Math�matiques, fonction logarithme,  Bac Am�rique du Sud 9 / 2022. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts. . . . . . . .. .. ...... ... Le but de cet exercice est d’�tudier la fonction f , d�finie sur ]0 ; +∞[ ,par :  f (x) = 3x − x ln(x)−2ln(x).  PARTIE A : �tude d’une fonction auxiliaire g Soit g la fonction d�finie sur ]0 ; +∞[ par g(x) = 2(x −1)− x ln(x). On note g ′ la fonction d�riv�e de g. On admet que la limite en plus l'infini de g(x) est −∞. 1. Calculer g(1) et g(e). g(1) = 2(1-1)-ln(1) = 0. g(e) = 2(e-1) -e ln(e) = 2e-2-e = e-2. 2. D�terminer la limite en 0+ de  g(x) en justifiant votre d�marche. 2(x-1) tend vers -2. ln(x) tend vers moins l'infini. x ln(x) tend vers 0. g(x) tend vers -2.  3. Montrer que, pour tout x > 0, g ′ (x) = 1−ln(x). En d�duire le tableau des variations de g sur ]0 ; +∞[. On pose u = x, v = ln(x) ; u' = 1 ; v' = 1 /x. u'v+v'u = ln(x) +1. Par suite g'(x) = 2-(1+ln(x) = 1-ln(x). Si x appartient � ]0 ; e[, g'(x) > 0 et g(x) est croissante. Si x appartient � ]e ; +oo[, g'(x) < 0 et g(x) est d�croissante. Si x = e, g'(x) = 0 et g(x) pr�sente un maximum. 4. Montrer que l’�quation g(x) = 0 admet exactement deux solutions distinctes sur ]0 ; +∞[ : 1 et a avec a appartenant � l’intervalle [e ; +∞[. On donnera un encadrement de a � 0,01 pr�s. Sur ]0 ; e[ la fonction g(x) est d�rivable donc continue. -2 < 0 < e : d'apr�s le th�or�me des valeurs interm�diaires, il existe un unique r�el � tel que g(�)= 0. Or g(1) = 0, donc � = 1. Sur ]e ; +oo[ la fonction g(x) est d�rivable donc continue.  g(x) d�cro�t de 0,718 � -oo, il existe donc un unique r�el a tel que g(a)= 0. Or g(4,92) ~0,0009 et g(4,93)~-0,005, donc a appartient � ]4,92 ; 4,93[. 5. En d�duire le tableau de signes de g sur ]0 ; +∞[. PARTIE B : �tude de la fonction f On consid�re dans cette partie la fonction f , d�finie sur ]0 ; +∞[,par f (x) = 3x − x ln(x)−2ln(x). On note f ′ la fonction d�riv�e de f . La repr�sentation graphique Cf de cette fonction f est donn�e ci-dessous. On admet que la limite de f(x) en z�ro est plus l'infini. 1. D�terminer la limite de f en +∞ en justifiant votre d�marche. f(x) = x( 3-ln(x)-2 ln(x) / x)). En plus l'infini : par croissance compar�e ln(x) / x tend vers z�ro ; ln(x) tend vers plus l'infini ; 3-ln(x) tend vers moins l'infini ; par produit des limites, f(x) tend vers moins l'infini. 2. a. Justifier que pour tout x > 0, f ′ (x) = g(x). D�riv�e de x ln(x) : ln(x) +1. f '(x) = 3-(ln(x)+1)-2/x =3-1-ln(x)-2 /x = 2-ln(x) -2 /x =(2x-ln(x)-2) / x =g(x) / x. b. En d�duire le tableau des variations de f sur ]0 ; +∞[. x �tant positif, le signe de f'(x) est celui du num�rateur. 3. On admet que, pour tout x > 0, la d�riv�e seconde de f , not�e f ′′, est d�finie par f ′′(x) = (2− x) / x 2 . �tudier la convexit� de f et pr�ciser les coordonn�es du point d’inflexion de Cf . f "(x) s'annule et change de signe en x= 2. f "(x) >0 sur ]0 ; 2[ et f(x) est convexe. f "(x) <0 sur ]2 ; +oo[ et f(x) est concave. Le point de coordonn�es (2 ; f(2) ) est le point d'inflexion de la courbe. ... .... Soit g la fonction d�finie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par g(x) = 1+ x 2 [1−2ln(x)]. La fonction g est d�rivable sur l’intervalle ]0 ; +∞[ et on note g ′ sa fonction d�riv�e. On appelle C la courbe repr�sentative de la fonction g dans un rep�re orthonorm� du plan.  PARTIE A 1. Justifier que g(e) est strictement n�gatif. g(e) = 1+e2(1-2ln(e)) =1+e2(1-2)=1+e2(1-2)=(-1)(1+e2). 2. Justifier que la limite de g(x) en plus l'infini est -oo. En plus l'infini : ln(x) tend vers plus l'infini ; 1-2ln(x) tend vers moins l'infini ; par produit des limites, x 2 [1−2ln(x)] tend vers moins l'infini. 3. a. Montrer que, pour tout x appartenant � l’intervalle ]0 ; +∞[, g ′ (x) = −4x ln(x). On pose u = x2; v = 1-2 ln(x) ; u' = 2x ; v' = -2 /x. u'v+v'u = 2x(1-2ln(x) -2x = -4x ln(x).  b. �tudier le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; +∞[ Si x appartient � ]0 ; 1[, g'(x) > 0 et g(x) est croissante. Si x appartient � ]1 ; +oo[, g'(x) < 0 et g(x) est d�croissante. Si x = 1, g'(x) = 0 et g(x) pr�sente un maximum. c. Montrer que l’�quation g(x) = 0 admet une unique solution, not�e �, sur l’intervalle [1 ; +∞[. Sur ]1 ; +oo[ la fonction g(x) est d�rivable donc continue.  g(x) d�cro�t de 2 � -oo, il existe donc un unique r�el � tel que g(�)= 0. d. Donner un encadrement de � d’amplitude 10−2 . Or g(1,89) ~0,024 et g(1,90)~-0,024, donc � appartient � ]1,89 ; 1,90[. 4. D�duire de ce qui pr�c�de le signe de la fonction g sur l’intervalle [1 ; +∞[. PARTIE B  1. On admet que, pour tout x appartenant � l’intervalle [1 ; α], g ′′(x) = −4[ln(x)+1]. Justifier que la fonction g est concave sur l’intervalle [1 ; �]. ln (x) >0 ; ln(x) +1 >0 ;  g "(x) < 0 ;  g est concave sur [1 ; �]. 2. Sur la figure ci-dessous, A et B sont les points de la courbe C d’abscisses respectives 1 et �.  a. D�terminer l’�quation r�duite de la droite (AB). A(1 ; 2 )  appartient � la droite (AB) : yA = axA+b ; 2 = a+b. B(� ; g(�=0) ) appartient � la droite (AB) : yB = axB+b ; 0 = a�+b soit b = -a�. Par suite 2 =a-a�=a(1-�) ; a = 2/(1-�) ; b = 2-a = 2-2 /(1-�) =-2� /(1-�). y = 2x /(1-�) -2� /(1-�).  b. En d�duire que pour tout r�el x appartenant � l’intervalle [1 ; �], g(x) > -2x /(�-1) +2�/(�-1). Sur cet intervalle, g(x) est concave, sa courbe repr�sentative se situe au dessus de toutes s�cantes, donc au dessus du segment [AB]. Donc g(x) > -2x /(�-1) +2�/(�-1)..

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