Math�matiques,
suite, fonction, Bac Am�rique du Nord
2022.
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Suite.
On
consid�re la suite (Tn) d�finie par : T0 = 180 et pour tout n entier naturel, Tn+1 =
0,955Tn +0,9.
1. a. D�montrer par r�currence que, pour tout entier naturel n, Tn > 20.
Initialisation : T0 = 180, la propri�t� est vraie au rang z�ro.
H�r�dit� : Tn+1 > 20 est suppos�e vraie.
0,955 Tn+1 > 20 x0,955 =19,9.
0,955 Tn+1 +0,9 > 19,9 +0,9 =20,8.
Tn+2 > 20,8.
Tn+2 > 20.
Conclusion : la propri�t� est vraie au rang z�ro et h�r�ditaire, elle est donc vraie pour tout entier n.
b. V�rifier que pour tout entier naturel n, Tn+1−Tn = −0,045(Tn −20). En d�duire le sens de
variation de la suite (Tn).
Tn+1−Tn = 0,955Tn +0,9−Tn = -0,045Tn+0,9 = -0,045(Tn-0,9 / 0,045) = −0,045(Tn −20).
Tn �tant sup�rieur ou �gal � 20; Tn-20 >0.
Tn+1−Tn < 0, la suite est d�croissante.
c. Conclure de ce qui pr�c�de que la suite (Tn) est convergente. Justifier.
La suite est d�croissante etminor�e par 20, donc elle converge.
2. Pour tout entier naturel n, on pose : un = Tn −20.
a. Montrer que la suite (un) est une suite g�om�trique dont on pr�cisera la raison.
un+1 = Tn+1-20 = 0,955Tn +0,9.-20 =0,995 Tn-19,1.
un+1 = 0,955(Tn-19,1 / 0,955) =0,955(Tn-20) = 0,955 un.
(un) est une suite g�om�trique de raison q = 0,955 et de premier terme u0 =160.
b. En d�duire que pour tout entier naturel n, Tn = 20+160�0,955n
.
un = 160 x0,955n= Tn-20.
Tn = 20+160�0,955n
.
c. Calculer la limite de la suite (Tn).
-1 < 0,955 < 1, donc 0,955n tend vers z�ro si n tend vers plus l'infini.
Tn tend vers 20.
d. R�soudre l’in�quation Tn < 120 d’inconnue n entier naturel.
20+160�0,955n < 120.
160�0,955n < 100.
0,955n < 5 /8.
n ln(0,955) < ln(5 / 8).
n > ln(5 / 8) / ln(0,955) soit n >11.
3. Dans cette partie, on s’int�resse � l’�volution de la temp�rature au centre d’un g�teau apr�s sa
sortie du four.
On consid�re qu’� la sortie du four, la temp�rature au centre du g�teau est de 180� C et celle de
l’air ambiant de 20� C.
La loi de refroidissement de Newton permet de mod�liser la temp�rature au centre du g�teau
par la suite pr�c�dente (Tn). Plus pr�cis�ment, Tn repr�sente la temp�rature au centre du g�teau, exprim�e en degr� Celsius, n minutes apr�s sa sortie du four.
a. Expliquer pourquoi la limite de la suite (Tn) d�termin�e � la question 2. c. �tait pr�visible
dans le contexte de l’exercice.
Au bout d'un temps suffisamment long la temp�rature au centre du g�teau sera �gale � la temp�rature du milieu ext�rieur.
b. On consid�re la fonction Python ci-dessous :
def temp(x) :
T = 180
n = 0
while T > x :
T=0.955*T+0.9
n=n+1
return n
Donner le r�sultat obtenu en. ex�cutant la commande temp(120).
Interpr�ter le r�sultat dans le contexte de l’exercice.
L'algorithme donne le temps au bout duquel la temp�rature au centre du g�teau sera inf�rieure � 120�C.
Soit 11 minutes d'apr�s la question pr�c�dente.
Fonction exponentielle.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque r�ponse.
1. Affirmation 1 : Pour tout r�el x :
1−
(1−e
x) /
(1+e
x
)=
2
/(1+e
−x). Vrai.
R�duire au m�me d�nominateur :
[1+ex-(1-ex) /
(1+e
x
)=2ex /
(1+e
x
)= 2 / (e-x+1)
2. On consid�re la fonctiong d�finie sur R par g (x) =
e
x/(
e
x +1)
.
Affirmation 2 : L’�quation g (x) =
1/
2
admet une unique solution dans R. Vrai.
0,5 = e
x/(
e
x +1)
.
ex+1 = 2ex.
1 = ex ; x = 0.
