Math�matiques, Bts opticien lunetier M�tropole 2022. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts. . . . . . . .. .. ...... ... EXERCICE 1 Un �tudiant effectue son stage dans une boutique de lunetterie.  PARTIE A - Probabilit�s conditionnelles. Cette boutique est sp�cialis�e dans les montures r�alis�es � partir de bois recycl�. Elle propose deux mod�les de montures : - les montures SURF, r�alis�es avec le bois d’anciennes planches de surf; - les montures TRADITION, r�alis�es avec le bois provenant d’un �b�niste.  Un client souhaitant acheter des montures a le choix entre deux formules :  -la formule PERSONNELLE : les montures sont confectionn�es sur mesure; -la formule IMMEDIAT : le client ach�te un mod�le d�j� confectionn�.  On dispose des informations suivantes :  • 65 % des montures vendues sont des montures SURF. Parmi elles, 10 % ont �t� vendues selon la formule PERSONNELLE, les autres ont �t� vendues selon la formule IMMEDIAT. • 35 % des montures vendues sont des montures TRADITION. Parmi elles, 15 % ont �t� vendues selon la formule PERSONNELLE, les autres ont �t� vendues selon la formule IMMEDIAT.  On choisit au hasard une monture ayant �t� vendue. On d�finit les �v�nements : S : il s’agit d’une monture SURF.  E : il s’agit d’une monture ayant �t� vendue selon la formule PERSONNELLE. 1. Repr�senter la situation � l’aide d’un arbre pond�r�. 2. Calculer la probabilit� P(S ∩E). 3. D�montrer que P(E) = 0,1175. 4. La monture a �t� vendue selon la formule PERSONNELLE. Quelle est la probabilit� qu’il s’agisse d’une monture SURF? PE(S) = P(S n E) / P(E) = 0,065 / 0,1175 =0,553.  Partie B  - Lois de probabilit�s  Dans cette partie, on �tudie les temps d’attente des clients selon les jours de la semaine. On a recueilli les observations ci-dessous. Description de la situation Loi de probabilit� d�crivant le temps d’attente exprim� en minutes Courbe correspondante Param�tres Mardi, Jeudi Peu de clients. Peu d’attente. Loi exponentielle de param�tre l = 0,5. C1 l = 0,5. Mercredi, Vendredi Impr�visible. Un client peut attendre beaucoup, un peu, ou pas du tout Loi uniforme sur l’intervalle [a ; b]. C3 a =0 b =8 Samedi Beaucoup de vendeurs, beaucoup de clients Loi normale de moyenne m et d’�cart-type s = 1 minute. C2 m=6. s = 1 minute. Dimanche, Lundi Boutique ferm�e. On a repr�sent� ci-dessous les repr�sentations graphiques des densit�s des trois lois d�crites dans le tableau ci-dessus. 1. Recopier  et compl�ter le tableau ci-dessus (colonnes 4 et 5 ). 2. Justifier que, le mardi, le temps d’attente moyen est �gal � 2 minutes. 1 / l = 1 /0,5 = 2 minutes.  3. Justifier que, le mercredi, la probabilit� que le temps d’attente soit inf�rieur � 6 minutes est �gale � 0,75. 6 /(8-0) = 6 /8 = 0,75. 4. Le samedi, quelle est la probabilit� que le temps d’attente soit compris entre 4 et 8 minutes ? (Le r�sultat sera arrondi � 10−3 ). P( temps d'attente < 4 )= 0,02275. P( temps d'attente < 8 )= 0,9772. P( 4 < temps d'attente < 8 )= 0,9772=0,02275=0,954.  PARTIE C - Suites num�riques La boutique vend �galement des appareils auditifs. On constate que le nombre d’appareils vendus annuellement augmente de 12 % chaque ann�e. On mod�lise cette �volution par une suite (un). Ainsi, selon cette mod�lisation, un repr�sente le nombre d’appareils vendus durant l’ann�e 2010+n. Par exemple, u7 repr�sente le nombre d’appareils vendus durant l’ann�e 2017.  