Math�matiques,
 concours TSEEAC technicien sup�rieur de l'aviation civile 2019.

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Partie I.
Max doit se rendre en voiture dans une ville voisine pour un rendez-vous � 15 h 15. Il quitte son domicile entre 13 h et 14 h � un instant 13 +t ou t est compris entre [0 ; 1]. La dur�e du trajet est estim�e � t+0,5.
Question 1.
La probabilit� p1 que Max ne soit pas en retard � son rendez-vous est :
A. 0,125 ; B. 0,25 ; C. 0,75 ; D. 0,875. Vrai.
Origine des dates : 13 h. ( 15 h15 correspond � 2,25)
t+t+0,5 < 2,25.
2t < 1,75 ; t < 0,875.
P(t < 0,875) = 0,875 /1=0,875.

Question 2.
La probabilit� p2 que Max arrive avec exactement un quart d'heure d'avance est ;
A.  0,125 ; B.  0,25. C.  0,75. D.  0,875.
Origine des dates : 13 h. ( 15 h correspond � 2)
t+t+0,5 =2.
2t = 1,5 ; t = 0,75.
P(t = 0,75) =0,01 ( une seule valeur sur 100 possibles).
E : aucune des r�ponses propos�es.

 Question 3.
 La probabilit� p3 que Max soit en retard de plus de 9 minutes est ;
A. 0,05. Vrai. B. 0,13. C. 0,87. D. 0,95.
Origine des dates : 13 h. ( 15 h 24 correspond � 2,4)
t+t+0,5 > 2,4.
2t > 1,9 ; t > 0,95.
P(t > 0,95) = 0,05 /1=0,05.

 Question 4.
 La probabilit� p4 que Max arrive entre 14h54 et 15h06 est ;
A. 0,1. Vrai.  B. 0,26. C. 0,52. D. 0,78.
Origine des dates : 13 h. ( 14 h 54 correspond � 1,9 ; 15 h 06 correspond � 2,1 )
1,9 < t+t+0,5 < 2,1.
0,7 < t < 0,8.
p3 = (0,8-0,7) /1=0,1.

 Question 5.
Pour arriver entre  entre 14h54 et 15h15 Max doit partir :
A. entre 13h32 et 13h48.  B. entre 13h42 et 13h52. Vrai. C.entre 13h53 et 14h21. D. entre 14h02 et 14h18.
15 h 15 correspond � 2,25.
1,9 < t+t+0,5 < 2,25.
  0,7 < t < 0,875.
Soit entre 13h42 et 13h525.

 Partie 2.
On administre � un patient un m�dicament par injection intraveineuse. La quantit� de m�dicament diminue en fonction du temps. On �tudie l'�volution de cette quantit� minute par minute.
Question 6.
A t=0, on effectue une injection de 10 mL. 20 % de ce m�dicament est �limin� par minute. On note un la quantit� de m�dicament restant dans le sang au bout de n minutes. La suite (un) est :
A. arithm�tique  u0 = 10, raison r = 2.
B. arithm�tique  u0 = 10, raison r = -2.
C. g�om�tique  u0 = 10, raison q = 0,2.
D. g�om�tique  u0 = 10, raison q = 0,8.Vrai.
u1 = 0,8 u0 ; u2 = 0,8 u1.

Question 7.
On en d�duit que :
A un =10 -2n ; B. un = 10 +2n ; C. un = 8 (0,8)n-1 vrai ; D. un = 10 (0,2)n .
un = u0 qn =10 x 0,8n =10 x0,8 x0,8 n-1.

 Question 8.
On donne 1,2520 ~86,74. La quantit� de m�dicament restant dans le sang devient inf�rieure � 1 % de la quantit� initiale au bout de :
A. 5 minutes ; B. 19 minutes ; C. 20 minutes ; D. 21 minutes vrai.
10 x0,01 = 0,1.
10 x 0,8n < 0,1 ; 0,8n < 0,01 ; 1/1,25n < 0,01 ; 1/ 86,74 > 0,01 ; 1,2521 ~86,74 x1,25 ~108 ; 1/108 <0,01.

