Math�matiques,
 concours TSEEAC technicien sup�rieur de l'aviation civile 2016.

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Question 1.
Soient deux suites u et v v�rifiant pour tout entier naturel n : 0 < un < vn < 2un.
A. Si 0 < un < 1, alors la suite v converge.
Contre exemple : si un = 0,5 -0,1n+1 suite croissante, major�e par 0,5 ; donc elle converge.
et si vn = 0,7 +(-0,1)n+1 :
v0 =0,6 ; v1 =0,71 ; v2 =0,699 ; v3=0,70001. La suite vn n'est ni croissante , ni d�croissante, elle ne converge pas.
 B. Si u converge, alors la suite v converge.
 C. Si 0 < un < 1, alors la suite u converge.
Contre exemple :
 si un = 0,6 +(-0,1)n+1 :
u0 =0,5 ; u1 =0,61 ; v2 =0,599 ; v3=0,60001. La suite un n'est ni croissante , ni d�croissante, elle ne converge pas.
D. Si la limite en +oo de un est +oo, alors la limite en plus l'infini de vn est + oo. Vrai.
Une suite converge si elle est croissante et major�e ou si elle est d�croissante et minor�e.
Question 2.
L'�quation r�duite de la tangente en -1 � la courbe repr�sentant la fonction f(x) = exp(x3+x2) est :
A. 3x-2y+6=0.
B.  y =x+2. Vrai
 C.  y=x-2.
  D. -2x+2y+4=0.
 f '(x) = (3x2+2x)exp(x3+x2) ; f '(-1) =1.
Equation r�duite de la tangente y = x+b.
Le point de coordonn�es (-1 ; f(-1) =1) appartient � la tangente :
1 = -1+b ; b = 2.

Question 3.
La valeur moyenne M de la fonction f(x) = x3+x2-x+1 sur [-1 ; 2] est :
A. 3. B. 5.  C. 33 /4.  D. 11 / 4. Vrai.
Primitive de f(x) : F(x) = x4/4+x3/ 3-x2 / 2+x.
F(-1) =1 /4 -1 /3 -1 /2 -1 =(3-4-6-12) / 12 =-19 /12.
F(2) =4 +8 /3 -2 +2 =20 /3= 80 / 12.
M =(F(2) -F(-1)) / (2-(-1) =(80 +19) / 36 =11 / 4.
Question 4.
Une primitive de la fonction f d�finie par f(x) = x e-x est :
A. F(x) = x e-x .
On d�rive en posant u = x et v = e-x ; u' = 1 et v' = -e-x.
u'v+v'u = e-x -xe-x diff�re de f(x).
 B. F(x) = -x e-x .
On d�rive en posant u = -x et v = e-x ; u' = -1 et v' = -e-x.
u'v+v'u = -e-x +xe-x diff�re de f(x).
C. F(x) =(- x-1+2 ex )e-x. Vrai.
On d�rive en posant u = -x-1+2 ex  et v = e-x ; u' = -1+2 ex et v' = -e-x.
u'v+v'u = (-1+2 ex)e-x -(-x-1+2 ex)e-x = xe-x = f(x).
D. (-x+1)e-x .
On d�rive en posant u = -x+1 et v = e-x ; u' = -1 et v' = -e-x.
u'v+v'u = -e-x -(-x+1)e-x = (x-2) e-x diff�re de f(x).

Question 5.
Soient f  et g deux fonctions continues sur I = |a ; b]. On note F(x) et G(x) respectivement une primitive de f(x) et g(x).
A. Si pour tout r�el x de I, on a f(x) = g(x), alors F(b)-F(a) =G(b)-G(a) Vrai.
 B. Si F(b)-F(a) =G(b)-G(a), alors pour tout r�el x de I, on a f(x) = g(x)
Les aires sont �gales et g(x) diff�re de f(x).
C. Si pour tout r�el x  de  I, on a f(x) < g(x), alors F(b)-F(a) < G(b)-G(a). Vrai.

