Math�matiques, Bts groupe A M�tropole 2022. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts. . . . . . . .. .. ...... ... Exercice 1. 11 points La communication par courants porteurs en ligne (ou CPL) permet de transmettre des informations en utilisant des conducteurs �lectriques en fonctionnement. Le principe des CPL consiste � superposer au r�seau �lectrique un signal de haute fr�quence et de basse �nergie. Ce deuxi�me signal se propage sur l’installation �lectrique et peut �tre re�u et d�cod� � distance. Les parties A, B, C de cet exercice peuvent �tre trait�es de mani�re ind�pendante.  Partie A : �tude d’un signal On s’int�resse � une tension p�riodique U. On note T sa p�riode. 1. On donne ci-dessous une repr�sentation graphique de U, exprim�e en volt (V ), en fonction de t exprim� en microseconde (�s). Rappel : 1 �s = 10−6 s. a. D’apr�s la repr�sentation graphique ci-dessus, quelle est la valeur de T en microseconde ? T = 10 �s.  b. La fr�quence d’un signal p�riodique, en Hz, suit la formule : f =1 / T , o� T est exprim� en seconde. Quelle est la fr�quence de la tension p�riodique U ? f = 1 /(10 x10-6 ) = 1,0 105 Hz.  2. On mod�lise l’�volution de U (en volt) en fonction de t (en microseconde) � l’aide d’une fonction num�rique f d�finie sur R. Ainsi : U = f (t). On admet que la fonction f est paire, p�riodique de p�riode T , d�veloppable en s�rie de Fourier et v�rifie, pour tout r�el t : a. Quelle est la valeur de bn pour tout entier n > 1 ? Justifier. La fonction �tant paire, les termes en bn sont nuls.  b. Justifier que a0 = 9,6.  3. La valeur efficace de U, not�eUeff,; montrer que : Ueff ≈ 10,7 V. 4. Le signal correspondant � la tension U est envoy� sur une ligne moyenne tension transportant une tension efficace de M = 20000 V. Le taux de distorsion harmonique par rapport au fondamental, not� TF , est donn� par la formule suivante : TF = [Ueff2 -a02) / M2]�.  On consid�re qu’un CPL n’a pas d’incidence sur le r�seau si TF est inf�rieur � 0,1 %. Le CPL �tudi� dans la partie A a-t-il une incidence sur le r�seau ? TF = [10,72 -9,62) / 20 0002]�=2,4 10-4 soit 2,4 10-2 %. Cette valeur �tant inf�rieure � 0,1 %, il n'y a pas d'incidence. Partie B : Transmission num�rique Le signal porteur �tudi� en partie A peut �tre utilis� pour transmettre des signaux num�riques (bits) durant chaque p�riode. Dans certaines conditions des bits peuvent �tre mal transmis. On se place, dans cette partie, dans ces conditions. On transmet, durant chaque p�riode, 80 bits. Chaque bit a une probabilit� �gale � 0,015 d’�tre mal transmis. On note X la variable al�atoire qui associe � chaque p�riode le nombre de bits mal transmis durant cette p�riode. 1. Quelle est la loi de probabilit� suivie par la variable al�atoire X ? On pr�cisera ses param�tres. Aucune justification n’est demand�e. X suit une loi binomiale de param�tres n = 80 et p = 0,015.  2. Calculer la probabilit� que tous les bits soient correctement transmis durant une p�riode. Arrondir la r�ponse au milli�me. P(X=0) = (1000) x0,0150 x(1-0,015)80 = 0,298. 3. Calculer la probabilit� que strictement plus de 4 bits soient mal transmis. Arrondir la r�ponse au milli�me. P'X >4)=1-P(X < 4)=1-0,993 =0,007.  4. a. Calculer l’esp�rance de la variable al�atoire X. R(X) = n p = 80 x 0,015=1,2.  b. On consid�re que la ligne est de bonne qualit� si, en moyenne, moins de deux bits sont mal transmis durant une p�riode. La ligne est-elle de bonne qualit� ? 1,2 < 2 : la ligne est de bonne qualit�. Partie C : Dur�e de vie d’un coupleur CPL Un coupleur CPL est un �quipement qui permet de transmettre le signal entre deux conducteurs de la ligne. On s’int�resse � la dur�e de vie, en situation normale de fonctionnement, de coupleurs CPL d’une certaine marque. On mod�lise la dur�e de vie, exprim�e en ann�e, d’un tel coupleur par une variable al�atoire Y suivant une loi normale de moyenne 12 et d’�cart-type 2. 