Math�matiques, probabilit�s,  Bac Am�rique du Sud 9 / 2022.

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PARTIE A.
 Le syst�me d’alarme d’une entreprise fonctionne de telle sorte que, si un danger se pr�sente, l’alarme s’active avec une probabilit� de 0,97.
 La probabilit� qu’un danger se pr�sente est de 0,01 et la probabilit� que l’alarme s’active est de 0,01465.
 On note A l’�v�nement � l’alarme s’active � et D l’�v�nement � un danger se pr�sente �.
 1. Repr�senter la situation par un arbre pond�r� qui sera compl�t� au fur et � mesure de l’exercice.
 2. a. Calculer la probabilit� qu’un danger se pr�sente et que l’alarme s’active.
0,01 x0,97 = 0,0097.
b. En d�duire la probabilit� qu’un danger se pr�sente sachant que l’alarme s’active. Arrondir le r�sultat � 10−3 .
PA(D) = P(A n D) / (PA) =0,0097 / 0,01465 =0,662.
 3. Montrer que la probabilit� que l’alarme s’active sachant qu’aucun danger ne s’est pr�sent� est 0,005.
Pnon D(A) =P(non D n A) / P(non D).
Formule des probabilit�s totales : P(A) = P(A n D) + P( non D n A).
P( non D n A) = 0,01465 -0,0097 =0,00495.
Pnon D(A) =0,00495 / 0,99 =0,005.

 4. On consid�re qu’une alarme ne fonctionne pas normalement lorsqu’un danger se pr�sente et qu’elle ne s’active pas ou bien lorsqu’aucun danger ne se pr�sente et qu’elle s’active. Montrer que la probabilit� que l’alarme ne fonctionne pas normalement est inf�rieure � 0,01.
 P(non D n A) = P(A n D) + P(  D n non A) =0,00495 +0,0003 =0,00525 < 0,01.

PARTIE B.
 Une usine fabrique en grande quantit� des syst�mes d’alarme. On pr�l�ve successivement et au hasard 5 syst�mes d’alarme dans la production de l’usine. Ce pr�l�vement est assimil� � un tirage avec remise. On note S l’�v�nement � l’alarme ne fonctionne pas normalement � et on admet que P(S) = 0,00525.
On consid�re X la variable al�atoire qui donne le nombre de syst�mes d’alarme ne fonctionnant pas normalement parmi les 5 syst�mes d’alarme pr�lev�s. Les r�sultats seront arrondis � 10−4 .
 1. Donner la loi de probabilit� suivie par la variable al�atoire X et pr�ciser ses param�tres.
X suit une loi binomiale de param�tres n = 5 et p = 0,00525.
2. Calculer la probabilit� que, dans le lot pr�lev�, un seul syst�me d’alarme ne fonctionne pas normalement.
P(X = 1) = (5 1) * 0,005251 *(1-0,00525)5-1~0,00257.
 3. Calculer la probabilit� que, dans le lot pr�lev�, au moins un syst�me d’alarme ne fonctionne pas normalement.
P(X > 1) = 1-P(X=0)=1- (5 0) * 0,005250 *(1-0,00525)5-0~0,0260.

 PARTIE C.
 Soit n un entier naturel non nul. On pr�l�ve successivement et au hasard n syst�mes d’alarme. Ce pr�l�vement est assimil� � un tirage avec remise. D�terminer le plus petit entier n tel que la probabilit� d’avoir, dans le lot pr�lev�, au moins un syst�me d’alarme qui ne fonctionne pas normalement soit sup�rieure � 0,07.
La variable al�atoire Y donnant le nombre d'alarmes d�fectueuses suit la loi binomiale de param�tres n et p = 0,00525.
P(Y > 1) >0,07.
1-P(Y = 0) > 0,07 ; 1-0,07 > P(Y=0) ;  P(Y=0) < 0,93.
(n 0) * 0,005250 *(1-0,00525)n < 0,93.
0,99475n < 0,93.
n ln(0,99475) < ln(0,93).
-0,00526  n < -0,0726 ; n > 13,8.
Il faut pr�lever au moins 14 syst�me d'alarmes.

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 Une entreprise fabrique des composants pour l’industrie automobile. Ces composants sont con�us sur trois cha�nes de montage num�rot�es de 1 � 3.
 • La moiti� des composants est con�ue sur la cha�ne n� 1;
• 30 % des composants sont con�us sur la cha�ne n� 2;
 • les composants restant sont con�us sur la cha�ne n� 3.
� l’issue du processus de fabrication, il appara�t que 1 % des pi�ces issues de la cha�ne n�1 pr�sentent un d�faut, de m�me que 0,5 % des pi�ces issues de la cha�ne n�2 et 4 % des pi�ces issues de la cha�ne n�3. On pr�l�ve au hasard un de ces composants.
On note : • C1 l’�v�nement � le composant provient de la cha�ne n� 1 �;
 • C2 l’�v�nement � le composant provient de la cha�ne n� 2 �;
• C3 l’�v�nement � le composant provient de la cha�ne n� 3 �;
• D l’�v�nement � le composant est d�fectueux�.
 Dans tout l’exercice, les calculs de probabilit� seront donn�s en valeur d�cimale exacte ou arrondie � 10−4 si n�cessaire.
PARTIE A
1. Repr�senter cette situation par un arbre pond�r�.
 2. Calculer la probabilit� que le composant pr�lev� provienne de la cha�ne n� 3 et soit d�fectueux.
0,2 x0,04 = 0,008.
 3. Montrer que la probabilit� de l’�v�nement D est P(D) = 0,0145.

 4. Calculer la probabilit� qu’un composant d�fectueux provienne de la cha�ne n� 3.
PC3(D) = P(C3 n D) / P(D) =0,008 / 0,0145 ~0,05517.

 PARTIE B
L’entreprise d�cide de conditionner les composants produits en constituant des lots de n unit�s. On note X la variable al�atoire qui, � chaque lot de n unit�s, associe le nombre de composants d�fectueux de ce lot. Compte tenu des modes de production et de conditionnement de l’entreprise, on peut consid�rer que X suit la loi binomiale de param�tres n et p = 0,0145.
 1. Dans cette question, les lots poss�dent 20 unit�s. On pose n = 20.
a. Calculer la probabilit� pour qu’un lot poss�de exactement trois composants d�fectueux.
P(X = 3) = (20 3) * 0,01453 *(1-0,0145)20-3~0,0027.
 b. Calculer la probabilit� pour qu’un lot ne poss�de aucun composant d�fectueux. En d�duire la probabilit� qu’un lot poss�de au moins un composant d�fectueux.
P(X = 0) = (20 0) * 0,01450 *(1-0,0145)20-0~0,7467.
P(X > 1) = 1-P(X=0) =1-0,7467 ~0,2533.
2. Le directeur de l’entreprise souhaite que la probabilit� de n’avoir aucun composant d�fectueux dans un lot de n composants soit sup�rieure � 0,85. Il propose de former des lots de 11 composants au maximum. A-t-il raison ? Justifier la r�ponse.
P(X = 0) = (11 0) * 0,01450 *(1-0,0145)11-0~0,8516.
Le directeur a donc raison.

 PARTIE C
Les co�ts de fabrication des composants de cette entreprise sont de 15 euros s’ils proviennent de la cha�ne de montage n� 1, 12 euros s’ils proviennent de la cha�ne de montage n� 2 et 9 euros s’ils proviennent de la cha�ne de montage n� 3. Calculer le co�t moyen de fabrication d’un composant pour cette entreprise.
0,5 * 15 +0,3 *12 +0,2 *9 = 12,9 € pour un composant.

  
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