Math�matiques, technicien sup�rieur de l'aviation 2020.

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Partie 1.
On consid�re la fonction f d�finie sur l’intervalle [−2 ; 2] par :

et Cf sa courbe repr�sentative dans un rep�re orthonorm�.
Question 1.
Un calcul de f (−x) donne
A. f (−x) = f (x) : la fonction f est impaire. Faux, la fonction est paire.
B. f (−x) = −f (x) : la fonction f est paire. Faux.
C. Le point O(0; 0) est centre de sym�trie de Cf .
D. La droite d’�quation x = 0 est axe de sym�trie de Cf . Vrai.

Question 2.
Le calcul de la d�riv�e f ′ de la fonction f donne :
On pose u =1- 0,25 x2 ; u' = -0,5 x.
f(u) = u� : f '(u) = �u' u-�  ; f '(x) = -0,25 x(1-0,25x2)-�.
Question 3.
Ainsi, on en d�duit :
A. La fonction f est croissante sur ]−2 ; 0[ et d�croissante sur ]0; 2[. Vrai.
B. La fonction f est d�croissante sur ]−2 ; 0[ et croissante sur ]0; 2[. Faux.
C. La fonction f est croissante sur ]−2 ; 2[. Faux.
D. La fonction f est d�croissante sur ]−2 ; 2[. Faux.

Pour tout r�el x de l’intervalle ]0; 2[, on note :
A le point de coordonn�es (x ; 0),
D le point de coordonn�es (−x ; 0),
B le point de coordonn�es (x ; f (x)),
et C le point de coordonn�es (−x ; f (−x)).
Question 4.
Soit g la fonction qui � tout r�el x de l’intervalle ]0; 2[ associe l’aire du rectangle ABCD.
On a : g(x) = 2x f(x) = 2x(1-0,25x2)�= (4x2-x4)�. R�ponse C.

Question 5.
Ainsi, la d�riv�e g′ de la fonction g sur ]0; 2[ peut s’�crire :
On pose u =4x2-x4 ; u' = 8 x-4x3.
g(u) = u� : g '(u) = �u' u-�  ; g '(x) = (4 x-2x3)(4x2-x4)-� =(4 x-2x3) / (2x) (1-0,25x2)-�=(2-x2)  (1-0,25x2)-�. R�ponse D.

 Question 6.
L’aire du rectangle ABCD est alors maximale pour :
g'(x) = 0 ; 2-x2 = 0 ; x = 2�.
R�ponse B.
.
Question 7.
La valeur maximale S de cette aire est ainsi :
 S =g(2�)=(4*2-4)�=2.
. R�ponse A.

 Partie II.
Un joueur d�bute un jeu vid�o et effectue plusieurs parties successives. On admet que :
• la probabilit� qu’il gagne la premi�re partie est 0,1 ;
• s’il gagne une partie, la probabilit� de gagner la suivante est �gale � 0,8 ;
• s’il perd une partie, la probabilit� de gagner la suivante est �gale � 0,6.
On note, pour tout entier n non nul :
 Gn l’�v�nement � le joueur gagne la n-i�me partie � ;
pn la probabilit� de l’�v�nement Gn.
On a donc p1 = 0,1.
Question 8.
On montre que p2 =0,6 ; 0,78 ; 0,62 vrai ; 0,8.
Question 9.
Le joueur a gagn� la deuxi�me partie. La probabilit� p qu’il ait perdu la premi�re est :
1 /19 : 18 /31 ; 4 / 19 ; 27 / 31.Vrai.
0,54 / 0,62 = 54 / 62 = 27 / 31.

 Question 10.
On montre, que pour tout entier naturel n non nul :
A. pn+1 =pn / 5 +3 /5. Vrai.
Dans ce cas p2 =0,1 / 5 +3 / 5 =3,1 / 5=0,62.
B. pn+1 = 2 /5 -pn /5.
Dans ce cas p2 =2 / 5 -0,1 / 5 =1,9 / 5=0,38 diff�rent de 0,62.
C. pn+1 =4pn / 5 +0,1.
Dans ce cas p2 =0,4 / 5 -0,1 =1,9 / 5=0,18 diff�rent de 0,62.
D. pn+1 =0,9 -4pn /5.
Dans ce cas p2 =0,9 -0,4 / 5 =1,9 / 5=0,82 diff�rent de 0,62.


