Math�matiques,concours TSEEAC technicien sup�rieur de l'aviation civile 2018.

Partie I.
Une �tude montre que l'�ge en mois auquel apparaissent les premiers mots de vocabulaire chez un enfant pris au hasard dans la population peut se mod�liser par une variable al�atoire suivant la loi normale N(11,5 ; 16).
On donne pour une variable al�atoire X suivant la loi normale centr�e r�duite :
P(X < 2) = 0,977 ; P(X < 0,5) =0,691 ; P(X < 0,125) = 0,550 ; P ( X < 0,03125) =0,512.

Question 1.
La probabilit� p₁ qu'un enfant de cette population ait prononc� ses premiers mots avant ses 9 mois et demi est d'environ :
A. 0,050 ; B. 0,161 ; C. 0,309 ; D. 0,450, vrai.
P(X < 9,5) ; Y =(9,5 -11,1 ) / 16 = -0,125 ; P(Y < -0,125) =1-P(Y < 0,125) =1-0,550 = 0,450.

Question 2.
La probabilit� p₂ qu'un enfant de cette population ait prononc� ses premiers mots dans le cours du 12^�me mois est d'environ :
A. 0,01 ; B. 0,024. Vrai. C. 0,512. D. 0,550.
11 < X < 12 ; Y =(11-11,5) / 16 =-1 /32 =-0,03125 ; P(Y<-0,03125) =1-0,512=0,488.
Y =(12-11,5) / 16 =1 /32 =0,03125 ; P(Y<0,03125) =0,512.
P(-0,03125 < Y < 0,03125)=P( 11 < X <12) =0,512-0,488 =0,024.

Question 3.
La probabilit� p₃ qu'un enfant de cette population ait prononc� ses premiers mots apr�s l'age de 19 mois et demi est d'environ :
A. 0,023. B. 0,309 , vrai. C. 0,691. D. 0,977.
X >19,5 ; Y =(19,5 -11,5 ) / 16 = 0,5 ; P(Y > 0,5) = 1-P(Y < 0,5) = 1-0,691=0,309.

Partie 2.
On consid�re sur [0 ; 2p] les courbes C d'�quation y = e^-x, C' d'�quation y = -e^-x et la courbe G repr�sentant la fonction d�finie par f(x) = e^-x sin x.
Question 4.
Les courbes v�rifient :
A. La courbe G est au-dessous de C et C'.
B. La courbe G est au-dessus de C et C'.
C. La courbe G est au-dessus de C', mais oscille autour de C.
D. La courbe G est au-dessous de C, mais oscille autour de C'.
Comparer e^x et e^-x sin x :
e^x > e^-x sin x ; 1 > sinx est vrai. G est au-dessus de C.
Comparer -e^x et e^-x sin x :
-e^x > e^-x sin x ; -1 > sinx est faux. G est au-dessous de C'.

E. Toutes les propositions sont fausses.

Question 5.
La d�riv�e de la fonction f peut s'�crire :
On ppose u = e^-x et v = sin x ; u' = -e^-x ; v' = cos x.
f '(x) = u'v +v'u = -e^-x sin x +e^-x cos x = e^-x ( cos x - sin x).
R�ponse B.

Question 6.
La courbe G touche C au point d'abscisse :
e^-x sin x = e^-x ; sin x = 1 ; x = p /2.
R�ponse A.

Question 7.
La tangente � G en ce point de contact admet pour �quation :
y = ax +b ; a = f '(p/2) = - e^-p/2.
Le point (p/2 ; e^-p/2) appartient � la tangente : e^-p/2 =-p/2e^-p/2+b ; b = e^-p/2(1+p/2).
y = - e^-p/2 x + e^-p/2(1+p/2).
R�ponse B.

Partie III.
On souhaite �tudier une mod�lisation d'une tour de contr�le a�rien, charg�e de surveiller deux routes a�riennes repr�sent�es par deux droites de l'espace. Le plan est rapport� � un rep�re orthonorm�, l'unit� sur chaque axe est 1 km. Les deux routes sont repr�sent�es par deux droites D₁ et D₂ dont on connait les repr�sentations param�triques.
D₁ : x =3+a ; y = 9+3a ; z = 2 avec a r�el.
D₂ : x =0,5+2b ; y = 4+b ; z =4 -b avec b r�el.