On suppose que l’on a u0 = 50. Tous les termes de la suite (un) seront arrondis � l’unit�. 1. Calculer u1. u1 = 1,12 u0 =1,12 x 50 =56. 2. V�rifier que, durant l’ann�e 2012, le nombre d’appareils auditifs vendus est �gal � 63. u2 = 1,12 u1 =1,12 x 56=62,72 ( 63). 3. Justifier que la suite (un) est une suite g�om�trique dont on pr�cisera la raison. On passe d'un terme au suivant en le multipliant par 1,12. Suite g�om�trique de raison q = 1,12, de premier terme u0 = 50. un = 50 x1,12n.  4. R�soudre, par la m�thode de votre choix l’in�quation uN > 200. Interpr�ter le r�sultat dans le contexte de l’�nonc�. 50 x1,12n > 200 ; 1,12n > 4. n ln(1,12) > ln(4) ; n > ln(4) / ln(1,12) ; n >12,23  (13). En 2010 +13 =2023, on vend plus de 200 appareils auditifs. PARTIE D - Intervalle de confiance  On souhaite estimer la proportion p de personnes int�ress�es par la commercialisation de lunettes connect�es. On r�alise un sondage aupr�s d’un �chantillon de 200 clients. La client�le est suffisamment importante pour assimiler cet �chantillon � un tirage avec remise. Soit F la variable al�atoire qui � tout �chantillon ainsi pr�lev�, associe la fr�quence, dans cet �chantillon, des clients int�ress�s par la commercialisation de lunettes connect�es. On admet que F suit la loi normale de moyenne p inconnue dont l’�cart-type est �gal � [p(1-p) /200]�. Lors du sondage, 45 clients sur 200 ont dit �tre int�ress�s par la vente de lunettes connect�es. 1. Donner une estimation ponctuelle f de la proportion inconnue p. f =45 / 200 =0,225.  2. D�terminer un intervalle de confiance centr� sur f de la proportion p avec le niveau de confiance de 95 %. Arrondir les bornes de l’intervalle � 10−3 .  f � 2 s = f �2 [f(1-f) /200]�= 0,225 �0,059. Intervalle de confiance : [0,225 -0,059 ; 0,225 +0,059] soit [0,166 ; 0,284]. 3. La proportion p appartient-elle de fa�on certaine � cet intervalle ? Justifier. Non, seulement  95 % des intervalles obtenus contiennent la proportion p. ... .... Exercice 2 10 points Le glaucome est une maladie d�g�n�rative du nerf optique qui entra�ne une perte progressive de la vision. Cette maladie entra�ne la d�g�n�rescence des fibres nerveuses charg�es de transmettre au cerveau les informations issues de la r�tine. PARTIE A - Statistique � deux variables. La technique d’imagerie Tomographie en Coh�rence Optique (OCT) permet de scanner la r�tine et le nerf optique : en mesurant l’�paisseur des fibres du nerf optique on peut en d�duire le nombre de fibres nerveuses optiques d’une personne. On a mesur� l’�volution du nombre N de fibres nerveuses optiques, en millier, en fonction du temps t, exprim� en mois, d’une personne atteinte d’un glaucome aigu. L’instant t = 0 repr�sente le moment d’apparition du glaucome aigu. On obtient les r�sultats suivants : 1. � l’aide du graphique expliquer pourquoi un ajustement affine de N en t ne semble pas appropri�. Les points du graphique ne sont pas align�s.  2. On d�cide de proc�der � un changement de variable, en posant : z = ln(N −375). On obtient alors le tableau de valeurs suivant (les r�sultats ont �t� arrondis � 10−2 ). temps t (mois) 0 1 2 3 4 6 8 12 18 24 z 6,43 6,31 6,19 6,06 5,95 5,70 5,46 5,00 4,29 3,53 a. Donner, � l’aide de la calculatrice, une �quation de la droite de r�gression de z en t selon la m�thode des moindres carr�s, sous la forme : z = at +b, o� a et b seront arrondis au milli�me. z = -0,146 t +6,932.  