1. Calculer la probabilit� qu’un coupleur ait une dur�e de vie comprise entre 10 et 12 ans. Arrondir la r�ponse au milli�me. P(10 < Y < 12) =0,341 ( donn� par la calculatrice)  2. Calculer la probabilit� qu’un coupleur ait une dur�e de vie sup�rieure � 10 ans. Arrondir la r�ponse au milli�me. P(Y > 10) = 0,841 ( donn� par la calculatrice)  3. Sachant qu’un coupleur est toujours en fonctionnement au bout de 10 ans, calculer la probabilit� qu’il cesse de fonctionner dans les deux ann�es suivantes. Arrondir la r�ponse au milli�me. P Y >10 (Y < 12)=P(Y >10 n P(Y < 12) / P(Y > 10) = P(10 < Y <12) / P(Y > 10) = 0,341 / 0,841 ~0,40. ... .... Exercice 2. 9 points Le montage suivant est compos� d’une bobine d’inductance L = 0,001 henry et d’une r�sistance R (en ohm), assembl�es en s�rie. Ce montage est utilis� pour l’extraction d’un signal CPL haute fr�quence du r�seau. Les parties A et B de cet exercice peuvent �tre trait�es de mani�re ind�pendante.  Partie A : Test du filtre Dans cette partie, la valeur de R est un param�tre strictement positif fix�. Pour tester ce montage on le soumet � une tension d’entr�e constante ve = 12 volts. On s’int�resse � la tension de sortie vs(t), exprim�e en volt, en fonction du temps t (en seconde), aux bornes de la bobine L. � t = 0, on admet que la tension aux bornes de la bobine est �gale � 12 volts. La tension vs v�rifie, pour tout t > 0 :  v ′ s (t)+ R / L vs(t) = 0.  1. D�terminer les solutions de l’�quation diff�rentielle (E) : y ′ (t)+ R / L y(t) = 0. y(t) = A exp(-R / L t) avec A une constante. y(t) = A exp(-R t /00,001) = A exp(-1000 R t). 2. En d�duire que pour tout t > 0 : vs(t) = 12e−1 000 R t . A t = 0,  vs(0) = 12 =A e0 = A.  3. a. Quel est le sens de variation de la fonction vs ? Justifier. v 's(t) = -1000 R x 12 e−1 000 R t  < 0. vs(t) est strictement d�croissante.  b. D�terminer la limite de vs(t) lorsque t tend vers l’infini. Justifier. e−1 000 R t  tend vers z�ro si t tend vers plus l'infini. vs(t) tend vers z�ro.  4. En pr�cisant la m�thode utilis�e, d�terminer la valeur de R (� 0,1 ohm pr�s) telle que, pour t = 0,001, la tension vs(t) soit �gale � 1 % de la tension d’entr�e ve . vs(0,001) = 12e−R =12 x0,01 ; e-R = 0,01 ; -R = ln(0,01) ; R =4,6 ohms. Partie B : �tude du filtre Dans cette partie, on poursuit l’�tude du montage repr�sent� en d�but d’�nonc�. On rappelle que L = 0,001 henry et on prend R = 5 ohm. On soumet le montage � une tension d’entr�e ve (t), en volt, en fonction du temps t (en seconde). On s’int�resse � la tension de sortie vs(t), en volt, en fonction du temps t (en seconde), aux bornes de la bobine L. On admet que la fonction de transfert du montage est : H(p) = p / ( p +5000 ) . On rappelle que l’on a : Vs(p) = H(p)�VE (p), o� VE (p) est la transform�e de Laplace de ve (t) et Vs(p) est la transform�e de Laplace de vs(t).  1. On consid�re que pour tout r�el t : ve (t) = 12U (t)−12U ( t −8�10−6 ) . D�terminer la valeur de ve (t) pour t < 0, puis pour 0 < t < 8 � 10−6 et enfin pour t > 8�10−6 . U(t) = 0 si t < 0 et U(t) =1 si t >0. U(t-8 10-6) =0 si t < 8 10-6 ; U(t-8 10-6) =1 si t > 8 10-6 ; ve(t) = 0 si t < 0. vs(t) = 12 si 0 < t < 8 10-6. vs(t) = 0 si t > 8 10-6.  2. a. D�terminer la transform�e de Laplace VE (p) de ve (t). VE(p) = 12 / p -12 / p exp(-8 10-6 p) b. En d�duire que : Vs(p) = 12 /(p +5000) − 12 /(p +5000) exp(-8 10-6 p). Vs(p) = H(p)�VE (p)= p /(p+5000) x [ 12 / p -12 / (p+5000) exp(-8 10-6 p)]. 3. Exprimer vs(t) en fonction de t et de la fonction �chelon U . vs(t) = 12 exp(-5000t) x U(t) -12exp(-5000(t-8 10-6)) xU(t-8 10-6).  4. On a repr�sent� la tension de sortie vs en fonction de t exprim� en microseconde. Sur le m�me graphique repr�senter la tension d’entr�e ve . Que constate-t-on ? Les tensions vs(t) et ve(t) prennent quasim�nt les m�mes valeurs.

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