Math�matiques, Bts groupe B1 M�tropole 2022.

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Exercice 1 : un probl�me de routage 5 points
Un chariot d’une f�te foraine est propuls� � une vitesse de 20 m.s−1 sur un axe horizontal, puis il est ralenti par un syst�me de freinage. On s’int�resse � la vitesse du chariot durant le freinage. On note f (t) la vitesse du chariot � l’instant t. f (t) est exprim� en m�tre par seconde, et t est exprim� en seconde. L’instant t = 0 correspond � l’instant o� le chariot commence � �tre pris en charge par le syst�me de freinage. On a donc f (0) = 20.
 On suppose que f est une fonction d�rivable sur [0 ; +∞[ et on note f ′ sa fonction d�riv�e. Les trois parties peuvent �tre trait�es de fa�on ind�pendante.
 Partie A - R�solution d’une �quation diff�rentielle.
On admet que la fonction f est solution de l’�quation diff�rentielle : (E) : y ′ +0,8y = 4, o� y est une fonction inconnue et o� y ′ est la fonction d�riv�e de y.
1. a. R�soudre l’�quation diff�rentielle (E0) : y ′ +0,8y = 0.
f(t) =A e-0,8t. A est une constante.
 b. Soit g la fonction d�finie sur [0 ; +∞[ par g(t) = 5. V�rifier que la fonction g est solution de l’�quation diff�rentielle (E).
 g'(t) = 0, repport dans (E) : 0+0,8 x5  = 4 est bien vb�rifi�.
 c. En d�duire l’ensemble des solutions de l’�quation diff�rentielle (E).
f(t) = Ae-0,8t +5.
 2. On rappelle que f (0) = 20.
D�terminer la solution f de l’�quation (E) qui v�rifie la condition initiale : f (0) = 20.
20 = A+5 ; A =15.
f(t) = 15e-0,8t +5.

 Partie B - �tude de la fonction f
On admet que la fonction f est d�finie pour tout t appartenant � [0 ; +∞[ par : f (t) = 15e−0,8t +5. Sa courbe repr�sentative C dans un rep�re orthogonal est donn�e ci-dessous.

1. a. D�montrer que la limite de f(t) en plus l'infini est f (t) = 5.
En plus l'infini, e−0,8t est nul et f(t) tend vers 5.
 b. En d�duire que la courbe C admet une asymptote dont on donnera une �quation.
La droite d'�quation y = 5 est asymptote � la courbe repr�sentant f(t).
2. On admet que, pour tout r�el t appartenant � [0 ; +∞[ on a : f ′ (t) = −12e−0,8t . Dresser le tableau de variation de f sur [0 ; +∞[.
e−0,8t >0, f '(t) est strictement n�gative et f(t) est strictement d�croissante.
 3. Le syst�me de freinage permet-il au chariot de s’arr�ter ?
Non, la vitesse finale tend vers 5 m /s.
  4. Soit F la fonction d�finie sur [0 ; +∞[ par F(t) = −18,75e−0,8t +5t.
 a. V�rifier que la fonction F est une primitive de la fonction f sur [0 ; +∞[.
On d�rive F : -18,75 x(-0,8) e−0,8t +5 =15e−0,8t +5 =f(t).
b. On admet que la distance d, exprim�e en m�tre, parcourue par le chariot entre les instants t0 et t1 est donn�e par : d = F(t1)-F(t0).  Calculer la valeur exacte de la distance parcourue par le chariot entre l’instant t0 = 0 et t1 = 1. Donner une valeur arrondie au centim�tre.
F(1) =-18,75 e-0,8 +5.
F(0) = -18,75.
d = -18,75 e-0,8 +5+18,75 =23,75 -18,75e-0,8 ~15,33 m.