 D. Si F(b)-F(a) > G(b)-G(a), alors pour tout r�el x de I, on a f(x) > g(x).
Question 6.
On consid�re la fonction f (x) = ax2+bx+c, avec a < 0 et b2-4ac >0. Soit S l'aire de la surface sous l'arche parabolique, comprise entre la droite d'�quation y = 0 et la courbe repr�sentative de f.
A. S vaut la tiers de la base multipli�e par la hauteur de l'arche.
 B. S vaut la moiti� de la base multipli�e par la hauteur de l'arche.
 C. S vaut les deux tiers de la base multipli�e par la hauteur de l'arche. Vrai.
 D. S vaut les trois quarts de la base multipli�e par la hauteur de l'arche.
Par exemple : f(x) = -x2+2x+3 ; racines x1 =-1 et x2 = 3.  La base vaut 3 -(-1) = 4.
f '(x) = -2x+2 s'annule pour x = 1 ; f(1) = 4 = hauteur de l'arche.
Primitive de f(x) : F(x) = -x3 / 3 +x2+3x.
Aire sous l'arche : S=F(3) -F(-1) = (-9+9+9)-(1 /3+1-3)=9+5 /3 = 32 /3. 
 S = 4 / 3 aire du triangle ABC.
Question 7.
Soit z =-3�+i.
A. z2013 est un imaginaire pur. Vrai.
|z|=(3+1)� =2.
z / |z| = -3� /2+i /2= cos (5p/6) + i sin (5p/6).
z = 2 exp( i 5p/6).
 z2013 = 22013 exp( i 5*2013p/6) =22013 exp( i 5*2013p/6).
 5*2013 p / 6 =1678 p - p /2.
 z2013 =22013 exp( -i p / 2).
B. z2014 est un imaginaire pur.
 5*2014 p / 6 =1678 p + p /3.
 z2014 =22014 exp( i p / 3).
C. z2015 est un r�el.
5*2015 p / 6 =1678 p +7 p /6.
 z2015 =22015 exp( i 7p / 6).
D. z2016 est un r�el. Vrai.
5*2016 p / 6 =1680 p
z2016 =22016 .

 Question 8.
L'ensemble S des solutions danns C de l'�quation (z-8) / (z-3)= z est :
 A. {2+2i}
 B. {2-2i}
C. {2+2i ; -2+2i}
D. aucune solution.
z-8 = z(z-3) ; z2-3z=z-8 ; z2-4z+8= 0.
Discriminant D = 16-32= -16 = (4i)2.
Solutions : z1 = (4+4i) /2 =2+2i et z1 = (4-4i) /2 =2-2i.
S = {2+2i ; 2-2i}
E. Aucune des r�ponses propos�es.

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 Question 9.
Soient A, B et O les points d'affixes respectives 1, i et 0. l'ensemble des points M d'affixe z v�rifiant |z-1|=| conjugu� de z +i| est :
A. La droite (AB).
B. La m�diatrice du segment [AB].
  C. Le cercle de centre O et de rayon 1.
 D. Le cercle de diam�tre [AB].
z = x+iy ; |z-1| = |x-1+iy| =[(x-1)2 +y2]�.
| conjugu� de z +i| =|x+i(1-y)| =[(1-y)2 +x2]�.
(x-1)2 +y2 =(1-y)2 +x2 ;
x2-2x+1 +y2 =y2-2y+1 +x2  soit y = x.

 Question 10.
Soient les points A(2 ; 0 ; 3) et B (-1 ; 2 ; 0), et la droite (D) de repr�sentation param�trique :
x = 4+2u ; y = 1-u ; z = -2+u avec u r�el.
A. Les droites (AB) et (D) ne sont pas coplanaires. Vrai.
B. Les droites (AB) et (D) sont coplanaires.
  C. Les droites (AB) et (D) sont s�cantes.
 D. Les droites (AB) et (D) sont parall�les.
Coordonn�es du vecteur AB : ( -3 ; 2 ; -3).
Coordonn�es du vecteur directeur de la droite (D) : (2 ; -1 ; 1).
Ces deux vecteurs n'�tant pas colin�aires, les droites (AB) et (D) sont parall�les.
Hypoth�se : les droites sont s�cantes.
Repr�sentation param�trique de la droite (AB) :
x =xA-3t ; y =yA+2t ; z =zA-3t  avec t r�el.
x =2-3t ; y =2t ; z =3-3t.
Par suite : 2-3t =4+2u soit 2u=-3t-2 ; u = -1,5 t -1.
Repport dans y : 1-u =1+1,5 t+1 = 1,5 t+2 diff�re de 2t.
Repport dans z : -2+u = -2-1,5 t-1 = -1,5 t-3 diff�re de 3-3t.
Les droites ne sont pas s�cantes ; de plus elles ne sont pas parall�les : donc elles ne sont pas coplanaires.

