Math�matiques, suites,  Bac Am�rique du Sud 9 / 2022. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts. . . . . . . .. .. ...... ... Soit (un) la suite d�finie par u0 = 4 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 0,2 u2n . 1. a. Calculer u1 et u2. u1 = 0,2 u20 =0,2 x 42 =3,2. u2 = 0,2 u21 =0,2 x 3,22 =2,048. b. Recopier et compl�ter la fonction ci-dessous �crite en langage Python. Cette fonction est nomm�e suite_u et prend pour param�tre l’entier naturel p. Elle renvoie la valeur du terme de rang p de la suite (un). def suite_u(p) : u=4  for i in range(1,p) : u =0,2*u*u. return u  2. a. D�montrer par r�currence que pour tout entier naturel n, 0 < un < 4. Initialisation : la propri�t� est vraie au rang z�ro. H�r�dit� : 0 < un < 4 est suppos�e vraie au rang n. 0 <  u2n <  16 ; 0 < 0,2 u2n < 0,2 *16 ; 0 < 0,2  u2n < 3,2 < 4. 0 < un+1 < 4. La propri�t� est vraie au rang n+1. Conclusion : la propri�t� est vraie au rang z�ro et h�r�ditaire ; elle est donc vraie pour tout entier n.  b. D�montrer que la suite (un) est d�croissante. un+1-un = 0,2 u2n -un =un(0,2 un -1) avec un positif et inf�rieur � 4, donc 0,2 un-1 < 0. un+1-un < 0 ; la suite est donc d�croissante.  c. En d�duire que la suite (un) est convergente. La suite est d�croissante et minor�e par z�ro, donc elle converge. 3. a. Justifier que la limite l de la suite (un) v�rifie l’�galit� l =0,2 l 2 . En plus l'infini : limite de un = l limite de un+1 =limite de 0,2 u2n =  0,2 l2  la limite de un+1 est �gale � la limite de un. Soit l = 0,2 l2. b. En d�duire la valeur de l. Solution de l'�quation x = 0,2 x2 ; 0,2x2-x=0 ; x(0,2x-1)=0. x = 0  ; x = 5. Or 0 < un < 4. La solution x = 5 n'est pas retenue. Donc l = 0. 4. Pour tout entier naturel n, on pose vn = ln(un) et wn = vn −ln(5). a. Montrer que, pour tout entier naturel n, vn+1 = 2vn −ln(5). vn+1 = ln(un+1)= ln(0,2 u2n ) =ln(0,2) +2 ln(un) =  -ln(5)+2 ln(un). vn+1 = -ln(5) + 2 vn. b. Montrer que la suite (wn) est g�om�trique de raison 2. wn+1 = vn+1 −ln(5) = 2 vn - 2 ln(5) = 2(vn-ln(5)) = 2 wn. c. Pour tout entier naturel n, donner l’expression de wn en fonction de n et montrer que vn = ln(0,8) �2 n +ln(5). wn =w0 * 2n ; w0 = v0 -ln(5) = ln(u0) - ln(5) =ln(4) - ln(5) = ln(4 / 5) = ln(0,8). wn =ln(0,8) * 2n ; vn = wn +ln(5) =ln(0,8) * 2n+ ln(5).  5. Calculer la limite en plus l'infini de vn et retrouver la limite de un en plus l'infini. ln(0,8 ) < 0 ; en plus l'infini, 2n tend vers plus l'infini ; ln(0,8) * 2n tend vers moins l'infini ; vn tend vers moins l'infini. vn = ln(un)  ; un = exp(vn) tend donc vers z�ro. ... .... La population d’une esp�ce en voie de disparition est surveill�e de pr�s dans une r�serve naturelle. Les conditions climatiques ainsi que le braconnage font que cette population diminue de 10 % chaque ann�e. Afin de compenser ces pertes, on r�introduit dans la r�serve 100 individus � la fin de chaque ann�e. On souhaite �tudier l’�volution de l’effectif de cette population au cours du temps. Pour cela, on mod�lise l’effectif de la population de l’esp�ce par la suite (un) o� un repr�sente l’effectif de la population au d�but de l’ann�e 2020+n. On admet que pour tout entier naturel n, un > 0. Au d�but de l’ann�e 2020, la population �tudi�e compte 2 000 individus, ainsi u0 = 2000. 1. Justifier que la suite (un) v�rifie la relation de r�currence : un+1 = 0,9un +100. Chaque ann�e la population diminue de 10 % ( multiplication par 0,9) :  0,9 un. On introduit chaque ann�e 100 individus : 0,9 un +100. 2. Calculer u1 puis u2. u1 = 0,9 u0 +100 =2000 *0,9 +100 = 1900. u2 = 0,9 u1 +100 =1900 *0,9 +100 = 1810. 3. D�montrer par r�currence que pour tout entier naturel n : 1000 < un+1 < un. Initialisation : 1000 < u1 < u0. la propri�t� est vraie au rang z�ro. H�r�dit� : 1000 < un+1 < un est suppos�e vraie au rang n. 900 <  0,9un+1 <  0,9un ; 1000 <  0,9un+1 +100<  0,9un +100. 1000 < un+2 < un+1. . La propri�t� est vraie au rang n+2. Conclusion : la propri�t� est vraie au rang z�ro et h�r�ditaire ; elle est donc vraie pour tout entier n. 4. La suite (un) est-elle convergente ? Justifier la r�ponse. un+1-un =0,9 un+100-un =100 -0,1 un avec un > 1000. un+1-un < 0. La suite est minor�e par 1000. La suite est d�croissante et minor�e, donc elle converge.  5. On consid�re la suite (vn) d�finie pour tout entier naturel n par vn = un −1000. a. Montrer que la suite (vn) est g�om�trique de raison 0,9. vn+1 = un+1 −1000 = 0,9 un +100 -1000 =0,9(un-1000)=0,9 vn.  b. En d�duire que, pour tout entier naturel n, un = 1000(1+0,9n ). vn = v0 x0,9n ; v0 = u0 -1000 = 2000-1000 = 1000. vn = 1000 x0,9n ; un = vn +1000 =1000 x0,9n  +1000 = 1000 (1+0,9n ). c. D�terminer la limite de la suite (un). En donner une interpr�tation dans le contexte de cet exercice. -1 < 0,9 <1; donc 0,9n tend vers z�ro en plus l'infini. 1+0,9n tend donc vers 1 en plus l'infini. Au bout d'un temps assez long, la population se stabilise � 1000 individus.  6. On souhaite d�terminer le nombre d’ann�es n�cessaires pour que l’effectif de la population passe en dessous d’un certain seuil S (avec S > 1000).  a. D�terminer le plus petit entier n tel que un < 1020. Justifier la r�ponse par un calcul. 1000 (1+0,9n )< 1020. 1+0,9n  < 1,02. 0,9n  < 0,02. n ln(0,9) < ln(0,02). n >ln(0,02 / ln(0,9) ;  n > 37,12 soit 38 ans.  b. Dans le programme Python suivant, la variable n d�signe le nombre d’ann�es �coul�es depuis 2020, la variable u d�signe l’effectif de la population. Recopier et compl�ter ce programme afin qu’il retourne le nombre d’ann�es n�cessaires pour que l’effectif de la population passe en dessous du seuil S. def population(S) :   n=0 3  u=2000  while u >1 020 : u= 0.9*u+100  n = n + 1  return n

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