Question 8.
Les deux droites sont :
A. parall�les ; B. s�cantes ; C. coplanaires. D. non coplanaires. Vrai.
Si les droites sont s�cantes : 3+a = 0,5 +2b et 9+3a = 4+b soit b = 9+3a-4 =5+3a.
3+a =0,5 +10 +6a ; 5a = -7,5 ; a =-1,5 ; par suite b =0,5.
z=2 = 4-b donne b = 2 diff�rent de 0,5.
Donc les droites ne sont pas s�cantes.
Vecteur directeur de D₁ :(1 ; 3 ; 0).
Vecteur directeur de D₂ :(2 ; 1 ; -1).
Ces deux vecteurs n'�tant pas colin�aires, les droites ne sont pas parall�les.
Ces droites n'�tant ni parall�les, ni s�cantes, elles ne sont pas coplanaires.

Question 9.
On veut installer au sommet S(3 ; 4 ; 0,1) de la tour de contr�le un appareil de surveillance qui �met un rayon repr�sent� par une droite not�e (R). Un technicien souhaite savoir s'il est possible de choisir la direction de (R) pour que cette droite coupe chacune des droites D₁ et D₂. Le point S v�rifie :
A. S appartient � D₁.
B. S appartient � D₂.
C. S appartient � (R). Vrai.
D. S n'appartient � aucune de ces droites.
Si S appartient � D₁ : 3 =3+a soit a = 0 ; 4 diff�re de 9+3a ; z = 2diff�re de 0,1 : S n'appartient pas � D₁.
Si S appartient � D₂ : 3 =0,5+2b soit b =1,25 ; 4 diff�re de 4+b ; S n'appartient pas � D₂.

Question 10.
Soit P₁ le plan contenant S et D₁ et P₂ le plan contenant S et D₂. Les deux plans se coupent suivant la droite D.
A. Les droites D₁ et D sont s�cantes. Vrai.
B. Les droites D₁ et D sont parall�les.
C. Les droites D₂ et D sont s�cantes. Vrai.
D. Les droites D₂ et D sont parall�les.
D₁ : coordonn�es d'un vecteur directeur ( 1 ; 3 ; 0) ; A(3 ; 9 ; 2 ) appartient � cette droite.
Coordonn�es d'un vecteur normal au plan P₁ : (3 ; -1 ; 0) par exemple.
Equation cart�sienne de ce plan : 3x-y+d=0.
S(3 ; 4 ; 0,1) appartient � ce plan :9-4+d=0 ; d=-5.
P₁ : 3x-y-5=0. (1)
D₂ : coordonn�es d'un vecteur directeur ( 2 ; 1 ; -1) ; B(0,5 ; 4 ; 4 ) appartient � cette droite.
Coordonn�es d'un vecteur normal au plan P₂ : (0 ; 1 ; 1) par exemple.
Equation cart�sienne de ce plan : y+z +d=0.
S(3 ; 4 ; 0,1) appartient � ce plan :4+0,1+d=0 ; d=-4,1.
P₂ : y+z-4,1=0. (2).
Equation param�trique de la droite D :
(1) donne : y =3x-5.
(1)+(2) donne : 3x+z-9,1=0 ; z=-3x+9,1.
x= 0 +1*x ; y =-5+3x ; z=9,1-3x.
Coordonn�es d'un vecteur directeur de la droite D : (1 ; 3 ; -3 ).
Le point (0 ; -5 ; 9,1) appartient � cette droite.

Question 11.
Les droites (R) et D :
A. Ont un unique point d'intersection S.
B. Se coupent en un point distinct de S.
C. Sont confondues. Vrai.
D. Sont parall�les distinctes.
Equation param�trique de la droite D : x= 0 +1*t ; y =-5+3t ; z=9,1-3t avec t r�el.
S(3 ; 4 ; 0,1) appartient-il � cette droite ?
Si oui : t=3 ; y =-5+9=4 ; z=9,1-3*3=0,1.
S appartient � la droite D.
S appartient � la droite D et � la droite D₁.
S appartient � la droite D et � la droite D₂.
Les droites (R) et D sont confondues.