Question 11.
Ainsi, pour tout entier naturel n non nul :
A. pn =1 /3 -7 /6(-1/5)n.
Dans ce cas p2 =1 / 3 -7 / (6x25) =1,9 / 5~0,28 diff�rent de 0,62.
B. pn =3 /4 -13 /4(1/5)n. Vrai.
Dans ce cas p2 =0,75 -13 /100 =0,62.
C. pn =1 /2 -1 /2(4/5)n.
Dans ce cas p2 =0,5 -0,5x16 / 25 =0,18 diff�rent de 0,62.
D. pn =1 /2 +1 /2(-4/5)n.
Dans ce cas p2 =0,5 +0,5x16 / 25 =0,82 diff�rent de 0,62.
Toutes les propositions sont fausses.

Question 12.
Quand n tend vers plus l'infini, pn tend vers  : 0,5 ; 0,75 vrai ; 1 /3 ; +oo.
-1 < 1 /5 < 1, donc (1 /5)n tend vers z�ro si n tend vers plus l'infini ;
par produit et addition pn tend vers 0,75.

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 Partie III.
Les questions de cette partie sont ind�pendantes
Question 13.
On consid�re, dans le plan complexe muni d’un rep�re orthonormal direct les points A, B et C d’affixes respectives :
a = 1+i, b = 3i, c =(3�+0,5)+ i(0,5 x3� +2)
A. Le triangle ABC est un triangle rectangle.
 B. Le triangle ABC est un triangle isoc�le. Vrai.
 C. Le triangle ABC est un triangle �quilat�ral. Vrai.
 D. Le triangle ABC est un triangle ni rectangle, ni isoc�le, ni �quilat�ral.

AB = |zB-zA|=(12+22)� =5�.
AC = |zC-zA|=((3�-0,5)2+(0,5 x3� +1)2)� =(3,25 -3�+1,75+3�)� =5�.
BC = |zC-zB|=((3�+0,5)2+(0,5 x3� -1)2)� =(3,25 +3�+1,75-3�)� =5�.

Question 14.
Soit le nombre complexe z =(3�+i)1515.
A. Le nombre complexe z est un r�el.
B. Le nombre complexe z est un imaginaire pur. Vrai.
C. arg(z) = 1515 p /3 +2k p, k ∈ Z.
D. |z| =(2�)1515.
z1 = 3�+i ; |z1 | =(3 +1)� = 2.
z1 / |z1 | =3� / 2 +0,5 i =cos (p/6) + i sin(p/6) = exp(p/6).
|z| = 21515.
arg (z )= 1515 xp / 6 =505 p /2 =(126 x 2 +0,5)p= 0,5 p +2kp avec k = 126
.
Question 15.
Dans le plan muni d’un rep�re orthonorm�, on note S l’ensemble des points M dont l’affixe z v�rifie les conditions :
|z −1| = |z −i| et |z −1−2i| < 3.
On d�signe par C le cercle de centre le point de coordonn�es (1 ; 2) et de rayon 3, et par D la droite d’�quation y = x.
A. L’ensemble S est la r�union des ensembles C et D.
B. L’ensemble S est l’intersection des ensembles C et D.
C. Soient A et B les points d’intersection de C et D. L’ensemble S est le segment [AB]. Vrai.
D. L’ensemble S est r�duit au point I(0,5 ; 0,5).
Equation du cercle : (x-1)2 +(y-2)2 = 9.
z = x+iy ; |z-1| =((x-1)2 +y2)�.
|z-i| =((y-1)2 +x2)�.
|z −1| = |z −i| donne : (x-1)2 +y2=(y-1)2 +x2 ; x2-2x+1+y2 =y2-2y+1+x2  ; y = x.
Les points M appartienent � la droite D.
|z −1−2i| =( (x-1)2 +(y-2)2)� = 3.
Les points M appartienent disque de centre (1 ; 2).

L'ensemble S est l'ensemble des points de la droite D situ�s � l'int�rieur du disque.

  
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