L'airbag, dipole RC, �tude d'un crash-test, charge explosive, bac G Am�rique du Sud 2022.

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L’AIRBAG
Un airbag, ou coussin gonflable de s�curit�, est une membrane ou enveloppe flexible dans laquelle un gaz est tr�s rapidement inject� par une transformation chimique explosive pour gonfler l'enveloppe et ainsi amortir un choc.
Les airbags sont principalement utilis�s dans les automobiles pour prot�ger les passagers lors d'une collision et ainsi leur �viter une d�c�l�ration excessive en percutant certains accessoires de la voiture.
Partie 1. �tude d’un circuit RC et application � un d�tecteur de choc
Les airbags sont d�clench�s par une cha�ne �lectronique utilisant un capteur d’acc�l�ration, tel que l’acc�l�rom�tre MEMS (Micro-Electro-Mechanical-System).
Le but de cette partie est de montrer qu’un MEMS se comporte comme un circuit RC.
1. On s’int�resse � la r�ponse d’un circuit RC soumis � un signal d’entr�e uG(t) ayant la forme d’une tension en cr�neaux.
Cette tension en cr�neaux prend alternativement des valeurs E et 0 V, sa p�riode est not�e T.
1.1. � l’aide de la figure, d�terminer la valeur de E ainsi que celle de la fr�quence f de la tension en cr�neau uG(t).

E = 5 V ; T = 1 s ; f = 1/ T =1 Hz.
1.2. �tablir l’expression de l’intensit� i(t) du courant circulant dans le circuit en fonction de et duC(t)/dt.
Q(t) =C UC(t)  ; i(t) =  dq(t) / dt = C duC(t)/dt.
1.3. � t=0 s, la tension uG(t) passe de 0 V � 𝐸. Le condensateur est initialement d�charg�. On �tudie dans cette question la phase de charge du condensateur entre t=0 s et t=0,5 T.
1.3.1. �tablir l’�quation diff�rentielle v�rifi�e par la tension uC(t) aux bornes du condensateur lorsque uG(t)=E.
Additivit� des tensions : E = uR(t) + uC(t) = R i(t) +uC(t) =RCduC(t)/dt + uC(t).
1.3.2. V�rifier que uC(t)=E(1−exp(−t /(RC)) est solution de l’�quation diff�rentielle.
duC(t)/dt =E / (RC) exp(−t /(RC)).
Repport dans l'�quation diff�rentielle :
RC E / (RC) exp(−t /(RC)) + E(1−exp(−t /(RC)) = E est v�rifi� quel que soit t.
1.3.3. � partir de l’expression de uC(t), montrer que uR(t)=E exp(−t /(RC)).
i(t) = C duC(t)/dt = E / R exp(−t /(RC)).
uR(t)=Ri(t) = E exp(−t /(RC)).
1.4. Associer les courbes 1 et 2 de la figure aux tensions uC(t) et uR(t). Justifier.
Durant la charge du condensateur :
uR(0) = E et uR(t) tend vers z�ro si t est assez grand : courbe 1.
uC(0)=0 et uC(t)= tend vers E si t est assez grand : courbe 2.
 1.5. Les repr�sentations temporelles de ces tensions ont �t� simul�es avec C=1 μF. Estimer la valeur de la r�sistance en explicitant la m�thode.

t=RC = 0,1 s ; R = 0,1 / 10-6 = 105 ohms.
2. L'acc�l�rom�tre MEMS est constitu� d'une partie mobile qui, soumise � une acc�l�ration, entra�ne le d�placement de l’armature commune aux deux condensateurs. En l’absence d’acc�l�ration, chaque condensateur a une capacit� C. On consid�re un d�placement de l’acc�l�rom�tre MEMS suivant Ox, lorsqu‘il est soumis � une acc�l�ration, leurs capacit�s prennent respectivement les valeurs C1 et C2 comme l’illustrent les sch�mas de la figure.

2.1. La capacit� d’un condensateur plan dont les armatures ont une surface S et sont s�par�es d’une distance e est donn�e par la relation :
C=eS / e o� e est une constante.
Comparer C1 et C2 en justifiant la r�ponse.
e et S �tant constants : C1 cro�t car e 1 < e ; C2 d�cro�t car e 2 > e.
On suppose que les capacit�s sont reli�es � l’acc�l�ration par les relations suivantes :
C1= C(1+k⋅ax) et C2= C(1-k⋅ax) o� k est une constante positive et ax est la composante de l’acc�l�ration suivant l’axe Ox.
2.2. Donner le signe de ax qui permet de rendre compte de la situation sch�matis�e sur la figure. Commenter.
C1 > C, k >0, donc ax est positif en cas d'acc�l�ration.
Un circuit �lectrique non d�crit permet de d�livrer une tension de sortie continue Vout reli�e � la composante de l’acc�l�ration ax par la fonction affine : Vout=V0+S ax o� V0 est une tension continue et S est appel�e sensibilit� du capteur d’acc�l�ration.
2.3. Pour un acc�l�rom�tre d�di� � la d�tection d’un accident frontal et au d�clenchement d’un airbag, S=27 mV / g avec g=9,8 m⋅s-2. Donner la signification physique de V0 et calculer la variation de la valeur de la tension de sortie pour une acc�l�ration suivant Ox de 40 g. Commenter.
V0 est la tension correspondant � un mouvement rectiligne uniforme.
 Vout-V0=S ax =0,027 x40 =1,08 V.

