Math�matiques, g�om�trie dans l'espace,  Bac Am�rique du Sud 9 / 2022.

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Dans la figure ci-dessous, ABCDEFGH est un parall�l�pip�de rectangle tel que AB = 5, AD = 3 et AE = 2. L’espace est muni d’un rep�re orthonorm� d’origine A dans lequel les points B, D et E ont respectivement pour coordonn�es (5; 0; 0), (0; 3; 0) et (0; 0; 2).

1. a. Donner, dans le rep�re consid�r�, les coordonn�es des points H et G.
H(0 ; 3 ; 2 ) ; G(5 : 3 ; 2).
 b. Donner une repr�sentation param�trique de la droite (GH).
Coordonn�es du vecteur GH : ( 5 ; 0 ; 0).
Coordonn�es d'un vecteur directeur de cette droite (GH) : (1 ; 0 ; 0).
Par suite x = t+xH ; y = yH ; z = zH avec t r�el.
x = t ; y = 3 ; z = 2.
 2. Soit M un point du segment [GH] tel que  avec k un nombre r�el de l’intervalle [0; 1].
a. Justifier que les coordonn�es de M sont (5k ; 3 ; 2).
xM-xH = k(xG-xH ) ; xM-0=k(5-0) ; xM =5 k.
yM-yH = k(yG-yH ) ; yM-3=k(3-3) ; yM =3.
zM-zH = k(zG-zH ) ; zM-2=k(2-2) ; zM =2.
 b. En d�duire la relation suivante.

 c. D�terminer les valeurs de k pour lesquelles AMC est un triangle rectangle en M.
25k2 -25k+4=0
Discriminant D = 252-4*4*25=225 = 152.
k = (25+15) / 50 = 0,8 ; k = (25-15) / 50 = 0,2.

 Dans toute la suite de l’exercice, on consid�re que le point M a pour coordonn�es (1; 3; 2). On admet que le triangle AMC est rectangle en M . On rappelle que le volume d’un t�tra�dre est donn� par la formule 1/ 3 �Aire de la base�h o� h est la hauteur relative � la base.
 3. On consid�re le point K de coordonn�es (1; 3; 0).
a. D�terminer une �quation cart�sienne du plan (ACD).
Ce plan a pour vecteurs directeurs . Equation cart�sienne du plan (ACD), plan horizontal, z = 0.
b. Justifier que le point K est le projet� orthogonal du point M sur le plan (ACD).
zK = 0, donc K appartientau plan (ACD).

Le point K est le projet� orthogonal du point M sur le plan (ACD).
 c. En d�duire le volume du t�tra�dre MACD.
Aire de base = aire du triangle rectangle ACD = AD x DC / 2 =3 x5 /2 = 7,5.
Hauteur relative � cette base : MK = (02+02+(-2)2) = 2.
Volume de ce t�tra�dre : 7,5 x2 / 3 = 5 unit�s de volumes.
4. On note P le projet� orthogonal du point D sur le plan (AMC). Calculer la distance DP; en donner une valeur arrondie � 10−1. D sommet du t�tra�dre MACD ; la base de ce t�tra�dre  est le triangle AMC, rectangle en M.
AM = ((1-0)2 +(3-0)2 +(2-0)2) = 14.
CM = ((1-5)2 +(3-3)2 +(2-0)2) = 20.
AM x CM / 2 = 280 / 2 = 70.
Volume du t�tra�dre : 70 DP / 3 = 5.
DP = 15 / 70~1,8.

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Dans l’espace muni d’un rep�re orthonorm�, on consid�re les points A(0 ; 8 ; 6), B(6 ; 4 ; 4) et C(2 ; 4 ; 0).

 1. a. Justifier que les points A, B et C ne sont pas align�s.

ces deux vecteurs n'�tant pas colib�aires, les points A, B, c ne sont pas align�s.
b. Montrer que le vecteur n de coordonn�es (1 ; 2 ; −1) est un vecteur normal au plan (ABC).

Le vecteur n normal � deux vecteurs non colin�aires du plan ABC est normal � ce plan.
 c. D�terminer une �quation cart�sienne du plan (ABC).
x+2y-z+d=0.
B appartient � ce plan : xA+2yA-zA+d=0.
6+2*4-4+d=0 ; d = -10.
x+2y-z-10=0.
 2. Soient D et E les points de coordonn�es respectives (0; 0; 6) et (6; 6; 0).
a. D�terminer une repr�sentation param�trique de la droite (DE).
Coordonn�es du vecteur DE : ( 6 ; 6 ; -6).
Coordonn�es d'un vecteur directeur de cette droite ( 1 ; 1 ; -1).
x = t+xD = t ; y = t +yD = t ; z = -t +zD = -t+6 avec t r�el.
b. Montrer que le milieu I du segment [BC] appartient � la droite (DE).
Coordonn�es du point I : (xB+xC) / 2 = 4 ; (yB+yC) / 2 = 4 ; (zB+zC) / 2 = 2.
Si I appartient � la droite (DE) :
xE = t = 4 ; yE = t = 4 ; zE = -t +6 = 2 est bien v�rifi�. Donc I appartient � la droite (DE).
 3. On consid�re le triangle ABC.
a. D�terminer la nature du triangle ABC.
AB2 = (6-0)2 +(4-8)2 +(4-6)2 =56.
AC2=(2-0)2 +(4-8)2 +(0-6)2 =56.
BC2 =(2-6)2 +(4-4)2 +(0-4)2 =32.
AB = AC : le triangle ABC est isoc�le en A
 b. Calculer l’aire du triangle ABC en unit� d’aire.
I est le milieu de la base BC; AI est la m�diane et aussi hauteur du triangle.
AI = [(4-0)2+(4-8)2 +(2-6)2] =48= 4 x3.
Aire = AI x BC / 2 =4x3 x4 x2 / 2 = 8 x6.
 c. Calculer le produit scalaire suivant.
d. En d�duire une mesure de l’angle BAC arrondie � 0,1 degr�.

Cet angle mesure environ 44,4�.
  4. On consid�re le point H de coordonn�es ( 5/ 3 ; 10/ 3 ; -5/ 3 ) .
 Montrer que H est le projet� orthogonal du point O sur le plan (ABC).
En d�duire la distance du point O au plan (ABC).
Coordonn�es du vecteur OH : (5/ 3 ; 10/ 3 ; -5/ 3 ) .
Coordonn�es du vecteur n orthogonal au plan (ABC) : (1 ; 2 ; -1).
ces deux vecteurs sont donc colin�aires.
Si H appartient au plan (ABC) :  xH+2yH-zH-10=0.
5 /3 +20 /3 -(-5 /3) -10 =0 est bien v�rifi�e,  donc H appartient � ce plan.
OH =[(5 /3)2 +(10 / 3)2 +(-5 /3)2] =150 / 3 =5 x 6 / 3.



  
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