Math�matiques, technicien sup�rieur de l'aviation 2021.

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts.


.
.
.. ..
......


...
Question 1.
Pour x appartenant � [0 ; 2p[, l'ensemble des solutions de l'in�quation cos(x) < -cos(2x) est :
cos(x) +cos(2x) < 0 ; cos (2x) = 2cos2(x) -1.
2cos2(x) +cos(x) -1 < 0. On pose X =  cos (x) avec -1 < X < 1.
Solutions de 2X2 +X-1 =0 ; discriminant D =1+8 =9=32.
Solutions : X1 =(-1+3) / 4=0,5 et X2 =(-1-3) / 4 =-1.
Solutions de 2X2 +X-1 < 0 : X, donc cos(x) appartient � [-1 ; 0,5].
cos (x) = -1 conduit � x = � p ; cos (x) = 0,5 conduit � x = �p/3.
R�ponse C :  x appartient � [p / 3 ;5 p/ 3 ].


 Question 2.
La solution de l'�quation diff�rentielle (E) 15 y' +24 y = 12 avec y(5 /4) = 2 est la fonction :
Solution g�n�rale de 15 y'+24 y=0 : f(x) = A exp(-24 /15 x) = A exp(-8x / 5) avec A une constante.
Solution particuli�re de (E) : y = 0,5.
Solution g�n�rale de (E) : f(x) =A exp(-8x /5) +0,5.
Or f(5 /4) =2=A exp(-10 /5 )+0,5 ; A =1,5 exp(2).
f(x) =1,5 exp(2) exp(-8x /5) +0,5 =1,5 exp(-8x /5+2) +0,5.

Question 3.
Dans un rep�re orthonorm�, nous consid�rons un hexagone r�gulier ABCDEF de centre O, dont les c�t�s ont pour mesure de longueur 1. Le produit scalaire suivant est �gal � :

Question 4.
Soit une fonction g d�finie sur l’intervalle ]−∞; 0] ; sa courbe repr�sentative dans un rep�re du plan admet-elle un asymptote.

Sur l’intervalle ]−∞; 0] :
- le d�nominateur n'est pas nul ;
x2-2x =x(x-2) > 0  soit x = 0.

La droite d'�quation y = -1 est asymptote � la courbe. R�ponse A.
.
Question 5.
Soit la fonction f d�finie sur l’ensemble des nombres r�els par :

La fonction f ′′, d�riv�e seconde de f sur l’ensemble des nombres r�els, est d�finie par :
 f '(x) = exp(-x2) ;  f "(x) = -2x exp(-x2). R�ponse C.

 Question 6.
On consid�re deux suites (un) et (un) d�finies sur l’ensemble des nombres entiers naturels :
A. Si un tend vers plus l'infini et si vn tend vers moins l'infini, alors un + vn tend vers z�ro. Faux, la forme un + vn est ind�termin�e.
B. Si (un) converge vers un nombre r�el non nul et si  vn tend vers moins l'infini, alors la suite (un �vn) ne converge pas vers une limite finie. Vrai.
C. Si (un) converge vers un nombre r�el non nul et si vn tend z�ro, alors la suite (un / vn ) admet +∞ou −∞comme limite. Vrai.
D. Si (un) et (vn) convergent alors la suite (un / vn ) converge vers une limite finie. Faux. La limite de (vn) ne doit pas �tre nulle.

Question 7.
Dans un rep�re de l’espace, on consid�re les trois points : A(1; 2; 3), B(−1 ; 5 ; 4), C(−1 ; 0 ; 4).
La droite D parall�le � la droite (AB) passant par le point C a pour repr�sentation param�trique :
Coordonn�es d'un vecteur directeur de la droite (AB), donc d'une droite parall�le � (AB) :
xB-xA = -2 ; yB-yA = 3 ; zB-zA = 1 ou encore (-1 ; 1,5 ; 0,5).
Repr�sentation param�trique de la droite D :
x = -t+xC = -t-1.
y =1,5t+yC =1,5t.
z =0,5t+zC =0,5t +4 avec t r�el. R�ponse A.

 Question 8.
ABCDEFGH est un cube dont les faces ABCD et EFCH sont parall�les et de telle sorte que
[AE] et[BF] soient deux ar�tes avec E situ� � au-dessus � de A.
M est le centre de la face ABFE et N est le centre de la face BCGF.
Les points I et J sont les milieux respectifs des ar�tes [GH] et [FG].
Les droites (IJ) et (MN) sont :
A. perpendiculaires. Faux. Deux droites du m�me plan sont perpendiculaires si elles se coupent � angle droit.
B. orthogonales Faux.
K �tant le milieu de EF, les droites (IK) et (MN) sont parall�les. (IJ ) et ( IK) n'�tant pas perpendiculaires, les droites (IJ) et (MN) ne sont pas orthogonales.,
C. s�cantes, non perpendiculaires. Faux.
D. parall�les. Faux.
M(0,5 ; 0 ; 0,5 ) ; N ( 0,5 ; 1 ; 0,5) ; I (0,5 ; 1 ; 1) ; J(1 ; 0,5 ; 1).
Coordonn�es d'un vecteur directeur de (MN)  :(  0 ; 1 ; 0 ).
Coordonn�es d'un vecteur directeur de (IJ)  :(  0,5 ; -0,5 ; 0 ).

...
....

