Math�matiques, DNB M�tropole, Antilles 9 / 2022.

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Exercice 1 QCM. 20 points.
1. 57 x 53 / 5 2 = 57+3-2=58.
A. 513 ; B. 55 ; C. 58 vrai.
2. La fraction irr�ductible �gale � 630 / 882 est :
A. 5 / 7 vrai ; B. 35 / 49 ; C. 315 / 441.
630 = 2 x32 x5 x7.
882=2 x 32 x 7 x7.
x = −1+4t ; y = 6−5t ; z = 8−2t avec t r�el.
  3. Une expression d�velopp�e de A = (x −2)(3x +7) est :
A. 3x2+13x+14 ; B. 3x2+x+5 ; C. 3x2+x-14 vrai .
A = 3x2 +7x -6x-14 =3x2+x-14.
  4. Les solutions de l’�quation (2x +1)(−x +3) = 0 sont :
A. 2 et 3 ; B. -0,5 et 3 vrai ; C.-1 et -3.
2x+1 = 0 soit x = -0,5 et -x+3 = 0 soit x = 3.
  5. Une urne contient 9 boules indiscernables au toucher : • 3 boules noires, • 4 boules blanches, • 2 boules rouges. Quelle est la probabilit� de ne pas tirer de boule noire ?
A. 2 /9 ; B. 1 /3 ; C. 6 /9. Vrai.
Probabilit� de tirer une boule noire = 3 / 9 = 1 / 3.
Probabilit� de ne pas tirer une boule noire = 1-3 / 9 = 6 /9.

  Exercice 2. 20 points.
Yanis vit en France m�tropolitaine. Il part cet �t� en Guadeloupe en vacances. Il se renseigne quant aux locations de v�hicules. Une soci�t� de location de voitures � Pointe-�-Pitre propose les tarifs suivants pour un v�hicule 5 places de taille moyenne, assurances non comprises :
 • Tarif � Affaire � : 0,50 € par kilom�tre parcouru.
• Tarif � Voyage court � : un forfait de 120 € puis 20 centimes par kilom�tre parcouru
• Tarif � Voyage long � : un forfait de 230 €, quel que soit le nombre de kilom�tres effectu�s.
 1. Yanis a pr�par� son plan de route et il fera 280 km. Il choisit le tarif � Affaire �. Combien va-t-il payer ?
0,50 x280=140 €.
 2. S’il parcourt 450 km, quelle offre est la plus avantageuse financi�rement ?
"Affaire" : 450 x0,50 = 225 €.
" Voyage court" : 120 +0,20 x 450=210 €.
" Voyage long" : 230 €.
3. Dans la suite, x d�signe le nombre de kilom�tres parcourus en voiture. On consid�re les trois fonctions l, m, n suivantes :
 l(x) = 230 ;  m(x) = 0,5 x ; n(x) = 0,2x +120.
 a. Associer, sans justifier, chacune de ces fonctions au tarif correspondant.
"Affaire" : m(x) = 0,5 x.
"Voyage court" : n(x) = 0,2x +120.
"Voyage long" :  l(x) = 230.
 b. D�terminer le nombre de kilom�tres � parcourir pour que le tarif � Voyage court � soit �gal au tarif � Affaire �.
0,2x +120=0,5x ; 120 = 0,3 x ; = 120 / 0,3 = 400.
 4. a. Tracer les courbes repr�sentatives des fonctions l, m et n
 b. D�terminez graphiquement le nombre de kilom�tres que devra atteindre Yanis pour que le tarif � Voyage long �soit le plus avantageux. On laissera les traits de constructions apparents sur le graphique.

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 Exercice 3. 20 points.
La figure ci-dessous est un pavage constitu� de cerfs-volants. Les triangles SLP et PLA ainsi form�s sont des triangles �quilat�raux.

PARTIE A :
1. D�terminer la mesure de l’angle PSL ?
Dans un triangle �quilat�ral, les angles mesurent 60 �.
 2. Quelle est l’image du cerf-volant 2 par la sym�trie d’axe (PL) ? On ne demande pas de justification.
Cerf-volant 5.
3. D�terminer par quelle transformation du plan le cerf-volant 1 devient le cerf-volant 6 ? On ne demande pas de justification.
Sym�trie de  centre J.
PARTIE B : Dans cette partie, on se propose de construire le cerf-volant ci-dessous.

