Suites arithm�tico-g�om�triques, raisonnement par r�currence, Oral concours Advance 2022. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts. . . .. .. ...... ... Suites arithm�tico-g�om�trique.   On consid�re les suites u et v telles que u0 =1 et pour tout entier n : un+1 =0,5 un +3 et vn = un-6. 1. La suite (un) est-elle arithm�tique ? G�om�trique ? Justifier. u1=0,5 u0+3=0,5 +3=3,5. u2=0,5 u1+3=1,75 +3=4,75. u1-u0=2,5. u2-u1=1,25. u1-u0 diff�re de u2-u1. un+1 diff�re de un + r avec r r�el : ce n'est pas une suite arithm�tique. u1 / u0=3,5. u2 / u1=4,75 /3,5 diff�re de 3,5. un+1 diff�re de q un avec q r�el : ce n'est pas une suite g�om�trique. 2. Montrer que la suite (vn) est g�om�trique. vn+1 = un+1-6 = 0,5 un +3-6 =0,5 un-3 =0,5(un-6) =0,5 vn. (vn) est une suite g�om�trique de raison 0,5 et de premier terme -5. 3. En d�duire l'expression de vn puis de un en fonction de n. vn= 0,5n v0 = -5 x0,5n. un = vn +6 = 6 -5 x0,5n. D�terminer la raison et calculer des termes. 1. La suite (un) est arithm�tique. u0 = -2 et r =5. D�terminer u15. u15 = u0+15 r=-2+15 x 5=73. 2. La suite (vn) est arithm�tique. v6 =4 et r = -3. D�terminer v15. v6=v0+6 r ; v0 =4 +6 x 3= 22. v15=v0+15 r = 22 +15 x (-3)= -23. 3. La suite (wn) est arithm�tique. w4 =2 et w10 = 14. D�terminer la raison r et w0. w4=w0+4r =2.  w10=w0+10r =14. 10r-4r=12 ; r = 2. w0= -4r +2 = -6. 4. La suite (tn) est arithm�tique. t2 +t3 +t4 =12. D�terminer t3. t2 = t0 +2r ; t3 = t0 +3r ; t4 = t0 +4r ; 3 t0 +9r =12. t3= t0 +3r =4. Un lac contient 70 centaines de grenouilles hermaphrodites, elles peuvent changer de sexe au cours de leur vie. La apopulation est stable au cours du temps. Au d�but de l'ann�e 2020, le lac contient 7 centaines de m�les, et 63 centaines de femelles. Chaque ann�e, 20 % des m�les deviennent femelles et de m�me 20 % des femelles deviennent m�les. Soit un le nombre de centaines de m�les au d�but de l'ann�e 2020 +n. Ainsi u0 = 7. 1. Montrer que u1 = 18,2. u1 = u0 -0,2  x7 +0,2 x 63=18,2. 2. Montrer que un+1=0,6 un +14 pour tout entier naturel n. un+1 = un -0,2 un +0,2 (70-un)=14+0,6 un. 3. Que dire de (un) ? Suite arithm�tico-g�om�trique de param�tre a = 0,6 et b = 14. 4. Exprimer un en fonction de n. Etape 1 :  recherche de c tel que c = ac+b ; c =0,6 c +14 : c = 14 / 0,4 = 35. Etape 2 : soit la suite (vn) d�finie par vn= un-35. vn+1= un+1-35 = 0,6 un +14-35 =0,6 un -21 =0,6(un-35) = 0,6 vn. (vn) est g�om�trique de raison q = 0,6 et de premier terme v0 = 7-35= -28. Etape 3 : vn = -28 x0,6n = un-35. un = 35-28 x0,6n. 5. D�terminer la limite de (un) et conclure. -1 < 0,6 < 1 ; donc 0,6n tend vers z�ro si n tend vers plus l'infini. La limite de (un) est �gale � 35. Au bout d'un temps assez long, il y a 35 centaines de males et 35 centaines de femelles. Raisonnement par r�currence. Montrer par r�currence que pour tout entier naturel n non nul : 1 / (1 x3) + 1 /(3 x5) +....