette fr�quence cardiaque, en battements par minute, est mod�lis�e par la fonction f d�finie sur [0; 100] par f (x) = 28 ln(x +1)+70 o� x est la distance parcourue, en m�tre, depuis le d�part de la course.  1. Selon ce mod�le, quelle est la fr�quence cardiaque de ce coureur au d�part de la course ? x = 0 ; f(0) =ln(1) +70 = 0 +70 = 70 battements / minute. 2. Selon ce mod�le, au bout de combien de m�tres la fr�quence cardiaque de ce sportif est-elle �gale � 185 battements par minute ? Arrondir � l’unit�. 28 ln(x +1)+70 = 175 ; 28 ln(x+1) = 105 ; ln(x+1) = 105 / 28 = 3,75. x+1 = e3,75 ~ 42,52  ; x ~ 42  m. QUESTION 3 La temp�rature d’un four, exprim�e en degr� Celsius, en fonction du temps t, exprim� en minute, est mod�lis�e par une fonction f d�finie et d�rivable sur [0; +∞[, solution de l’�quation diff�rentielle (E) : y ′ = −0,2y +44.  1. D�terminer les solutions de cette �quation diff�rentielle sur [0; +∞[. Solution g�n�rale de y' +0,2 y = 0 : y = A e-0,2t avec A une constante. Solution particuli�re de (E) : y = 44 / 0,2 =220. Solution g�n�rale de (E) : y = A e-0,2t + 220.  2. On suppose que la temp�rature initiale du four est 25�C. En prenant f (0) = 25, donner une expression de f (t), pour tout t de [0; +∞[. 25 = A +220 ; A = -195. f(t) =220 -195 e-0,2t. QUESTION 4 On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument p/ 2 : On pose z =3�−i et z ′ = −2�exp(ip/4). 1. D�terminer la forme exponentielle de z. D�tailler les calculs. |z| = (3+(-1)2)� =2. z / |z| = 3� /2 -0,5 i =cos (-p/6) + i sin (-p / 6). z = 2 exp(-ip /6). 2. En d�duire la forme exponentielle de z / z ′ . z ′ = −2�exp(ip/4) = z ′ = 2�exp(ip/4) x exp(ip) = 2 exp(i 5p/4). z / z' = 2� / 2 exp(ip/4) x exp( -i 5p/4) = 1 /2� exp( -ip) = -1 /2� .  QUESTION 5 L’iode 131 est un �l�ment radioactif qui se d�sint�gre selon la loi N(t) = N(0)e−O,086t , o� N(0) est le nombre de noyaux au d�but de l’observation et N(t) le nombre de noyaux � l’instant t, exprim� en jour. D�terminer le temps au bout duquel la moiti� des noyaux d’iode 131 se sont d�sint�gr�s (demi-vie). On donnera le r�sultat en nombre de jours arrondi � l’unit�. N(t�) = N(0) / 2 = N(0) exp(-0,086 t�). 0,5 = exp(-0,086 t�). ln(0,5) = -0,086 t� ; t� ~ 8,0 jours.  QUESTION 6 On consid�re la fonction f d�finie sur R par f (x) = sin(x)+cos(x), 1. Montrer que f est solution de l’�quation diff�rentielle y ′′ + y = 0. f '(x) = cos(x) - sin(x). f "(x) = -sin(x) -cos(x). f "(x) + f(x) = 0.  2. Montrer que, pour tout nombre r�el x, f (x) = 2�cos ( x − p / 4 ).  f '(x) = - 2� sin ( x − p / 4 ). f "(x) = - 2� cos ( x − p / 4 ). - 2� cos ( x − p / 4 ) +2�cos ( x − p / 4 )=0 est v�rifi� quel que soit x.

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