Question 9.
On injecte � t = 0, 10 mL de m�dicament. Toutes les minutes on injecte 1 mL de m�dicament. On note wn la quantit� de m�dicament en mL pr�sente dans le sang au bout de n minutes. La suite (wn) v�rifie :
A. Wn+1 =0,2 wn +1 ; B. Wn+1 =0,2( wn +1) ; C. Wn+1 =0,8 wn +1 vrai ; D. Wn+1 =0,8 (wn +1).
w0 = 10 ; w1 = 0,8 w0 +1 ; w2 = 0,8 w1 +1.

Question 10.
On pose zn = wn-5. La suite (zn) v�rifie :
A. g�om�trique : z0 = 5 ; raison q = 0,8 vrai ; B. g�om�trique : z0 = 5 ; raison q = 0,2 ;
C. arithm�tique : z0 = 5 ; raison r = 2 ; D. arithm�tique : z0 = 5 ; raison r = -2.
zn+1 = wn+1-5 =0,8 wn +1-5 =0,8 wn -4 =0,8(wn-5) =0,8 zn.

Question 11.
On en d�duit l'expression de wn en fonction de n :
A. wn = 5(1-0,8)n+5 ; B. wn = 5(1-0,2)n+5 ; C. wn =2(5+n) ; D. wn =2(5-n).
zn = =5*0,8n ; wn  =zn+5=5*0,8n +5= 5(0,8n +1).
E : aucune des r�ponses propos�es.

Question 12.
Par passage � la limite on obtient :
A. en plus l'infini, la limite de wn vaut -oo ; B. en plus l'infini, la limite de wn vaut 0 ;
 C. en plus l'infini, la limite de wn vaut 5 vrai ; D. en plus l'infini, la limite de wn vaut +oo.
-1 < 0,8 <1, 0,8n tend vers z�ro si n tend vers plus l'infini.
 5(0,8n +1) tend vers 5.

 Partie III.
Soit f(x) =(2+cos x) e1-x d�finie sur R.

Question 13.
f(x) v�rifie :
A. il existe un r�el a tel que f(x) < 0 si x < a et f(x) > 0 si x > a.
 B. il existe un r�el a tel que f(x) > 0 si x < a et f(x) < 0 si x > a.
 C. Pour tout r�el x, f(x) < 0.
 D. Pour tout r�el x, f(x) > 0. Vrai.
-1 < cos x <+1 ; 2+cos x >0 ; e1-x > 0.

Question 14.
La fonction f ' est :
On pose u =2+cos x ; v = e1-x  ; u' = -sin x ; v' = -e1-x  ;
f '(x) = u'v+v'u = -sin x e1-x -(2+cos x) e1-x  = -(2+cos x+ sin x) e1-x . R�ponse C.

 Question 15.
On montre que pour tout x :.
A. 2� cos (x-p/4) = cos x -sin x.
 B. 2� cos(x-p/4) = cos x +sin x.
 C. 2� cos (x+p/4) = cos x +sin x.
 D. 2� cos (x+p/4) = cos x -sin x.
sin a cos b = 0,5(sin (a+b) +sin (a-b).
2 x 2� /2 cos (x+p/4)=2 sin (p/4) cos (x+p/4) =sin (x+p/4+p/4) +sin (-x) = -cos x + sin (-x).
E : aucune des r�ponses propos�es.
 
Question 16.
La fonction f ' v�rifie :
A. Pour tout x r�el, f '(x) < 0.
B. Pour tout x r�el, f '(x) > 0.
C. il existe un r�el � tel que f '(x) < 0 si x < � et f '(x) > 0 si x > �.
D.  il existe un r�el � tel que f '(x) > 0 si x < � et f '(x) < 0 si x > �.
f '(x) =-(2+cos x+ sin x) e1-x .
e1-x >0 ; (2+cos x+ sin x) > 0 ; -(2+cos x+ sin x) < 0. f '(x)  < 0.
E : aucune des r�ponses propos�es.