+1/ [(2n-1)(2n+1)] = n / (2n+1). Initialisation :1 / (1 x 3) = 1 / (2 x1+1) est vraie. H�r�dit� : la propri�t� est suppos�e vraie au rang n. 1 / (1 x3) + 1 /(3 x5) +....+1/ [(2n-1)(2n+1)] = n / (2n+1). A =1 / (1 x3) + 1 /(3 x5) +....+1/ [(2n-1)(2n+1)] + 1 / [(2n+1)(2n+3)]. A = n / (2n+1)+ 1 / [(2n+1)(2n+3)] = [n(2n+3)+1] / [(2n+1)(2n+3)]. A = (2n2+3n+1) / [(2n+1)(2n+3)] = 2(n+1)(n+0,5) / [(2n+1)(2n+3)] A = (n+1) / (2n+3), la prorpi�t� est vraie au rang n+1. Conclusion : la prorpi�t� est vraie au rang 1 et h�r�ditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel non nul. Montrer par r�currence que pour tout entier naturel n non nul : 13 +33 +...+(2n-1)3 = 2n4-n2. Initialisation :13 = 2x14-12. est vraie. H�r�dit� : la propri�t� est suppos�e vraie au rang n. 13 +33 +...+(2n-1)3 = 2n4-n2. B =13 +33 +...+(2n-1)3 +(2n+1)3 = 2n4-n2+(2n+1)3 . B = 2n4-n2 +8n3+12n2+6n+1=2n4+8n3+11n2+6n+1. Or (n+1)4=(n2+2n+1)2 =n4+4n3+6n2+4n+1. 2(n+1)4=2n4+8n3+12n2+8n+2. -(n+1)2 =-n2-2n-1. 2(n+1)4-(n+1)2 =2n4+8n3+11n2+6n+1. La propri�t� est vraie au rang n+1. Conclusion : la prorpi�t� est vraie au rang 1 et h�r�ditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel non nul. Montrer par r�currence que pour tout entier naturel n, 8n-1 est divisible par 7. Initialisation : 81-1 = 7 est divisible par 7. La propri�t� est vraie au rang 1. H�r�dit� : la propri�t� est suppos�e vraie au rang n. 8n-1 = 7 k avec k entier naturel non nul. 8n+1-1 =8 x 8n-1 = 8 x(7k+1)-1 =8 x 7 k+8-1 = 8 x 7 k +7 = (8k+1) x7 est divible par 7. Conclusion : la prorpi�t� est vraie au rang 1 et h�r�ditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel non nul. .... Mod�liser un probl�me � l'aide d'une suite. Un entrepreneur investit un capital de d�part de 20 000 € pour son entreprise. Puis il injecte chaque mois une somme suppl�mentaire � ce capital. Cette somme diminue de 30 % chaque mois. 1. Calculer le capital investi � la fin de la premi�re ann�e. u0 = 20 000 ; u1 = 0,7 u0 = 14 000 ; u2 = 0,7 u1 = 9800. un : capital inject� le n i�me mois. un+1 = 0,7 un. (un) est une suite g�om�trique de raison q = 0,7  et de premier terme u0 = 20 000. Capital investi au bout de 1 an : S = u0 +u1 +... +u11. S1 = 20000( 1+0,7 +0,72 ...+0,711)= 20 000 (1-0,712) /(1-0,7)  ~65744 . 2. Que peut-on penser de l'�volution de la somme total du capital investi dans un futur �loign�. -1 < 0,7 <1 ; 0,7n tend vers z�ro si n tend vers plus l'infini. Le capital investi tend vers 20 000 / 0,3 ~66 667. Soit (un) une suite v�rifiant pour tout n entier naturel, un+1=3 un et u15 = 10. Suite g�om�trique de raison q = 3 et de premier terme u0. a. D�terminer u30. u15 = u0 315 =10 ; u0 =10 x 3-15. u30 = u0 330 =10 x 315. b. D�terminer u15 + u16 +...