b. En d�duire une expression de N en fonction de t de la forme : N = A e −0,12t +375, o� A sera arrondi � l’unit�. ln(N-375) = -0,120 t +6,428. N-375 = e-0,120t x e6,428 =619 e-0,120t . N =619 e-0,120t +375. PARTIE B - R�solution d’une �quation diff�rentielle.  On consid�re une personne atteinte d’un glaucome aigu. y(t) d�signe le nombre de milliers de fibres nerveuses optiques que poss�de cette personne t mois apr�s l’apparition du glaucome. La fonction  y(t) mod�lise donc l’�volution du nombre de milliers de fibres nerveuses optiques au cours du temps. On admet que y est d�finie et d�rivable sur [ 0 ; +∞[ et on note y ′ sa d�riv�e. On admet que la fonction y est solution de l’�quation diff�rentielle (E). (E) : 2y ′ +0,24y = 90 1. D�terminer les solutions de l’�quation diff�rentielle : (E0) : 2y ′ +0,24y = 0 y' +0,12 y = 0 ; y(t) = Ae-0,12 t avec A une constante. 2. a. Soit g la fonction d�finie sur [ 0 ; +∞[ par g(t) = 375. V�rifier que la fonction g est une solution de (E). g' = 0 ; repport dans (E) : 0,24 x375 =90 est bien v�rifi�e.  b. En d�duire les solutions de l’�quation diff�rentielle (E). f(t) = Ae-0,12 t +375. 3. On sait que, � l’instant t = 0, le nombre de fibres nerveuses de la personne est de 994 milliers de fibres. D�terminer alors la solution y v�rifiant cette condition initiale. 994 = A +375 ; A = 619. f(t) = 6194e-0,12 t +375. PARTIE C- �tude de fonction On consid�re la fonction f d�finie sur [ 0 ; +∞[ par : f (t) = 375+619 e −0,12t . On suppose que l’�volution du nombre de fibres nerveuses optiques de la personne atteinte d’un glaucome peut �tre mod�lis�e par la fonction f o� f (t) repr�sente le nombre de milliers de fibres nerveuses optiques t mois apr�s l’apparition du glaucome. On admet que f est une fonction d�rivable sur [ 0 ; +∞[ et on note f ′ sa fonction d�riv�e. On d�signe par C la courbe repr�sentative de la fonction f dans un rep�re orthogonal. 1. D�montrer que, pour tout r�el t de l’intervalle [ 0 ; +∞[ , on a : f ′ (t) = −74,28 e −0,12t. f '(t) = 619 x(-0,12) e-0,12t =−74,28 e −0,12t. 2. En d�duire le sens de variation de la fonction f sur [ 0 ; +∞[ . e −0,12t est positif ; f '(t) est strictement n�gative et f(t) est strictement d�croissante.  3. D�terminer la limite de la fonction f en +∞. Interpr�ter graphiquement. e −0,12t tend vers z�ro et f(t) tend vers z�ro. La droite d'�quation y=0 est asymptote � la courbe repr�sentant f(t). 4. QCM On admet qu’un d�veloppement limit� � l’ordre 2 de la fonction f au voisinage de 0 est donn� par : f (t) = 994−74,28t +4,4568t 2 + t 2 ε(t) avec lim t→0 ε(t) = 0. Une �quation de la tangente T � la courbe C au point d’abscisse 0 est : y = −74,28t +4,4568t 2.  y = 994−74,28t.  y = 74,28t −994. Coefficient directeur de cette tangente en t = 0 : f '(0) = -74,28. Le point de coordonn�es 0 ; f(0) = 994 appartient � cette tangente. Equation de la tangente : y = -74,28 t +b. 994 = 0 +b ; b = 994. y = -74,28 t +994.

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