Partie C – �tude locale
 On rappelle que l’on �tudie la fonction f d�finie sur [0 ; +∞[ par : f (t) = 15e−0,8t +5. On rappelle que sa courbe repr�sentative C est reproduite au d�but de la partie B. Un logiciel de calcul formel affiche la partie r�guli�re du d�veloppement limit� � l’ordre 2 de la la fonction f au voisinage de 0 soit 20 -12 t+24 / 5t2+t2e(t) avec e(t) tendant vers z�ro quant t tend vers z�ro.
 Donner une �quation de la tangente T � la courbe C au point d’abscisse 0.
y = -12 t +20.

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Exercice 2 10 points
Une usine fabrique des tubes fluorescents. Des tests de conformit� permettent de v�rifier si les tubes pr�sentent un d�faut. Les trois parties peuvent �tre trait�es de fa�on ind�pendante
Partie A - Probabilit�s conditionnelles
L’entreprise poss�de deux ateliers de production des tubes : atelier 1 et atelier 2.
• L’atelier 1 produit 30 % des tubes.
◦ Parmi eux, 1,5 % pr�sentent un d�faut.
• L’atelier 2 produit 70 % des tubes. ◦ Parmi eux, 2,5 % pr�sentent un d�faut.
On pr�l�ve au hasard un tube parmi la production totale de l’usine. On d�finit les �v�nements suivants :
 • A1 : � le tube provient de l’atelier 1 �;
• A2 : � le tube provient de l’atelier 2 �;
• D : � le tube pr�sente un d�faut �.
1. R�aliser un arbre pond�r� d�crivant la situation.
 2. Calculer la probabilit� P (A1 ∩D).
3. Montrer que P(D) = 0,022.

 4. On sait que le tube ne pr�sente pas de d�faut. Quelle est la probabilit� qu’il provienne de l’atelier 2 ?
P non D (A2)=P(non D n A2) / P(non D)=0,6825 / (1-0,022)=0,698.

Partie B - Dur�e de vie des tubes fluorescents
 
On consid�re la variable al�atoire T qui, � tout tube fluorescent pr�lev� au hasard dans le stock, associe sa dur�e de bon fonctionnement en heure. On suppose que T suit une loi exponentielle de param�tre l = 0,0001.
 1.
D�terminer l’esp�rance E(T ) et interpr�ter le r�sultat dans le contexte de l’�nonc�.
E(T) = 1 /l = 10 000 heures.
La dur�e de vie moyenne est de 10 000 heures.
 2. Calculer la probabilit�, arrondie � 10−2 , que la dur�e de bon fonctionnement du tube fluorescent pr�lev� soit inf�rieure � 8 000 heures.
P(T < 8000) = 1-exp(-0,0001 x8000) = 1-e-0,8 =1-0,45= 0,55..
 3. Calculer la probabilit�, arrondie � 10−2 , que la dur�e de bon fonctionnement du tube fluorescent pr�lev� soit sup�rieure � 10 000 heures.
P(T > 10 000 )=exp(-0,0001 x 10 000 ) =e-1 =0,37.

 Partie C - Intervalle de confiance
La fixation des tubes fluorescents se fait � l’aide de rivets produits dans une usine. On cherche la proportion p de rivets conformes parmi l’ensemble de la production. Pour cela, on pr�l�ve au hasard dans la production un �chantillon de 1 000 rivets. Ce pr�l�vement peut �tre assimil� � un tirage au sort avec remise. On constate que, sur les 1 000 rivets pr�lev�s, 975 d’entre eux sont conformes.
 1. Donner une estimation ponctuelle f de la proportion inconnue p.
f = 975 / 1000 = 0,975.
 2. Soit F la variable al�atoire qui, � tout �chantillon de 1 000 rivets ainsi pr�lev�, associe la fr�quence, dans cet �chantillon, des rivets conformes.
D�terminer un intervalle de confiance centr� sur f de la proportion p au niveau confiance de 95 %. Arrondir les bornes de l’intervalle � 10−3 pr�s
1,96 [p(1-p) / n] = 1,96 [0,975 x0,025 /1000] =0,00968.
Intervalle de confiance [0,975 -0,00968 ; 0,975 +0,00968) soit [0,965 ; 0,985]



  
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