+u30. u0+u1 +... +u14 =u0 (1-315) / (1-3)=0,5 u0(315-1). u0+u1 +... +u30 =u0 (1-331) / (1-3)=0,5 u0(331-1). u15 + u16 +...+u30 =0,5 u0(331-315) = 5 x3-15(331-315)=5  (316-1). Soit S =0,5 +2 +7 / 2 +....+19 / 2 +11. D�terminer S apr�s avoir v�rifi� que S est la somme de termes cons�cutifs d'une suite arithm�tique. u0 = 0,5 ;  u1 = 2 =u0+1,5 ; u2 = 3,5 =u1+1,5. un=11 = u0 +1,5 n ; n =7. Suite arithm�tique de premier terme u0 = 0,5 et de raison r = 1,5. Somme des 8 premiers termes de cette suite : S = 8(0,5 +11) / 2 =46. Soient (un) et (vn) d�finies pour tout n entier naturel par : un = 1 +1 /2 +1/3 +...+1 / n et vn = un+1 /n. Etudier la monotonie de ces suites. un+1 -un =1 /(n+1), positif. (un) est strictement croissante. vn+1 -vn =un+1+1 / (n+1) - un+1 / n = un+1 -un +1 / (n+1)-1 / n = 2 /(n+1) -1 / n = (n-1) / [n(n+1)] positif ou nul. (vn) est croissante. Soit (un) une suite v�rifiant pour tout n entier naturel, un+1 = 3un+4 et u0 = 2. Soit (vn) = (un+2). a. Montrer que (vn) est g�om�trique. vn+1 = un+1+2 =3un+4 +2 = 3un+6 = 3(un+2) = 3 vn. (vn) est g�om�trique de raison q = 3 et de premier terme v0 = 4. vn = 4 x 3n. b. En d�duire (vn) puis (un) en fonction de n. vn = 4 x 3n =un+2 ; un = 4 x 3n -2. Soit (un) une suite v�rifiant pour tout n entier naturel, un+1 = un+6 et u5 = 3. a. D�terminer u20. Suite arithm�tique de raison r = 6 et de premier terme u0 : u5 = u0 + 5 x6 = 3 ; u0 = -27. u20 = u0 + 20 r =  -27 +20 x6 = 93. b. D�terminer u5 +u6 +... +u20. u4=u0 + 4 r =-27+24 = -3. u0 + u1 +... +u4 = 5(u0+u4) / 2 = -75. u0 + u1 +... +u20 = 21(u0+u20) / 2 =693. u5 +u6 +... +u20 = 693 -(-75) =768. Soit (un) une suite v�rifiant pour tout n entier naturel un+1 = (un+1)� et u0 = 2. a. Montrer par r�currence que (un) est d�croissante et minor�e par 1. Initialisation : u1 = (u0+1)� =3�. 1 <u1 < u0, la propri�t� est vraie au rang 1. H�r�dit� : La propri�t� est suppos�e vraie au rang n. 1 <un+1 < un, 2 < un+1 +1 < un +1. Or la fonction racine carr�e est croissante : 2� < (un+1 +1)� < (un +1)�. 1 < 2� < un+2  < un+1 . La propri�t� est vraie au rang n+1. Conclusion : la prorpi�t� est vraie au rang 1 et h�r�ditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel. b. Etudier la convergence de (un). La suite est d�croissante et minor�e par 1, donc elle converge. On note l la limite de la suite. En plus l'infini, la limite de un+1 est �gale � l. Par suite  : l = (l+1)� ; l2-l-1 = 0. Discriminant D = 1+4=5. l1 = (1+5�) / 2 ; l2 = (1-5�) / 2, n�gatif, ne convient pas.

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