Math�matiques, DNB Polyn�sie 9 / 2022. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts. . . . . . . .. .. ...... ... Exercice 1 . 22 points. Cet exercice est constitu� de six questions ind�pendantes. 1. Calculer 5 / 6 + 7/  8 et donner le r�sultat sous la forme d’une fraction irr�ductible. On d�taillera les calculs.  2. a. Donner, sans justifier, la d�composition en facteurs premiers de 198 et de 84. 198 = 2x 32x11. 84 =22 x3 x7. b. En d�duire la forme irr�ductible de la fraction 198 / 84 . 33 / 14.  3. On donne l’expression litt�rale suivante : E = 5(3x −4)−(2x −7). D�velopper et r�duire E. 15x-20-2x+7=13x-13 = 13(x-1).  4. On d�signe par b un nombre positif. D�terminer la valeur de b telle que le p�rim�tre du rectangle ci-contre soit �gal � 25. Longueur : 3 b +2,9 ; largeur : 4,5. P�rim�tre = 2(3b +2,9 +4,5) =25. 3b +7,4 = 12,5 ; 3 b = 5,1 ; b =5,1 / 3 =1,7. 5. Calculer le volume de la pyramide � base rectangulaire de hauteur SH = 6 ci-dessous. Aire de base = 4 x3 = 12 m2. Volume = aire de base x hauteur / 3 = 12 x 6 / 3 =24 m3. 6. Le nombre d’habitants d’une ville a augment� de 12 % entre 2019 et 2020. Cette ville compte 20 692 habitants en 2020. Quel �tait le nombre d’habitants de cette ville en 2019 ? 20 692 /(1 +0,12) =18 475.   Exercice 2. 22 points. Un poteau �lectrique vertical [BC] de 5,2 m de haut est retenu par un c�ble m�tallique [AC] comme montr� sur le sch�ma qui n’est pas en vraie grandeur.  1. Montrer que la longueur du c�ble [AC] est �gale � 6,5 m. Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B. AC2 = AB2 + BC2 = 3,92 +5,22 =42,25 ; AC =6,5 m. 2. Calculer la mesure de l’angle ACB au degr� pr�s. tan angle ACB = AB / BC = 3,9 / 5,2 =0,75 ; mesure de cet angle ~37�. � Deux araign�es se trouvant au sommet du poteau (point C) d�cident de rejoindre le bas du c�ble (point A) par deux chemins diff�rents. 3. La premi�re araign�e se d�place le long du c�ble [AC] � une vitesse de 0,2 m/s. V�rifier qu’il lui faut 32,5 secondes pour atteindre le bas du c�ble. longueur AC / vitesse = 6,5 / 0,2 =32,5 s. 4. La deuxi�me araign�e d�cide de parcourir le chemin CFHA indiqu� en pointill�s sur le sch�ma (qui n’est pas en vraie grandeur) : elle suit le morceau de c�ble [CF] en marchant, puis descend verticalement le long de [FH] gr�ce � son fil et enfin marche sur le sol le long de [HA]. Calculer les longueurs FH et HA. Relation de Thal�s : FH / BC = AF / AC ; FH = AF x BC / AC = 4 x5,2 / 6,5 =3,2 m. FH / BC =AH / AB ; AH = FH x AB / BC=3,2 x 3,9 / 5,2 =2,4 m. 5. La deuxi�me araign�e marche � une vitesse de 0,2 m/s le long des segments [CF] et [HA] et descend le long du segment [FH] � une vitesse de 0,8 m/s. Laquelle des deux araign�es met le moins de temps � arriver en A ? Dur�e de la marche =(2,5 +2,4) /0,2 =24,5 s. Dur�e de la descente FH : 3,2 / 0,8 =4 s. Total : 28,5 s. C'est la plus rapide. ... .... Exercice 3. 17 points. On utilise un logiciel de programmation. On rappelle que � s’orienter � 0� � signifie qu’on oriente le stylo vers le haut. On consid�re les deux scripts suivants. 1. On ex�cute le script 1. Repr�senter le chemin parcouru par le stylo.  2. Quel dessin parmi les trois ci-dessous correspond au script 2 ? On expliquera pourquoi les deux autres dessins ne correspondent pas au script 2. Chaque c�t� de carreau mesure 20 pixels. 3. On souhaite maintenant obtenir le motif repr�sent� sur le dessin suivant. Compl�ter sans justifier les trois cases du script 3 donn� en ANNEXE � rendre avec la copie, permettant d’obtenir le dessin 4.  