Math�matiques, Bts groupe C M�tropole 2022.

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts.

.
. . .

.
.
.. ..
......


...
Exercice 1. 9 points
Une entreprise r�alise des pieds de lit en bois. La hauteur du pied est de 13 cm et sa base a pour diam�tre 4 cm.
 Partie A - R�solution d’une �quation diff�rentielle.
On consid�re l'�quation diff�rentielle (E) : 16 y" +8y' +y = 0.
1. R�soudre l’�quation 16r2 +8r +1 = 0.
Discriminant D = 82-4 *16 = 0.
x = -8 / 32 = -0,25.
  2. R�soudre (E).
y(t) = (At + B) e-0,25t avec A et B des constantes.
  3. D�terminer la fonction g solution de (E) qui v�rifie g(0) =2 et g'(0)=1,5.
g(0) =2 = B.
Calcul de g'(t) en posant u =At, v = e-0,25t ; u' = A ; v' = -0,25 e-0,25t.
u'v+v'u = Ae-0,25t( 1-0,25t).
g'(0) = A = 1,5.
g(t) = (1,5t+2)e-0,25t.

Partie B. Etude de fonction.
Pour mod�liser ce pied, on effectue la rotation autour de l'axe des abscisses sur l'intervalle [0 ; 13 ] de la courbe repr�sentative d'une fonction f(x) = (ax+b)e-0,25t o� a et b sont des r�els. L'abscisse x  repr�sente la hauteur � partir du sol en cm du pied de lit et f(x) le rayon en cm du pied � la hauteur x.
La courbe Cf passe par le point A(0 ; 2).
Le coefficient directeur de la tangente � la courbe en A vaut 1,5.
1. Justifier que b = 2.
f(0) = (0+b)e0=2 ; b=2.
2. Donner l'expression de f '(t).
On d�rive f(t) en posant u =at+2, v = e-0,25t ; u' = a ; v' = -0,25 e-0,25t.
u'v+v'u = e-0,25t( a-0,25(at+2)).
3. D�terminer la valeur de a.
Le coefficient directeur de la tangente en A est f '(0)= a -0,5= 1,5 ; a = 2.

4. Mod�le de la courbe ci-dessous f(x) = (2x+2)e-0,25x.

Le rayon de la partie bomb�e du pied correspond � la valeur maximale de f (x). Peut-on utiliser un morceau de bois de largeur 5 cm, de mongueur 15 cm et de hauteur 7 cm pour construire ce pied ?
Le graphique indique environ 3,8 cm pour le maximum.
Par calcul : on d�rive f(t) en posant u =2x+2, v = e-0,25t ; u' = 2 ; v' = -0,25 e-0,25t.
u'v+v'u = e-0,25t( 2-0,25(2x+2)) =e-0,25t(1,5-0,5x)
La d�riv�e s'annule pour x = 3.
f(3)=8e-0,75 =3,78.
Le morceau de bois convient.

Partie C. Calcul int�gral.
Le volume du solide engendr� par la rotation de la courbe Cf autour de l'axe des abscisses sur l'intervalle [0 ; 13] est donn� en cm3 par :
A l'aide de la calculatrice, donner une valeur approch�e de V.
V = 316,90 cm3.

...
....

 Exercice 2. 11 points
Partie A - Probabilit�s conditionnelles
L’entreprise r�alise des pi�ces en bois avec 2 machines A et B qui fabriquent respectivement 60 % et 40 % des pi�ces.
3% des pi�ces fabriqu�es par A sont d�fectueuses.
2% des pi�ces fabriqu�es par B sont d�fectueuses.
 On d�finit les �v�nements suivants :
 • A : � la pi�ce provient de la machine A�;
• B : � la pi�ce provient de la machine B �;
• D : � la pi�ce pr�sente un d�faut �.
1. Calculer PA(D) et PB(D).
PA(D) = 0,03.
PB(D) = 0,02.
 2. Calculer la probabilit� que la pi�ce soit d�fectueuse et ait �t� produite par la machine A.
P(A n D) = =0,60 x0,03 = 0,018.
3. Calculer P(D).
 P(D) = P(A n D) + P(B n D) =0,018 +0,02 x0,40 =0,026.

  Partie B. Lois de probabilit�s.
Un magasin commande un lot de 400 pi�ces. On note X la variable al�atoire qui, � tout lot de 400 pi�ces, associe le nombre de pi�ce pr�sentant un d�faut.
1. D�terminer la loi suivie par X ainsi que ses param�tres.
C'est un sch�ma de bernoulli. : on r�p�te 400 exp�riences al�atoires ayant deux issues, identiques et ind�pendantes entre elles.
 X suit la loi binomiale de param�tre n = 400 et p =0,026.
2. Calculer la probabilit� d'avoir au plus 6 pi�ces d�fectueuses.
P(X < 6) ~0,104 ( donn� par la calculatrice).
3. Montrer que la probabilit� d'avoir au moins 7 pi�ces d�fectueuses est 0,896.
P(X > 7) = 1 -P(X < 6) = 1-0,104 = 0,896.
4. On admet que l'on peut approcher la loi suivie par la variable X par une loi de Poisson de param�tre l. On appelle Y la variable qui suit cette loi. Justifier que l = 10,4.
l = n p =400 x 0,026=10,4.
5. D�terminer la valeur arrondie � 10-3 de l'erreur commise par cette approximation.
La calculatrice donne P(Z > 7) = 0,893.
Erreur commise : 0,896 -0,893 = 0,003.

 Partie C - Test d'hypoth�se
La scierie qui fournit le bois affirme que 85 % de morceaux pris au hasard dans la production, sont conformes en largeur et en longueur. L'entreprise fait un test bilat�ral au seuil de risque de 5 % pour v�rifier cette affirmation.
On note H0 : p = 0,85.
On appelle F la variable al�atoire qui, � tout �chantillon de 100 morceaux de bois, associe la fr�quence des morceaux conformes en largeur et en longueur. On admet que sous H0, la variable al�ayoire F suit la loi normale de moyenne 0,85 et d'�cart type (0,85 x0,15 / 100)�=0,036.
 1.Preciser l'hypoth�se alternative H1 du test.
H1 : p diff�re de 0,85.
 2. D�terminer la zone d'acceptation du test.
Intervalle de confiance [0,85 -1,96 x0,036 ; 0,85 +1,96 x0,036) soit [0,78 ; 0,92].
3. Sur un �chantillon de 100 morceaux de bois, on compte 80 morceaux conformes en lageur et longueur. L'entreprise a t-elle raison de douter de l'affirmation de la scierie ?
Fr�quence des morceaux non conformes : f = 80 /100 = 0,8.
0,8 est situ� dans l'intervalle d'acceptation. L'entreprise ne peut pas remettre en cause l'affirmation de la scierie.

  
menu