3. On consid�re la fonction f d�finie sur R par f (x) = x
2
e
−x
et on note C sa courbe dans un rep�re
orthonorm�.
Affirmation 3 : L’axe des abscisses est tangent � la courbe C en un seul point.
Vrai.
D�river en posant u = x2 et v = e-x ; u' = 2x ; v' = -e-x.
u'v+v'u = 2x e-x-x2e-x =xe-x(2-x).
Coeficient directeur de la tangente ( l'axe des abscisses) � la courbe : z�ro.
Equation de l'axe des abscisses : y = 0.
f '(x) = 0 donne x = 0 et x = 2.
Si x=0, �quation de la tangente y = f '(0) x +b = b.
Le point de coordonn�e (0 ; f(0) =0 appartient � la tangent, d'o� b = 0. ( convient )
Si x=2, �quation de la tangente y = f '(0) x +b = b.
Le point de coordonn�e (2 ; f(2) =4e-2 appartient � la tangent, d'o� b = 4e-2. ( Ne convient pas)
4. On consid�re la fonction h d�finie sur R par h(x) = e
x (
1− x
2)
.
Affirmation 4 : Dans le plan muni d’un rep�re orthonorm�, la courbe repr�sentative de la fonction h n’admet pas de point d’inflexion. Faux.
D�river en posant u = ex et v = 1-x2 ; u' = ex ; v' = -2x.
h '(x) =(1-x2) ex -2xex =ex(1-x2-2x).
d�river � nouveau en posant u = ex, v = 1-2x-x2.
u' = ex ; v' = -2x-2.
h"(x) = ex(1-x2-2x)-(2x+2)ex = -ex(1+x2-4x).
1+x2-4x = 0 ; discriminant D =(-4)2-4 = 12, soit deux solutions r�elles.
h"(x) s'annule deux fois et change de signe : donc 2 points d'inflexion.
5. Affirmation 5 : La limite en plus l'infini de ex / (ex+x) est �gale � z�ro. Faux.
ex / (ex+x) = 1 / (1+x /ex).
Par croissance compar�e, x / ex tend vers z�ro si x tend vers plus l'infini.
ex / (ex+x) tend vers 1 en plus l'infini.
6. Affirmation 6 : Pour tout r�el x, 1+e
2x > 2ex
.
1+e
2x - 2ex > 0.
(1-ex)2 > 0 est vraie.
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Fonction exponentielle.
Partie A.
Soit p la fonction d�finie sur l’intervalle [−3 ; 4] par :
p(x) = x
3 −3x
2 +5x +1
1. D�terminer les variations de la fonction p sur l’intervalle [−3 ; 4].
p '(x) = 3x2-6x+5.
3x2-6x+5 =0 ; discriminant D = 36-4*3*5= -24 aucune racine r�elles.
p'(x) > 0 et p(x) est strictement croissante.
2. Justifier que l’�quation p(x) = 0 admet dans l’intervalle [−3 ; 4] une unique solution qui sera
not�e �.
p(-3) =-27-27-15+1= -68.
p(4) = 64-48+20+1=37.
p(x) est continue et strictement croissante de -68 � 37.
0 appartient � cet intervalle ; d'apr�s le corollaire du ht�or�me des
valeurs interm�diaires, l'�quation p(x) = 0 admet une solution unique
dans l'intervalle [-3 ; 4].
3. D�terminer une valeur approch�e du r�el � au dixi�me pr�s.
La calculatrice donne � ~-0,2.
4. Donner le tableau de signes de la fonction p sur l’intervalle [−3 ; 4].
Si x appartient � [-3 ; � [, p(x) est strictement n�gative.
si x = �, p(x) est nulle.
Si x appartient � [� ; 4 [, p(x) est strictement positive.
Partie B
Soit f la fonction d�finie sur l’intervalle [−3 ; 4] par :
f (x) =
e
x
/( 1+ x
2).
On note Cf sa courbe repr�sentative dans un rep�re orthogonal.
1. a. D�terminer la d�riv�e de la fonction f sur l’intervalle [−3 ; 4].
On pose u = ex; v = 1+x2 ; u' = ex ; v' = 2x.
(u'v-v'u) / v2 =ex(1+x2-2x) / (1+x2)2 = ex(1-x)2 / (1+x2)2 .
b. Justifier que la courbe Cf admet une tangente horizontale au point d’abscisse 1.
La d�riv�e s'annule en x = 1.
Equation de la tangent : y = f(1) = e / 2.
2. Les concepteurs d’un toboggan utilisent la courbe Cf comme profil d’un toboggan. Ils estiment
que le toboggan assure de bonnes sensations si le profil poss�de au moins deux points d’inflexion.
a. D’apr�s le graphique ci-dessus, le toboggan semble-t-il assurer de bonnes sensations ?