Compl�ter sans justifier les trois cases du script suivant permettant d’obtenir le dessin 4. 4. � partir du motif repr�sent� sur le dessin 4, on peut obtenir le pavage ci-dessous : R�pondre aux questions suivantes sur votre copie en indiquant le num�ro du motif qui convient (on ne demande pas de justifier la r�ponse) :  a. Quelle est l’image du motif 1 par la translation qui transforme le point B en E ? Motif 5.  b. Quelle est l’image du motif 1 par la sym�trie de centre B ? Motif 9. c. Quelle est l’image du motif 16 par la sym�trie de centre G ? Motif 12.  d. Quelle est l’image du motif 2 par la sym�trie d’axe (CG) ? Motif 5.  EXERCICE 4 20 points.   1. Voici un tableau de valeurs d’une fonction f : x -2 -1 0 1 3 4 5 f(x) 5 3 1 -1 -5 -7 -9 a. Quelle est l’image de 3 par la fonction f ? -5  b. Donner un nombre qui a pour image 5 par la fonction f . -2  c. Donner un ant�c�dent de 1 par la fonction f . 0  2. On consid�re le programme de calcul suivant : Choisir un nombre ;  Ajouter 1 ; Calculer le carr� du r�sultat.  a. Quel r�sultat obtient-on en choisissant 1 comme nombre de d�part ? 1+1 ; (1+1)2 = 4. Et en choisissant −2 comme nombre de d�part ? -2+1 ; (-2+1)2= 1. b. On note x le nombre choisi au d�part et on appelle g la fonction qui � x fait correspondre le r�sultat obtenu avec le programme de calcul. Exprimer g(x) en fonction de x. g(x) = (x+1)2.  3. La fonction h est d�finie par h(x) = 2x 2 −3.  a. Quelle est l’image de 3 par la fonction h ? h(3) = 2 *32-3 =15.  b. Quelle est l’image de −4 par la fonction h ? h(3) = 2 *(-4)2-3 =32-3 = 29.  c. Donner un ant�c�dent de 5 par la fonction h. En existe-t-il un autre ? 5 = 2x 2 −3 ; 8 = 2x 2 ; 4 = x2 ; x = �2. 4. On donne les trois repr�sentations graphiques suivantes qui correspondent chacune � une des fonctions f , g et h cit�es dans les questions pr�c�dentes. Associer � chaque courbe la fonction qui lui correspond, en expliquant la r�ponse. EXERCICE 5 19 points.   Une urne contient 20 boules rouges, 10 boules vertes, 5 boules bleues et 1 boule noire. Un jeu consiste � tirer une boule au hasard dans l’urne. Lorsqu’un joueur tire une boule noire, il gagne 10 points. Lorsqu’il tire une boule bleue, il gagne 5 points. Lorsqu’il tire une boule verte, il gagne 2 points. Lorsqu’il tire une boule rouge, il gagne 1 point. 1. Un joueur tire au hasard une boule dans l’urne.   a. Quelle est la probabilit� qu’il gagne 10 points ? Nombre total de boules : 36. Probabilit� de tirer une boule noire =1 / 36. b. Quelle est la probabilit� qu’il gagne plus de 3 points ? Probabilit� de tirer une boule noire ou une boule bleue =6 / 36 =1 / 6.  c. A-t-il plus de chance de gagner 2 points ou de gagner 5 points ? Probabilit� de tirer une boule verte =10 / 36 . Probabilit� de tirer une boule bleue =5 / 36. Il a plus de chance de gagner 2 points que de gagner 5 points. 2. Le tableau ci-contre r�capitule les scores obtenus par 15 joueurs : joueur A B C D E F G H I J K L M N O Total score 2 1 1 5 10 2 2 5 1 2 5 10 1 1 2 50 a. Quelle est la moyenne des scores obtenus par ces joueurs ? 50 / 15 ~3,33. b. Quelle est la m�diane des scores ? Score ordonn� : 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 5 : 5 ; 5 ; 10 ; 10. c. D�terminer la fr�quence du score � 10 points � 2 / 15 ~0,133. 3. Mille joueurs ont particip� au jeu. Peut-on estimer le nombre de joueurs ayant obtenu le score de 10 points ? La r�ponse, affirmative ou n�gative, devra �tre argument�e. Probabilit� de gagner 10 points fois nombre de joueur : 1 / 36 x 1000 =1000  / 36 ~ 27,8 soit 28 joueurs.

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