Essya, Nicolas et Tiago souhaitent construire cette figure � l’aide d’un logiciel de programmation. Ils �crivent tous un programme � Cerf-volant � diff�rent.

1. Tracer le programme � Cerf-Volant � de Nicolas, en prenant 1 cm pour 100 pas.
 2. Un �l�ve a �crit le script correct. Donner le nom de cet �l�ve en justifiant la r�ponse.

 EXERCICE 4 20 points.
 Voici le nombre de passages de v�hicules au p�age du pont de l’�le de R� au cours de l’ann�e 2020, report� dans une feuille de calcul :

A
 B
1
 Mois
 Nombre de passages
2
 janvier
 210 320
3
 f�vrier
 218 464
4
 mars
 138 395
5
avril
 62 930
6
 mai
 179 699
7
 juin
 295 333
8
 juillet
 389 250
9
 ao�t
 376 551
10
 septembre
 313 552
11
 octobre
 267 884
12
 novembre
 142 152
13
 d�cembre
 206 662
14
 Total
 2 801 172

1. Quelle formule a-t-on saisi dans la cellule B14 pour obtenir le nombre total de passages en 2020 ?
= Somme(B2:B13)
 2. Calculer le nombre moyen de passages par mois.
2 801 172 / 12 =233 431.
 3. Donner l’�tendue de la s�rie.
389 250 -138 395=250 885.
4. Afin d’�tudier les effets du confinement de 2020, on souhaite comparer le nombre de passages de v�hicules sur le pont de l’�le de R� du mois de mai 2020 avec celui du mois de mai 2021. En mai 2021, 305 214 v�hicules ont pass� le p�age du pont. Calculer le pourcentage d’augmentation du nombre de passages de v�hicules entre mai 2020 et mai 2021. Arrondir � l’unit�.
(305 214-179 699)/ 179 699 ~0,7  (70 %).
 5. Sachant que le pont a une longueur de 3 000 m�tres, quelle est la vitesse moyenne, exprim�e en km/h, d’un cycliste qui le traverse en 10 minutes ?
3000 m = 3 km ; 10 min = 1 / 6 heure.
Vitesse = 3 / (1/6) = 18 km / h.

EXERCICE 5 20 points.
 Lya passe la journ�e dans un parc aquatique. Elle y trouve une cabane dans un ch�ne d’o� part une tyrolienne qui m�ne au-dessus d’une piscine. Le c�ble de la tyrolienne relie la cabane et le pied du peuplier situ� juste derri�re la piscine.

La r�glementation exige que l’angle form� par le c�ble de la tyrolienne et l’horizontale ait une mesure inf�rieure � 30�.
 La piscine a la forme d’un parall�l�pip�de rectangle de longueur 6 m, largeur 6 m et profondeur 1,60 m.
Lorsque Lya est suspendue � la tyrolienne, corps et bras tendus, elle mesure exactement 1,50 m.
1. V�rifier par un calcul que BC = 20 m.
BC = 12,20 + longueur piscine +1,80 = 12,20 + 6 +1,80 =20 m.
2. Le positionnement de la tyrolienne est-il conforme � la r�glementation en vigueur ?
tan ( angle BCA) = 5,50 / 20 =0,275 ; angle BCA ~15� < 30�.
3. D�terminer la longueur AC, en m�tres, de c�ble n�cessaire. Arrondir � l’unit�.
Relation de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B.
AC2 = AB2 +BC2 =5,52 + 202 =430,25 ; AC ~21 m.
 4. Lya est suspendue � la tyrolienne verticalement. � quelle distance DC du peuplier, en m�tres, les pieds de Lya toucheront-ils l’eau de la piscine ? Arrondir au centi�me.
Relation de Thal�s : AB / DE = BC / CD ; CD = BC x DE / AB =20 x1,5 / 5,5 =5,46 m.
5. Calculer le volume de la piscine, en m3 ?
Longueur x largeur x profondeur = 6 x 6 x1,6 =57,6 m3.

  
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