Math�matiques, g�om�trie, Bac Am�rique du Nord 2022.

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Dans l’espace muni d’un rep�re orthonorm�  d’unit� 1 cm, on consid�re les points suivants :
 J(2 ; 0 ; 1), K(1 ; 2 ; 1) et L(−2 ; −2 ; −2) .
1. a. Montrer que le triangle JKL est rectangle en J.
JK= [(1-2)2+(2-0)2+(1-1)2 ]=(1+4+0) = 5.
JL= [(-2-2)2+(-2-0)2+(-2-1)2 ]=(16+4+9) = 29.
KL=
[(-2-1)2+(-2-2)2+(-2-1)2 ]=(9+16+9) = 34.
KL2 = JL2 +JK2; le triangle JKL est rectangle en J.
 b. Calculer la valeur exacte de l’aire du triangle JKL en cm2 .
JL x JK=(5 x29) / 2 = 145 / 2 cm2.
 c. D�terminer une valeur approch�e au dixi�me pr�s de l’angle g�om�trique JKL.
tan (JKL) =JL / KJ =(29 /5) ~2,408 ; L'angle JKL mesure 67,5 �.
2. a. D�montrer que le vecteur n de coordonn�es (6 ; 3 ; -10) est un vecteur normal au plan (JKL).

b. En d�duire une �quation cart�sienne du plan (JKL).
6x+3y-10z+d=0.
  J(2 ; 0 ; 1) appartient � ce plan : 12+0-10+d=0 ; d = -2.
6x+3y-10z-2=0.

Dans la suite, T d�signe le point de coordonn�es (10 ; 9 ; −6).
3. a. D�terminer une repr�sentation param�trique de la droite D orthogonale au plan (JKL) et passant par T.
Le vecteur n(6 ; 3 ; -10) est un vecteur directeur de la droite D.
x = 6t +xT =6t+10.
y = 3t+yT =3t +9.
z = -10t +zT =-10 t-6.
 b. D�terminer les coordonn�es du point H, projet� orthogonal du point T sur le plan (JKL).
 H appartient au plan(JKL) : 6xH+3yH-10zH-2=0.
H appartien � la droite D :
xH = 6t +10.
yH = 3t+9.
zH = -10t -6.
6(6t+10)+3(3t+9)-10(-10t-6)-2=0 ; 145 t +145=0 ; t = -1.
xH=4 ; yH =6 ; zH =4.

 c. On rappelle que le volume V d’un t�tra�dre est donn� par la formule : V = 1 3 B �h o� B d�signe l’aire d’une base et h la hauteur correspondante. Calculer la valeur exacte du volume du t�tra�dre JKLT en cm3 .
Hauteur TH =[ (4-10)2 +(6-9)2 +(4-(-6)2] =(36+9+100) =145.
Aire de base ( aire du triangle JKL) =
145 / 2.
V = 145 x145 / 6 = 145 / 6 cm3.

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Une exposition d’art contemporain a lieu dans une salle en forme de pav� droit de largeur 6 m, de longueur 8 m et de hauteur 4 m. Elle est repr�sent�e par le parall�l�pip�de rectangle OBCDEFGH o� OB = 6 m, OD = 8 m et OE = 4 m.

Dans ce rep�re on a, en particulier C(6; 8; 0), F(6; 0; 4) et G(6; 8; 4).
Une des œuvres expos�es est un triangle de verre repr�sent� par le triangle ART qui a pour sommets A(6; 0; 2), R(6; 3; 4) et T(3; 0; 4),
 Enfin, S est le point de coordonn�es ( 3 ; 5 / 2 ; 0) .
 1. a. V�rifier que le triangle ART est isoc�le en A.
AR=[(6-6)2+(3-0)2 +(4-2)2] =13.
AT=[(3-6)2+(0-0)2 +(4-2)2] =13.
AR = AT : le triangle ART est isoc�le en A.
 b. Calculer le produit scalaire suivant.
c. En d�duire une valeur approch�e � 0,1 degr� pr�s de l’angle (ART).

 2. a. Justifier que le vecteur n(2 ; -2 ; 3) est un vecteur normal au plan (ART).
 b. En d�duire une �quation cart�sienne du plan (ART).

2x-2y+3z +d=0
A(6 ; 0 ; 2) appartient � ce plan : 12+0+6+d=0 ; d = -18.
2x-2y+3z -18=0.
 3. Un rayon laser dirig� vers le triangle ART est �mis du plancher � partir du point S. On admet que ce rayon est orthogonal au plan (ART).
 a. Soit D la droite orthogonale au plan (ART) et passant par le point S. Justifier que le syst�me ci-dessous est une repr�sentation param�trique de la droite D :
x = 3+2k ; y = 2,5 -2k ; z =3k avec k r�el.
Le vecteur n de coordonn�es (2 ; -2 ; 3) est un vecteur directeur de cette droite.
x = 2k+xS =2k+3.
y =-2k+yS = -2k+2,5.
z = 3k+zS=3k.
b. Soit L le point d’intersection de la droite D, avec le plan (ART). D�montrer que L a pour coordonn�es ( 5 ; 1 /2 ; 3) .
L appartient � cette droite :
xL = -2k+3 ; yL = -2k+2,5 ; zL =3k.
L appartient au plan (ART) : 2xL-2yL+3zL -18=0.
2(2k+3)-2(-2k+2,5)+3(3k)-18=0
17k-17=0 ; k = 1.
L( 5 ; 0,5 ; 3).
 4. L’artiste installe un rail repr�sent� par le segment [DK] ou K est le milieu du segment [EH]. Sur ce rail, il positionne une source lumineuse laser en un point N du segment [DK] et il oriente ce second rayon laser vers le point S.

a. Montrer que, pour tout r�el t de l’intervalle [0; 1], le point N de coordonn�es (0 ; 8−4t ; 4t) est un point du segment [DK].
  xK=( xE+xH) /2 =0 ; yK=( yE+yH) /2 =4 ; zK=( zE+zH) /2 =4 .

b. Calculer les coordonn�es exactes du point N tel que les deux rayons laser repr�sent�s par les segments [SL] et [SN] soient perpendiculaires.

Coordonn�es du point N : (0 ; 8-17/5 =23 /5 ; 17 / 5).


  
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