 Question 11.
SABDC est une pyramide de base carr�e ABDC. Les points I, J et K sont les milieux respectifs des segments [SA], [SB] et [BD], et O d�signe le centre du carr� ABDC.

A. L'ensemble des points M tels que  avec t r�el est la droite (AD).
Ces deux vecteurs sont colin�aires ; (IJ) droite des milieux dans le triangle ABS :  les droites (AB) et (IJ) sont parall�les.
M appartient donc � la droite (AB).
B. L'ensemble des points M tels que  avec u r�el est la droite (JK). Vrai.
Ces deux vecteurs sont colin�aires ; (JK) droite des milieux dans le triangle DBS :  les droites (DS) et (JK) sont parall�les.
M appartient donc � la droite (JK).
C. L'ensemble des points M tels que  avec k r�el est la droite (BJ).
Ces deux vecteurs sont colin�aires ; M appartient � une droite parall�le � (SA) et passant par B.
D. L'ensemble des points M tels que  avec x et y r�els est le plan (ABC).
Ces trois vecteurs sont coplanaires ; ils appartiennent au plan (SBC).
Question 12.

A. Si deux droites de l'espace sont perpendiculaires � une m�me troisi�me, elles sont parall�les entre elles.
Les droites (AD) et (BE) sont perpendiculaires � la droite (AB), mais elles ne sont pas parall�les.
B. Si deux droites de l'espace sont parall�les � une m�me troisi�me, elles sont parall�les entre elles. Vrai.
C. Si deux droites de l'espace sont parall�les, elles admettent une droite perpendiculaire � elles deux.
Les droites (AB) et (FG) sont parall�les, mais elles n'admettent pas une droite perpendiculaire � elles deux.
D. Si deux droites de l'espace sont parall�les � une m�me troisi�me, elles sont  coplanaires. Vrai.

 Question 13.
Soit X une variable al�atoire qui prend des valeurs positives. On suppose que P(1 < X < 3)=3 / 8.
Si X suit une loi uniforme sur [0 ; N], alors on a :
A. N = 5,3.
 B. N = 8.
 C. N = 6 / 8.
 D. N = 16 / 3. Vrai.
P(1 < X < 3)=(3-1) / (N-0) =2 / N =3 / 8.
N = 16 / 3.
Question 14.
Soit X une variable al�atoire qui prend des valeurs positives. On suppose que P(1 < X < 3)=3 / 8.
Si X suit une loi exponentielle de param�tre l > 0, alors :
A. l = -ln 2.
 B. l prend deux valeurs dont la valeur ln 2. Vrai.
 C. l = ln(( 13�+1) / 4)
 D. Il n'existe pas de tel l.
P(X < 1 )= 1-e-l ; P(X < 3 )= 1-e-3 l ; P(1 < X < 3)=1-e-3 l -(1-e-l )= e-l -e-3 l =3 / 8.
On pose Y =e-l  > 0.
Y-Y3=3 / 8 ; Y3- Y+3 /8 = 0.
Y = 0,5 est une racine �vidente.
(Y-0,5) ( Y2 +aY -0,75)=0.
Y3 +(a-0,5)Y2+(-0,75-0,5a) Y +3 /8=0.
On identifie a = 0,5.
Y2 +0,5Y -0,75=0 ; discriminant D =0,25+3=3,25=13 /4.
On retient la racine positive Y = (-0,5 +13� / 2) / 2 =(-1+13�) / 4.
Par suite l = -ln (0,5) = ln 2 et -ln((-1+13�) / 4).

Question 15.
SoitX une variable al�atoire d'esp�rance 10 et de variance 8. Si X suit une loi binomiale de param�tre n et p, alors :
A. n = 20 et p = 0,5.
 B. n = 25 et p = 0,4.
 C. n = 40 et p = 0,25.
 D. n = 50 et p = 0,2. Vrai.
E = np = 10 et n p(1-p) = 8.
10(1-p) = 8 ; 1-p = 0,8 ; p = 0,2 et n = 10 / 0,2 = 50.



  
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