Une
solution innovante consiste � remplacer les batteries
des bus �lectriques par des supercondensateurs.
Le principe est le suivant : � chaque arr�t, le bus se connecte de mani�re automatique et rapide
au totem. Le transfert d’�nergie �lectrique entre les supercondensateurs du totem et les
supercondensateurs embarqu�s dans le bus s’effectue alors en environ 10 s. Cette phase,
appel�e � biberonnage �, doit �tre parfaitement s�curis�e. En effet, l’intensit� du courant
�lectrique peut atteindre plusieurs milliers d’amp�res en d�but de transfert.
A. �tude d’un supercondensateur.
Chaque supercondensateur utilis� dans le totem a une tension nominale E. Il s’agit de la tension
atteinte lorsque le supercondensateur de capacit� C est totalement charg�.
Apr�s avoir charg� compl�tement un supercondensateur sous sa tension nominale E, on le place
dans le circuit sch�matis� sur la figure ci-dessous. Et � l’instant t = 0, on bascule l’interrupteur K
en position ferm�e.
On d�signe par q(t) la charge �lectrique port�e par l’armature positive du condensateur �
l’instant t comme indiqu� sur le sch�ma du circuit.
Donn�es :
- valeur initiale de la tension aux bornes du condensateur : u
C(0) = E = 2,7 V ;
- valeur de la r�sistance : R = 100 � 2 m
W o� ce qui suit le � est l’incertitude-type.
A.1. Montrer qu’au cours de la d�charge l’intensit� i(t) s’exprime par :
i(t) = - C x
du
c
(t)
dt.
q =Cu
c ; i = -dq /dt =
-C x
duc
(t)
dt.
A.2. En d�duire que la tension u
C(t) ob�it � l’�quation diff�rentielle :
RC x
du
c
(t)
dt
+u
c
(t) = 0.
u
c(t) = u
R(t) = R i(t) = - RC
duc
(t)
dt.
RC
duc
(t)
dt + uc(t) = 0.
La solution de cette �quation diff�rentielle est de la forme : u
c
(t) = A + B x exp(
-
t
/ (RC)).
A.3. En d�taillant la d�marche, d�terminer les valeurs de A et B.
uc(0) = E = A+B.
A t tr�s grand, le terme en exponentielle est nul . Le supercondensateur s'est d�charg� dans R et u
c = 0.
Donc A = 0 ; par suite B = E.
uc
(t) = E x exp(
-
t
/ (RC)).
Un dispositif d’acquisition permet d’enregistrer l’�volution de la tension u
C(t) lors de la d�charge
du supercondensateur. On obtient alors la courbe suivante.
A.4. D�terminer le temps caract�ristique
t de la d�charge. Faire appara�tre la construction
graphique r�alis�e sur la courbe.
5. En d�duire la valeur de la capacit� du supercondensateur utilis� dans cette �tude.
Commenter l’ordre de grandeur obtenu.
RC = 300 ; R =0,100 ohm ; C = 300 / 0,100 = 3,0 10
3 F, valeur tr�s grande par rapport aux capacit�s usuelles.
L’incertitude-type sur la lecture graphique de
t est estim�e � u(c) = 25 s.
L’incertitude-type u(c) sur la capacit� C peut se calculer � partir de la relation :
u(c) = C � [(u(
t) /
t)
2 +(u(
R) / R)
2]
�
o� u(x) d�signe l’incertitude-type sur la grandeur x.
A.6. Calculer u(
C) et exprimer le r�sultat de la mesure avec son incertitude-type. Comparer la
valeur exp�rimentale � la valeur de r�f�rence annonc�e par le constructeur C
r�f = 3000 F.
u(c) = 3000 � [(25 / 300)2 +(2 / 100)2]� =3000 x 0,087 =260 F
C = 3000 �260 F.
Ces deux valeurs sont en accord.
B. �tude du totem
Le totem contient une association d’un grand nombre de supercondensateurs. Cette association
se comporte comme un unique condensateur, appel� condensateur totem, de capacit� not�e
C
totem = 20 F. La tension nominale du condensateur totem a pour valeur E
totem = 760 V.
La courbe ci-apr�s repr�sente l’�volution temporelle de la tension u
C lors de la d�charge du
condensateur totem dans une r�sistance.
B.1. D�terminer la valeur de l’intensit� maximale I
max lors de la phase de d�charge.
Commenter.
I
max = C
totem dUc / dt = 20 x 380 =7,6 10
3 A.
L’�nergie W emmagasin�e dans le condensateur totem est donn�e par la relation :
W = 0,5
� C
totem � u
c
2
avec l’�nergie W en joule, la capacit� C
totem en farad et la tension du condensateur u
c en volt.
Pour recharger le condensateur totem, on utilise le r�seau �lectrique fournissant une puissance
suppos�e constante de valeur 9,0 kW.
B.2. Estimer le d�lai minimal � respecter entre le passage de deux bus au totem.
W = 0,5 x20 x 760
2 =5,78 10
6 J.
D�lai minimal = W / P =
5,78 106 / (9,0 103)=6,4 102 s ( 10 min 42 s).