Argumenter.
f est convexe sur [-3 ; 0], concave sur [0 : 1] et convex sur [1 ; 4].
La courbe admet deux points d'inflexion en x = 0 et x = 1.
Le tobogan assure de bonnes sensations.
b. On admet que la fonction f
′′, d�riv�e seconde de la fonction f , a pour expression pour
tout r�el x de l’intervalle [−3 ; 4] :
f
′′(x) =
p(x)(x −1)ex /(
1+ x
2 )3
o� p est la fonction d�finie dans la partie A.
En utilisant l’expression pr�c�dente de f
′′, r�pondre � la question : � le toboggan assuret-il de bonnes sensations ? �. Justifier.
ex /(
1+ x
2 )3 est positif.
f "(x) s'annule en x = 1 et change de signe.
p(x) s'annule en x = � et change de signe.
Il existe deux points d'inflexion : le tobogan assure de bonnes sensations.
QCM.
Question 1
Le r�el a est d�finie par a = ln(9)+ln(1/3�)
+ln(1/9)
est �gal � :
a. 1−
1
2
ln(3) ; b.
1/
2
ln(3) ; c. 3ln(3)+
1
/2 ; d. −
1
/2
ln(3).
a = ln(9 /(9 x3�)=ln(1/3�) = 0,5 ln(1/3) = -0,5 ln(3).
Question 2
On note (E) l’�quation suivante lnx +ln(x −10) = ln 3+ln 7 d’inconnue le r�el x.
a. 3 est solution de (E).
b. 5− 46� est solution de (E).
c. L’�quation (E) admet une unique solution r�elle.
d. L’�quation (E) admet deux solutions r�elles.
ln(x(x-10) )= ln (21).
x(x-10) = 21 ; x2-10x-21 = 0 avec x > 10.
Discriminant D = 102 +4*21=184 = 22* 46
x1 = (10 +2*46�) / 2 = 5+46�.
x1 =(10 -2*46�) / 2 = 5-46�.( valeur inf�rieure � 10, ne convient pas).
Question 3
La fonction f est d�finie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par l’expression f (x) = x
2
(−1+ln x).
On note Cf sa courbe repr�sentative dans le plan muni d’un rep�re.
a. Pour tout r�el x de l’intervalle ]0 ; +∞[, f
′
(x) = 2x +
1
/x
.
b. La fonction f est croissante sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
c. f
′ (
e� )
est diff�rent de 0.
d. La droite d’�quation y = −
1
/2
e est tangente � la courbe Cf au point d’abscisse e�. Vrai.
On d�rive en posant u = x2 , v = -1+ln(x) ; u' = 2x ; v' = 1 /x.
f '(x) = 2x(-1+ln(x) +x = x ( -1+2ln(x)).
f '(e�)=e�(-1+1)=0.
f(e�)=e(-1+0,5) = -e /2.
.
Question 4
Un sac contient 20 jetons jaunes et 30 jetons bleus. On tire successivement et avec remise 5 jetons du
sac.
La probabilit� de tirer exactement 2 jetons jaunes, arrondie au millli�me, est :
a. 0,683 ; b. 0,346 ; c. 0,230 ; d. 0,165.
Sch�ma de Bernoulli ( 5 exp�riences al�atoire n'ayant que deux issues, identiques et ind�pendantes entre elles).
On note X la variable al�atoire donnant le nombre de jetons
jaunes tir�s. X suit une loi binomiale de param�tres n = 5 et p = 20
/50 = 0,4.
p(X=2) =(52) x0,42 x(1-0,4)3 = 0,346.
Question 5
Un sac contient 20 jetons jaunes et 30 jetons bleus. On tire successivement et avec remise 5 jetons du
sac.
La probabilit� de tirer au moins un jeton jaune, arrondie au millli�me, est :
a. 0,078 ; b. 0,259 ; c. 0,337 ; d. 0,922.
M�me question que la question 4.
p(X > 1) = 1 -p(X=0) = 1-0,65 = 0,922.
Question 6
Un sac contient 20 jetons jaunes et 30 jetons bleus.
On r�alise l’exp�rience al�atoire suivante : on tire successivement et avec remise cinq jetons du sac.
On note le nombre de jetons jaunes obtenus apr�s ces cinq tirages.
Si on r�p�te cette exp�rience al�atoire un tr�s grand nombre de fois alors, en moyenne, le nombre de
jetons jaunes est �gal � :
a. 0,4; b. 1,2 ; c. 2 ; d. 2,5.
Esp�rance d'une loi binomiale E = n p = 5 x0,4 = 2.
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