Observation de la Lune depuis la Terre, bac G
Am�rique du Sud 2022.
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Lorsqu’on
observe la face visible de la Lune, on distingue de grandes �tendues
sombres, appel�es mers lunaires, et des milliers de petites t�ches
correspondant � des crat�res. On peut en voir plusieurs dizaines de
milliers depuis la Terre, mais il en existe en r�alit� plusieurs
millions.
1. La face cach�e de la Lune
L’objectif de la premi�re partie est de comprendre l’expression � face cach�e de la Lune �.
Donn�es :
− on se place dans le r�f�rentiel g�ocentrique. Son origine correspond
au centre de la Terre et ses axes pointent en direction d’�toiles
lointaines. Il est suppos� galil�en ;
− constante de gravitation universelle : 𝐺 = 6,67 � 10−11 m3∙kg-1∙s-2 ;
− distance moyenne Terre-Lune : dTL = 3,844 � 105 km ;
− masse de la Terre : MT = 5,97 � 1024 kg ;
− expression de la norme du vecteur vitesse du centre de la Lune sur son orbite :
vL = [GMT / dTL]�.
− p�riode de rotation de la Lune sur elle-m�me : PL = 27,3 jours.
1.1. �tablir l’expression de la p�riode de r�volution TL de la Lune autour de la Terre, puis calculer sa valeur.
La Lune d�crit la circonf�rence 2 p dTL � la vitesse vL pendant la dur�e TL.
2 p dTL =vLTL = [GMT / dTL]� TL.
TL =2 p dTL1,5 / [GMT ]� =2 x3,14 x(3,844 � 108)1,5 / [6,67 � 10−11 x 5,97 � 1024]� =4,73 1013 / (2 107) ~2,37 106 s
ou 27,3 jours.
1.2. Comparer la valeur de TL � la p�riode de rotation de la Lune sur elle-m�me PL.
TL = PL.
1.3. Sur le sch�ma donn�, ajouter la position de la Lune et du point P aux dates PL /4, PL /2 et 3PL /4 . En d�duire, dans le cadre de ce mod�le simple, pourquoi on parle de � face cach�e de la Lune �.
Le point P reste toujours invisible depuis la Terre.
Le crat�re Tycho, situ� dans l'h�misph�re sud de la face visible de la
Lune, est n� il y a un peu plus d'une centaine de millions d'ann�es
suite � l'impact d'un ast�ro�de. Son diam�tre est de 86 km.
Le centre du crat�re est occup� par un ensemble de montagnes dont la
base s’�tale sur une quinzaine de kilom�tres. Le piton central s'�l�ve
� plus de 2 000 m�tres d’altitude.
L’objectif de cette deuxi�me partie est de concevoir une lunette
astronomique permettant de visualiser certains d�tails de la surface
lunaire depuis la Terre.
2. Observation de la Lune depuis la Terre.
Donn�es :
− le pouvoir s�parateur de l’oeil humain est la valeur minimale de l’angle q, suppos� petit devant 1 rad, sous lequel l’oeil peut distinguer deux points lumineux A et B : e = 2,9 � 10−4 rad.
2.1. Calculer l’angle q
sous lequel est vu le crat�re Tycho depuis la Terre. En d�duire s’il
est possible de distinguer les contours du crat�re � l’oeil nu.
q ~diam�tre du crat�re / distance Terre Lune =86 / (3,844 � 105 ) =2,24 10-4 rad.
Cette valeur �tant inf�rieure au pouvoir s�parateur de l'oeil, on ne distingue pas ces contours � l'oeil nu.
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Une lunette est mod�lis�e par l’association de deux lentilles minces convergentes.
2.2. Parmi les deux lentilles utilis�es, identifier celle qui joue le r�le de l’oculaire et celle qui joue le r�le de l’objectif.
2.3. Sur le sch�ma donn� :
− construire la marche du faisceau lumineux issu du point Bꝏ consid�r� � l’infini au travers de la lunette ;
− faire appara�tre l’image interm�diaire A1B1 et l’angle a′ sous lequel est vu l’image finale A’B’ de AꝏBꝏ � travers la lunette.
2.4. Expliquer pourquoi cette lunette est qualifi�e d’afocale et justifier l’int�r�t de ce r�glage.
Le faisceau �mergent de la lunette est parall�le de m�me que le faisceau incident : la lunette est donc afocale.
L'oeil observe sans fatigue, sans accommoder.
2.5. Exprimer le grossissement de la lunette en fonction de a et a′.
G =a′ /a .
On admet que le grossissement de la lunette est : G =f 'obj / f 'oc
, o� f 'obj et f 'oc repr�sentent respectivement les distances focales de l’objectif et de l’oculaire.
2.6. D�terminer la
valeur limite de la distance focale de l’oculaire qu’il faut associer �
un objectif de distance focale 300 mm pour pouvoir distinguer
l’ensemble de montagnes qui occupe le centre du crat�re Tycho.
Base des montagnes : 15 km.
Pour les distnguer, a' doit �tre sup�rieur au pouvoir s�parateur de l'oeil.
a' > 2,9 10-4 rad.
a = 15 / (3,844 � 105 ) =3,90 10-5 rad.
G > 2,9 10-4 /(3,90 10-5 ) ; G > 7,43.
f 'obj / f 'oc >7,43 ; f 'oc < 300 / 7,43 ; f 'oc < 40 mm.
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