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 Partie 2. �tude d’un crash-test
Un essai de choc (crash-test) est une op�ration r�alis�e en laboratoire consistant � tester le comportement des v�hicules en cas de choc ou de collision. Le v�hicule test� est projet� � une vitesse donn�e sur un obstacle massif de fa�on � reconstituer les conditions d'un choc et de mesurer les d�formations du v�hicule et les dommages caus�s aux passagers. Ceux-ci sont remplac�s par des mannequins.
La figure 4 pr�sente trois images issues de la vid�o d’un crash-test.
Le chronom�trage est indiqu� en millisecondes en haut � gauche sur chaque photo.
L’impact a lieu � la date 𝑡=0 s. Toutes les photos sont � la m�me �chelle.

1. Lors du crash-test, la voiture arrive � vitesse donn�e sur l’obstacle.
� partir des images, �valuer cette vitesse en km⋅h–1. D�tailler la d�marche.
40 cm sont parcourus en 24 ms ; v = 0,40 / 0,024 ~17 m/ sou 17 x3,6 ~60 km / h.
2. L’analyse de la vid�o permet de repr�senter les vitesses d’une des mires de la porti�re arri�re de la voiture et de la t�te du mannequin simulant le conducteur.
2.1. Caract�riser le mouvement de la t�te pendant les 25 ms suivant la date de l’impact qui a lieu � la date t=0 s.
La vitesse de la t�te �tant constante, son mouvement est rectiligne uniforme.
2.2. Sch�matiser sommairement la voiture � la date t=75 ms et repr�senter sans souci d’�chelle ses vecteurs vitesse et acc�l�ration.

La vitesse diminue, le vecteur acc�l�ration  a le sens contraire du vecteur vitesse.
2.3. Estimer la valeur maximale de l’acc�l�ration subie par la t�te du mannequin au cours du choc. D�tailler la d�marche.
Pente de la tangente � la courbe � t = 100 ms, date de la variation maximale de la vitesse de la t�te.
Valeur de l'acc�l�ration : 18 / 0,045 = 400 m s-2 ou 400 / 9 ,81~ 41 g.
La courbe suivante d�limite la zone de forte probabilit� d'apparition d'une commotion c�r�brale en fonction de la valeur et de la dur�e de l’acc�l�ration subie par la t�te.

2.4. La probabilit� d’apparition d’une commotion c�r�brale est-elle importante pour un conducteur lors d’un choc similaire � celui r�alis� lors du crash-test �tudi� ? Justifier.
Non, l'acc�l�ration n'est que de 41 g. Quel que soit le temps, cette valeur est en dehors de la zone de forte probabilit� de commotion c�r�brale.

Partie 3. Charge explosive.
Donn�es :
Esp�ce chimique
NaN3 : M =65 g / mol ;
KNO3 : M = 101,1 g / mol.
Pression atmosph�rique : P0=101 kPa ;
Constante des gaz parfaits : R=8,31 J�mol–1�K–1 ;
Lorsqu’une acc�l�ration excessive est d�tect�e, un m�lange constitu� d’azoture de sodium (NaN3) et de nitrate de potassium (KNO3) contenu dans une cartouche est mis � feu.
Cette mise � feu produit du diazote, gaz n�cessaire au gonflage de l’airbag. La mod�lisation de cette transformation chimique, suppos�e totale, conduit � la r�action dont l’�quation est la suivante :
10 NaN3(s) + 2 KNO3(s) → 16 N2(g) + K2O(s) + 5 Na2O(s)
1. Rappeler l’�quation d’�tat du gaz parfait en pr�cisant les unit�s de chacune des grandeurs.
PV = n RT.
P : pression en pascal ; V : volume en m3 ; n : quantit� de mati�re (mol) ; T temp�rature en K.
2. Dans le cadre du mod�le du gaz parfait, d�terminer la valeur de la quantit� de mati�re de diazote permettant, � 20 �C et � la pression atmosph�rique, le gonflement d’un airbag de 60 L, volume moyen d’un airbag conducteur.
n = PV / (RT) =1,01 105 x0,060 /(8,31 x293)=2,489 ~2,5 mol
3. Montrer que la masse minimale d’azoture de sodium n�cessaire � la production de diazote pour le gonflement de l’airbag est de 101 g. En d�duire la masse minimale de nitrate de potassium que doit contenir la cartouche.
n( NaN3) =10 / 16 x2,5 ~mol.
Masse = 1,56 x 65 ~101 g.
n( KNO3) =2 / 16 x2,5  =0,31 mol soit 0,31 x 101,1 ~31,6 g.
4. Le volume occup� par les r�actifs solides est �gal � 70 cm3.
Expliquer l’int�r�t d’utiliser un dispositif avec des r�actifs solides plut�t que du diazote stock� dans un r�servoir sous pression � la temp�rature de 20 �C.

Ordre de grandeur de la pression � laquelle il faudrait comprimer, dans un r�servoir de 500 mL, la quantit� de diazote n�cessaire au gonflement du sac de 60 L sous 1 bar � 293 K :

P= nRT/V avec n=2,5 mol; T=293 K et V= 5 10-4 m3 ;

P= 2,5*8,31*293 / 5 10-4 = 1,2 107 Pa = 120 bars.

Int�r�t d'utiliser un dispositif chimique plut�t qu'un dispositif de lib�ration d'un gaz sous pression :

Le volume de stockage "chimique" est 7 fois plus petit que le volume de stockage d'un gaz comprim�.

  
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