Math�matiques, Bts groupe B1 M�tropole 2022.

Exercice 1 : un probl�me de routage 5 points
Un chariot d’une f�te foraine est propuls� � une vitesse de 20 m.s⁻¹ sur un axe horizontal, puis il est ralenti par un syst�me de freinage. On s’int�resse � la vitesse du chariot durant le freinage. On note f (t) la vitesse du chariot � l’instant t. f (t) est exprim� en m�tre par seconde, et t est exprim� en seconde. L’instant t = 0 correspond � l’instant o� le chariot commence � �tre pris en charge par le syst�me de freinage. On a donc f (0) = 20.
On suppose que f est une fonction d�rivable sur [0 ; +∞[ et on note f ′ sa fonction d�riv�e. Les trois parties peuvent �tre trait�es de fa�on ind�pendante.
Partie A - R�solution d’une �quation diff�rentielle.
On admet que la fonction f est solution de l’�quation diff�rentielle : (E) : y ′ +0,8y = 4, o� y est une fonction inconnue et o� y ′ est la fonction d�riv�e de y.
1. a. R�soudre l’�quation diff�rentielle (E0) : y ′ +0,8y = 0.
f(t) =A e^-0,8t. A est une constante.
b. Soit g la fonction d�finie sur [0 ; +∞[ par g(t) = 5. V�rifier que la fonction g est solution de l’�quation diff�rentielle (E).
g'(t) = 0, repport dans (E) : 0+0,8 x5 = 4 est bien vb�rifi�.
c. En d�duire l’ensemble des solutions de l’�quation diff�rentielle (E).
f(t) = Ae^-0,8t +5.
2. On rappelle que f (0) = 20.
D�terminer la solution f de l’�quation (E) qui v�rifie la condition initiale : f (0) = 20.
20 = A+5 ; A =15.
f(t) = 15e^-0,8t +5.

Partie B - �tude de la fonction f
On admet que la fonction f est d�finie pour tout t appartenant � [0 ; +∞[ par : f (t) = 15e^−0,8t +5. Sa courbe repr�sentative C dans un rep�re orthogonal est donn�e ci-dessous.

1. a. D�montrer que la limite de f(t) en plus l'infini est f (t) = 5.
En plus l'infini, e^−0,8t est nul et f(t) tend vers 5.
b. En d�duire que la courbe C admet une asymptote dont on donnera une �quation.
La droite d'�quation y = 5 est asymptote � la courbe repr�sentant f(t).
2. On admet que, pour tout r�el t appartenant � [0 ; +∞[ on a : f ′ (t) = −12e^−0,8t . Dresser le tableau de variation de f sur [0 ; +∞[.
e^−0,8t >0, f '(t) est strictement n�gative et f(t) est strictement d�croissante.
3. Le syst�me de freinage permet-il au chariot de s’arr�ter ?
Non, la vitesse finale tend vers 5 m /s.
4. Soit F la fonction d�finie sur [0 ; +∞[ par F(t) = −18,75e^−0,8t +5t.
a. V�rifier que la fonction F est une primitive de la fonction f sur [0 ; +∞[.
On d�rive F : -18,75 x(-0,8) e^−0,8t +5 =15e^−0,8t +5 =f(t).
b. On admet que la distance d, exprim�e en m�tre, parcourue par le chariot entre les instants t₀ et t₁ est donn�e par : d = F(t₁)-F(t₀). Calculer la valeur exacte de la distance parcourue par le chariot entre l’instant t₀ = 0 et t₁ = 1. Donner une valeur arrondie au centim�tre.
F(1) =-18,75 e^-0,8 +5.
F(0) = -18,75.
d = -18,75 e^-0,8 +5+18,75 =23,75 -18,75e^-0,8 ~15,33 m.

Partie C – �tude locale
On rappelle que l’on �tudie la fonction f d�finie sur [0 ; +∞[ par : f (t) = 15e^−0,8t +5. On rappelle que sa courbe repr�sentative C est reproduite au d�but de la partie B. Un logiciel de calcul formel affiche la partie r�guli�re du d�veloppement limit� � l’ordre 2 de la la fonction f au voisinage de 0 soit 20 -12 t+24 / 5t²+t²e(t) avec e(t) tendant vers z�ro quant t tend vers z�ro.
Donner une �quation de la tangente T � la courbe C au point d’abscisse 0.
y = -12 t +20.