Question 17.
On montre :
A. limite en plus l'infini de f(x) =+oo et limite en moins l'infini de f(x) =-oo
B.  limite en plus l'infini de f(x) =+oo et limite en moins l'infini de f(x) =0
C. limite en plus l'infini de f(x) =0 et limite en moins l'infini de f(x) =-oo
D.   limite en plus l'infini de f(x) =-oo et limite en moins l'infini de f(x) =+oo.
E : aucune des r�ponses propos�es.
1 <(2+cos x) < 3
e1-x tend vers +oo si x tend vers -oo ;
e1-x tend vers 0 si x tend vers +oo.

Question 18.
Soit A l'aire de la partie du plan d�limit�e par la courbe C repr�sentant f, l'axe des abscisses et les droites d'�quations x=0 et x = 1. On a en unit� d'aire :

R�ponse B.

Question 19.
Soit f1(t) = cos (t) e1-t et f2(t) = sin (t) e1-t pour tout r�el t. On peut montrer que :
A. f1(t) = 0,5[f '2(t) -f '1(t)]. Vrai.
B. f1(t) = 0,5[f '1(t) -f '2(t)].
C. f2(t) = 0,5[f '2(t) +f '1(t)].
D. f2(t) = -0,5[f '2(t) +f '1(t)]. Vrai.
f '1(t) : on pose u =cos t ; v = e1-t  ; u' = -sin t ; v' = -e1-t  ;
f '1(t) = u'v+v'u = -sin t e1-t -cos t  e1-x  = -(cos t+ sin t) e1-t .
f '2(t) : on pose u =sin t ; v = e1-t  ; u' = cos t ; v' = -e1-t  ;
f '2(t) = u'v+v'u = cos t e1-t -sin t  e1-x  = (cos t- sin t) e1-t .
f '2(t) -f '1(t)=2 cos t e1-t .
f '2(t) +f '1(t)= -2 sin t e1-t .

Question 20.
On en d�duit que A = :

R�ponse B.

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 Partie IV.
Soit les nombres complexes z1 =1-i et z2 = (6�-i 2�) / 2.
Question 21.
Les formes exponentielles de ces nombres s'�crivent :
|z1| = (12+(-1)2)� = 2�.
z1 / |z1| =1 / 2� -i / 2� =cos (-p /4) + i sin (-p /4).
z1 =2� exp(-ip/4).
|z2| = (6+2)� / 2= 2�.
z2 / |z2| = (3�-i ) / 2=cos (-p /6) + i sin (-p /6).
z2 =2� exp(-ip/6). R�ponse C.

Question 22.
Le nombre complexe z1 / z2 s'�crit sous forme exponentielle :
exp(-ip/4) / exp(-ip/6)= exp ( i(-p/4 +p/6) = exp( i(-p/12). R�ponse D.

 Question 23.
Le nombre complexe z1 / z2 s'�crit sous forme alg�brique :
2(1-i) / (6�-i 2�) =2(1-i) (6�+i 2�) / [(6�-i 2�)(6�+i 2�)]
=2 (1-i) (6�+i 2�) / 8 =[(6�+ 2�)+ i(2�-6�)] / 4. R�ponse C.

Question 24.
On en d�duit que :
[(6�+ 2�)+ i(2�-6�)] / 4 = cos (-p /12) + i sin (-p /12).
cos (-p /12) =(6�+ 2�) / 4 et sin (-p /12) =(2�-6�) / 4. R�ponse A.

Question 25.
On en d�duit que :
[(6�+ 2�)+ i(2�-6�)] / 4 = cos (-p /12) + i sin (-p /12).
cos (-p /12) = cos(p /12) = (6�+ 2�) / 4 et sin (-p /12) = -sin (p /12) = (2�-6�) / 4.
sin (p /12) =- (2�-6�) / 4 = (6�-2�) / 4 . R�ponses B et C.



  
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