Math�matiques, DNB Nlle Cal�donie 2021. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts. . . . . . . .. .. ...... ... Exercice 1 : Vrai ou Faux 18 points Pour chaque affirmation r�pondre par vrai ou faux. Justifier chaque r�ponse. Affirmation 1 : 50% de 10 350 c’est 10 300. Faux. 10 350 x 0,50=5 175. Affirmation 2 : 7  / 3 est la forme irr�ductible de 42 / 18. Vrai. 42 = 2 x3 x7 ; 18 = 2 x3 x3. 42 / 18 = 7 / 3. Affirmation 3 : L’�quation 2x −4 = −x +5 a pour solution 3. Vrai. 2x+x=5+4 ; 3x = 9  ; x = 3. Affirmation 4 : L’arrondi � l’unit� pr�s du volume d’une boule de diam�tre 21,6 cm est 42 213 cm3. Faux. On rappelle la formule du volume d’une boule V =4 / 3 p R3 = 4 / 3 x3,14 x10,83 ~ 5277 cm3. Affirmation 5 : Dans la figure cod�e ci-dessous, la mesure de l’angle DNB, arrondie � l’unit� pr�s, est 18�. Vrai. tan (DNB) = BD / BN = 4 / 12 ~0,333 ; angle (DNB) ~18�. Affirmation 6 : On peut composer 6 codes diff�rents avec un cadenas � 3 chiffres qui respecte les conditions suivantes : • les deux premiers chiffres sont choisis parmi 1; 2 et 3; • un chiffre peut appara�tre deux fois ; • le dernier chiffre est 6. (1 ; 1 ; 6) ; (1 ; 2 ; 6) ; (1 ; 3 ; 6) ; (2 ; 1 ; 6) ; (2 ; 2 ; 6) ; (2 ; 3 ; 6) ; ( 3 ; 1 ; 6) ; (3 ; 2 ; 6)  ; (3 ; 3 ; 6). Faux. Exercice 2 : 10 points On �tudie les pr�cipitations (hauteurs de pluies) sur la ville de Noum�a entre avril et d�cembre 2020. On obtient le tableau suivant : Mois avril mai juin juillet ao�t septembre octobre novembre d�cembre Pr�cipitations (mm) 147 199 40 67 47 54 104 45 63 1. Calculer la moyenne des pr�cipitations. Arrondir le r�sultat au mm pr�s. (147 +199 +40 +67 +47 +54 +104 +45 +63) / 9 ~ 85 mm. 2. Quelle est l’�tendue des pr�cipitations ? 199 -40=159 mm. 3. D�terminer la m�diane des pr�cipitations. La m�diane partage la s�rie en deux parties �gales. 40 ; 45 ; 47 ; 54 ; 63 ; 67 ; 104 ; 147 ; 199. 4. Calculer le pourcentage de mois pour lesquels les pr�cipitations sont sup�rieures � 100 mm. Arrondir le r�sultat � l’unit� pr�s. 3 mois sur 9 soit 3 / 9 x100 ~ 33 %. Exercice 3 : 10 points BAI est un triangle rectangle en A tel que BA = 210 cm et AI = 155 cm. 1. D�terminer la longueur BI au cm pr�s. Relation de Pythagore. BI2 = BA2 + AI2 =2102 + 1552 =68 125 ; BI = racine carr�e (68 125) ~ 261 cm. L’immeuble de Joanne poss�de 15 vitres rectangulaires. Chaque vitre a pour longueur 210 cm et pour largeur 155 cm. Lors d’une pr�alerte cyclonique Joanne pose de l’adh�sif sur les deux diagonales de chaque vitre de l’immeuble. Une bande d’adh�sif est assimil�e � une diagonale du rectangle 2. Justifier que Joanne a besoin d’environ 5,22 m d’adh�sif pour une vitre. Pour une vitre : 2 x2,61 = 5,22 m. Joanne a 7 rouleaux d’adh�sif de 10 m chacun. 3. A-t-elle assez d’adh�sif pour toutes les vitres ? Justifier la r�ponse. Pour 15 vitres : 15 x 5,22 ~78,3 m. Cette valeur �tant sup�rieure � 70 m, c'est insuffisant. Exercice 4 : 14 points 1. a. Justifier que 330 n’est pas un nombre premier. 330 est pair, il est divisible par 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 10 ; 11 ; .....330), donc il n'est pas premier. La d�composition en produit de facteurs premiers de 500 est : 500 = 22 �53. b. D�composer 330 en produit de facteurs premiers. 330 = 2 x 3 x 5 x11. c. Justifier que 165 divise 330. 165 = 3 x 5 x11 ; 165  x 2 = 330. d. Justifier que 165 ne divise pas 500. 500 / 165 = 2 x25 / (3 x11) diff�re d'un nombre entier. La p�tisserie D�lices a pr�par� 330 biscuits aux noix et 500 biscuits au chocolat. La p�tisserie souhaite r�partir le plus de biscuits possible dans 165 boites. La p�tisserie met le m�me nombre de biscuits aux noix dans chaque bo�te. 2. Combien de biscuits aux noix y a-t-il dans chaque bo�te? 330 / 165 = 2. La p�tisserie met aussi le m�me nombre de biscuits au chocolat dans chaque bo�te. 3. a. Combien de biscuits au chocolat y a-t-il dans chaque bo�te? 500 =165 x 3 +5. Donc 3 biscuits au chocolat par bo�te. b. Combien de biscuits au chocolat reste-t-il ? Il reste 5 biscuits au chocolat. Une bo�te de biscuits co�te 3 650 francs. � partir de 10 bo�tes achet�es, la p�tisserie D�lices offre une r�duction de 5% sur le montant total. 4. Combien va-t-on payer pour l’achat de 12 bo�tes ? Faire appara�tre les calculs effectu�s. 3650 x 12 = 43 800 F. Remise :43 800 x 10 /100 = 4380 F. Prix pay� : 43 800 -4380 = 39 420 F. ... .... Exercice 5 : 18 points Un jeu est constitu� de quatre familles de cartes : banane; prune; citron; fraise. Voici la r�partition des cartes de la famille banane. Nombre de banane(s) 1 2 3 4 5 Nombre de cartes 5 3 3 2 1 La r�partition est la m�me pour les cartes avec les autres fruits. 