 Question 9.
L’�quation e2x−3ex−4 =0 admet dans l’ensemble des nombres r�els :
A. 0 solution
B. 1 solution. Vrai.
C. 2 solution
D. plus de 2 solutions.
On pose X = ex > 0.
X2-3X-4=0 ; discriminant D = 9+4*4=25 = 52.
Solution positive retenue : X = (3+5) / 2 =4

Question 10.
Le plan est rapport� � un rep�re orthonorm�.
Soient f et g les fonctions d�finies sur [0 ; +∞[ respectivement par :
f (x) = e−x cos(4x) et g(x) =0,5e−x .
Les points communs aux deux courbes repr�sentatives de ces deux fonctions ont pour abscisses :
 e−x cos(4x) =0,5e−x   ; cos(4x) =0,5 = cos(p/3)
4x =�p/3 +2kp avec k  appartenant � Z
x =� p/12 +0,5kp.

Question 11.
 Un joueur lance une fois un d� cubique bien �quilibr�. Il gagne 10 € si le d� marque 1.
Il gagne1 € si le d�marque 2 ou 4.
Il ne gagne rien dans les autres cas.
Soit X la variable al�atoire �gale au gain du joueur.
La variance de X est ; 2; 12 ; 16 ; 17.
Gain (€)
 10
 1
 0
Probabilit�
 1 /6
 2 /6
 3 /6
�cart � la moyenne
+8
 -1
 -2
Moyenne : (10 +2) / 6 =2.
Variance : ( 82+(-1)2 *2+ (-2)2x3) / 6=78 /6 =13.
.
Question 12. Suite t�lescopique
Soit n un entier naturel non nul.
La limite de l’expression suivante lorsque n tend vers +∞est : 0 ; ln(2) ; +oo vrai ; -ln(2).


 Question 13. Suite doublement t�lescopique
Soit n un entier naturel sup�rieur ou �gal � 2.
La limite de l’expression suivante lorsque n tend vers +oo est : 0 ; ln(2) ; +oo ; -ln(2) vrai.


Question 14.
On jette deux d�s cubiques non pip�s, l’un bleu et l’autre rouge.
Les faces de chacun des d�s sont num�rot�es de 1 � 6.
On note a le nombre de la face apparente du d� bleu et b celui du d� rouge.
Soil E l’�quation du second degr� dans l’ensemble des nombres r�els : x2−2ax +b2= 0.
Identifier la ou les affirmation(s) vraie(s) parmi les suivantes :
A. La probabilit� que E ait une racine double est 1/6. Vrai.
B. La probabilit� que E n’ait aucune racine r�elle est �gale � la probabilit� que E ait deux racines r�elles distinctes. Vrai.
Si a > b , il y a 2 racines r�elles ( 15 cas posibles sur 36).
Si a < b , il n'y a pas de racines r�elles ( 15 cas posibles sur 36).
C. Si E a deux racines r�elles distinctes, la probabilit� que l’une soit �gale � 1 est 1 /3. Faux.
5 cas possibles sur 36.
D. La probabilit� que E ait une racine double paire est 1 / 36. Faux ( 3 / 36 = 1 / 12).
 a et b sont des entiers compris entre 1 et 6, bornes comprises.
x2−2ax +b2= 0 ; discriminant D = 4a2-4b2 =4(a2-b2).
Si a = b, il existe une racine double x = a.
Soit 1,1 ; 2, 2 ; 3,3 ; 4, 4 ; 5, 5 ; 6,6 sur 36 cas possibles.

Si a > b, il existe deux racines r�elles.
x=(2a � 2(a2-b2)�) / 2 =a �(a2-b2)�.
a
 1
 2
 3
 4
 5
 6
b
1
 1 1
 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1
2
 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2
3
 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3
4
 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 4
5
 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5
6
 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6


Question 15.
Une usine fabrique des vis de 2 cm de mesure de longueur.
On note X la variable al�atoire ayant pour valeurs les mesures de longueurs des vis possibles exprim�e en cm, la probabilit� pi qu’une vis soit de longueur xi .
xi
 1,8
 1,9
 2
 2,1
 2,2
pi
 1/12
 1/6
 0,5
 1/6
 1/12

A. Si nous pr�levons au hasard et avec remise 6 vis, la probabilit� d’avoir au moins une vis de mesure de longueur 1,8 cm est (1/12)6. Faux.
X suit la loi binomiale.
"au moins une vis" signifie 1, ou 2, ou 3, ou 4, ou 5, ou 6 vis.de longueur 1,8 cm.
Probabilit� d’avoir au moins une vis de mesure de longueur 1,8 cm :
1-P(X=0) = 1-(60)(1/12)0 x(11/12)6 =1-(11/12)6 =(126-116) /126 =
B. Si nous pr�levons au hasard et avec remise 6 vis, la probabilit� d’avoir exactement deux vis de mesure de longueur 1,8 cm est 6x114 / 126. Faux.
P(X=2) = (6 2) (1/12)2 (1-1/12)4=6 x5 /2 (1/12)2 (1-1/12)4=15x(1/12)2 (11/12)4=15x114 / 126.
C. Si nous pr�levons au hasard et avec remise 6 vis, la probabilit� d’avoir au moins une vis de mesure de longueur sup�rieure ou �gale � 1,9 cm est 1−(11/12)6. Faux.
" avoir au moins une vis de mesure de longueur sup�rieure ou �gale � 1,9 cm" signifie vis de longueur 1,9 cm ou 2 cm ou 2,1 cm ou 2,2 cm.
1-P(X=1)=1- (6 1) (1/6)1 (1-1/6)5=1-6 /6 x(5 / 6)5 =1-(5 / 6)5.
D. Si l’on pr�l�ve au hasard une vis, la probabilit� qu’elle soit au moins de 2 cm est 3 /4. Vrai.
"au moins de 2 cm" signifie 2 cm ou 2,1 cm ou 2,2 cm.
0,5 +1/6 +1 /12 = (6 +2+1) / 12 =9 /12 =3 /4.

  
menu