Math�matiques, brevet DNB, Centres �trangers 2022.

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Exercice 1. 19 points.
Partie A. QCM
On consid�re la fonction d�finie par f(x) = 2x+3.
  1. La repr�sentation graphique de cette fonction est :

 2. L'image de -2 par la fonction f est : -7 ; -1 ; 3.
f(-2) = 2 *(-2) +3= -1
3. Dans la feuille de calcul suivante, la formule � saisir en B2 avant de l'�tirer vers la droite est :
= 2*A1+3 ; =2*B1+3 ; =2*(-2)+3.


Partie B.
1. Montrer que  :(2x-1)(3x+4) -2x = 6x2+3x-4.
On d�veloppe : (2x-1)(3x+4) -2x =6x2+8x-3x+4-2x =6x2+3x-4.
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  2. On consid�re le triangle CDE tel que : CD = 3,6 cm ; CE = 4,2 cm ; DE = 5,5 cm. Ce triangle est'il rectangle ?
CD2 = 3,62 =12,96.
CE2 = 4,22 =17,64.
DE2 = 5,52 =30,25.
CD2 +CE2 =30,6 diff�rent de DE2.
Ce triangle n'est pas rectangle.

  Exercice 2 ( 20 points)
La course cyliste Paris-Nice se d�roule en 7 �tapes. On �tudie la s�rie des distances ( en km) parcourues par �tape :
93  (accident�); 119,5 ; 166 (accident�) ; 187,5 (accident�) ; 188 ; 200 ; 202,5 (accident�).
1.a Calculer la distance moyenne.
(93 +119,5 +166 +187,5 +188 +200 +202,5) / 7 =165,2 km.
b. Calculer la m�diane des distances parcourues par �tape.
187,5 km.
c. Calculer l'�tendue de cette s�rie.
202,5-93=109,5 km.
2. Un journaliste affirme " environ 57 % du nombre total d'�tapes se sont d�roul�s sur un parcours accident�. A-t-il raison ?
A �tapes accident�es sur 7 soit 4 / 7 ~0,571 ( 57 ,1 %). Il a raison..

3. Le premier a remport� la course en 28 h 50 min. Le dernier a mis 30 h 12 min.
Quel est le retard du dernier par rapport au vainqueur ?
30 h 12 = 30x60 +12 =1812 min.
28 h 50 = 28*60 +50 =1730 min.
1812-1730=82 min ou 1 h 22 min.
  4. Le vainqueur a remport� la premi�ee �tape (166 km ) en 3 h 51 min. D�terminer sa vitesse moyenne en km / h arrondie � l'unit�.
3 x60 +51 = 231 minutes.
166 / 231 x 60 =43,1 ~43 km / h.

Exercice 3. 21 points.
On consid�re la figure suivante, o� toutes les longueurs sont en cm.


1. Prouver que [AB] = 4 cm.
Dans le triangle rectangle ABC : cos 60 = AB / AC  ; AB = AC cos 60 = 8 x cos 60 =4 cm.
2. D�montrer que les droites (BC) et (DE) sont parall�les.
AD / AB = 9,6 / 4 =2,4 ;
AE / AC = 19,2 / 8 =2,4.
AD / AB =AE / AC.
D'apr�s la r�ciproque du theor�me de Thal�s, les droites (BC) et (DE) sont parall�les.
3. En d�duire que la droite (DB) est perpendiculaire � la droite (DE).
(DB) est perpendiculaire � (BC).
(BC) et (DE) sont parall�les.
Donc (DB) est perpendiculaire � la droite (DE).
4. Calculer l'aire du triangle ADE.
DE2 = AE2-AD2 = 19,22 -9,62= 276,46 ; DE ~16,63 cm.
Aire du triangle ADE :
DE x DA / 2 = 9,6 x16,63 / 2 ~80 cm2.

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 Exercice 4. 15 points.
Toutes les longueurs sont exprim�es en pixel.
Un professeur donne � ses �l�ves un motif en forme de parall�logramme et le script, en partie r�dig�, qui permet de tracer ce motiff. Le lutin est au point de d�part comme indiqu� sur la figure et orient� vers la droite.
Recopier dans le bon ordre les instructions suivantes � ins�rer dans le script du motif permettant de tracer le parall�loghramme.

Partie B.
Le professeur demande � ses �l�ves d'int�grer ce sript dans un programme de leur choix permettant de tracer des figures compos�es de plusieurs de ces motifs.
Voici les programmes �crits par deux �l�ves.
Programme A
 Programme B
Quand fl�che droite est press�e
Effacer tout
aller � x = 230 y = 150
s'orienter � 90�
R�p�ter 9 fois
style en position �criture
Motif
relever le style
avancer de 50
 Quand espace est press�
effacer tout
aller � x=0 y=0
style en position �criture
r�p�ter 9 fois
motif
Tourner de 40� sens antihoraire
relever le style
1. Quelle action du clavier permet de lancer le programme B ?
Appuyer sur la barre d'espace.
2. Indiquer la figure obtenue par A et par B.


Exercice 5. 25 points.
Pour f�ter les 25 ans de sa boutique, un chocolatier souhaite offrir aux premiers clients de la journ�e une bo�te contenant des trufes au chocolat.
1. Il a confectionner 300 truffes : 125 parfum�es au caf� et 175enrob�es de noix de coco.
Il souhaite fabriquer ces bo�tes de sorte que :
- le nombre de truffes parfum�es au chocolat soit le m�me dans chaque bo�te
- le nombre de truffes enrob�es de noix de coco soit le m�me dans chaque bo�te
- totes les truffes seront utilis�es.
a. D�composer 125 et 175  en produit de facteurs premiers.
125 = 53.
175 = 52 x 7.
b. En d�duire la liste des diviseurs communs � 125 et 175.
1 ; 5 ; 25.
c. Quel nombre maximal de bo�tes pourrat-on r�aliser ?
25 bo�tes.
d. Combien y aura-t-il de truffes dans chaque bo�te ?
5 truffes parfum�es au chocolat et 7 truffes enrob�es de noix de coco.
2. Le chocoaltier souhaite fabriquer des bo�tes contenant 12 truffes. Il a le choix entre deux types de bo�tes.

Chaque truffe est assimil�e � une boule de diam�tre 1,5 cm.
A l'int�rieur des bo�tes, pour que les truffes ne s'abiment pas durant le transport, le volume occup� par les truffes doit �tre sup�rieur au volume non occup� par les truffes.
Quel type de bo�te faut-il choisir pour que cette condition soit respect�e ?
Volume d'une truffe : 4 / 3 p r3 =4 / 3 x3,14 x0,753 = 1,77 cm3.
Volume des 12 truffes : 21,2 cm3.
Volume du pav� droit : 5 x3,5 x3,5 =61,25 cm3.
Volume non occup� par les truffes : 61,25 -21,2 ~40 cm3.
Cette bo�te ne convient pas.
Volume de la pyramide : aire de base x hauteur / 3 =4,8 x4,8 x5 / 3=38,4 cm3.
Volume non occup� par les truffes : 38,4 -21,2 ~17,2 cm3.
Cette bo�te convient.

  
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