1. Montrer que ce jeu a 56 cartes. 14 x 4 =56. Joanne m�lange toutes les cartes. Son fr�re Jack prend une carte au hasard. On admet que chaque carte a la m�me chance d’�tre choisie. Soit P l’�v�nement : � Jack obtient une carte de la famille prune �. 2. Quelle est la probabilit� de l’�v�nement P ? 14 carte dans la famille prune sur 56 cartes. Probabilit� de tirer une carte de la famille prune = 14 / 56 = 0,25. 3. a. Quel est l’�v�nement contraire de P ? Tirer une carte qui n'appartient pas � la famille prune. b. Quelle est la probabilit� de l’�v�nement contraire de P ? 1 -0,25 = 0,75. 4. Quelle est la probabilit� d’obtenir une carte avec quatre fruits ? 2 cartes poss�de 4 fruits dans chaque famille soit 8 cartes. probabilit� d'obtenir une carte avec 4 fruits : 8 / 56 = 1 / 7 ~ 0,14. Exercice 6 : 14 points Les parties 1 et 2 sont ind�pendantes Partie 1 : Distance de r�action La distance de r�action d’un v�hicule est la distance parcourue par ce v�hicule entre l’instant o� le conducteur voit un obstacle et l’instant o� il appuie sur la p�dale de frein. On consid�re un conducteur en bonne sant�. La distance de r�action, en m�tre, en fonction de la vitesse du v�hicule est repr�sent�e par le graphique suivant. 1. Cette repr�sentation graphique traduit-elle une situation de proportionnalit�? Justifier la r�ponse. Oui, le graphe est une droite passant par l'origine. 2. Compl�ter, par lecture graphique, le tableau suivant. vitesse ( km / h) 0 54 90 distance de r�action (m) 0 15 25 Partie 2 : Distance de freinage sur route s�che La distance de freinage d’un v�hicule est la distance parcourue par ce v�hicule entre l’instant o� le conducteur appuie sur la p�dale de frein et l’instant o� la voiture s’arr�te compl�tement. La distance de freinage en m�tre, pour un v�hicule en bon �tat, est d�termin�e en fonction de la vitesse du v�hicule par la formule : d =v2 / 203,2 o� v est la vitesse exprim�e en km/h. On utilise un tableur pour calculer les distances de freinage en fonction de la vitesse : A B C D 1 vitesse ( km / h) 10 20 30 2 distance de freinage (m) 1. Recopier parmi les formules trois suivantes, celle qu’il faut saisir dans la cellule B2 puis �tirer vers la droite : = 2*B1/203.2  ; = B1*B1/203.2 ; = B1+B1/203.2 2. Un v�hicule roule � 90 km/h. Montrer que sa distance de freinage est environ 40 m. d = 902 / 203,4 ~40 m. Partie 3 : Distance d’arr�t sur route s�che La distance d’arr�t d’un v�hicule est la distance parcourue par ce v�hicule entre l’instant o� le conducteur voit un obstacle et l’instant o� la voiture s’arr�te compl�tement. Distance d’arr�t = Distance de r�action + Distance de freinage Calculer la distance d’arr�t d’un v�hicule roulant � 90 km/h. 25 +40 = 65 m. Exercice 7 : 9 points On doit appliquer deux couches de peinture sur le sol et les parois int�rieures d’une piscine rectangulaire dont les dimensions  : longueur = 8 m, largeur = 4 m, profondeur =1,70 m. Calculer le budget que l’on doit pr�voir pour les travaux de peinture. Surface � couvrir : 2 (longueur + largeur) x hauteur=2(8+4) x1,70 =40,8 m2. Pour deux couches : 81,6 m2. Un pot de peinture couvre 35 m2, il faut donc pots. Prix : 12 000 x3 = 36 000 F. Exercice 8 : 13 points On dispose des informations suivantes sur le phare Am�d�e, une balise et une bou�e : — la hauteur du phare est de 56 m; — la balise est situ�e � 260 m du phare; — la balise et la bou�e sont distantes de 151 m; — la bou�e O, le sommet B de la balise et le sommet P du phare sont consid�r�s comme trois points align�s. Sch�ma de la situation : Les droites (PH) et (BA) sont parall�les. 1. Quelle est la distance OH en m ? OH = 260 +151 =411 m. 2. D�terminer la hauteur AB de la balise. Arrondir au dixi�me de m pr�s. R�diger la r�ponse en faisant appara�tre les diff�rentes �tapes. Relation de Thal�s : AB / PH = OA / OH. AB = OA x PH / OH = 151 x56 / 411 ~20,6 m. Le haut du phare est prot�g� par une barri�re compos�e de sculptures. On souhaite r�aliser un programme Scratch pour reproduire le contour de cette sculpture. 3. Calculer la mesure de l’angle "a" en degr� dans la figure ci-dessus : 180 -72 =108�. Le script 1 permet de tracer le motif en pointill� ci-dessous (on part du point A et on s’arr�te au point B). 4. Compl�ter le script 1. Le script final permet de r�aliser le contour de la sculpture. 5. Compl�ter le script final.

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