Dérivées, convexité, point d'inflexion, Oral concours Advance 2022.

Dérivées.
1. Déterminer les dérivées des fonctions suivantes définies par :
a. f(x) =ln(x²-2x+3) pour tout x réel.
On pose u = x²-2x+3 ; u' = 2x-2.
f '(x) = u' / u = (2x-2) / (x²-2x+3)

b.g(x) = e^-2x / x pour tout x de R*₊.
On pose u = e^-2x et v = x ; u' = -2e^-2x ; v' = 1.
(u'v-v'u) / v² = (-2x e^-2x-e^-2x)/ x²= -e^-2x (2x+1) / x².

2. Déterminer les dérivées des fonctions suivantes définies sur R par :
a. f(x) = (2x²+1)^½.
On pose u = 2x²+1 ; u' = 4x.
f(u) = u^½ ; f '(u) = 0,5 u^-½ u' ; f '(x) = 2x / (2x²+1)^½.
b. g(x) = 2x ln(x²+1).
On pose u = 2x ; v = ln(x²+1) ; u' = 2 ; v' = 2x /(x²+1).
u'v+v'u = 2 ln(x²+1)+4x² /(x²+1).

3. Déterminer les dérivées des fonctions suivantes définies par :
a). f(x) = (x²+1) / (x²-3x-2) pour tout x de R - {1 ; 2}.
On pose u =x²+1 et v =x²-3x-2. u' = 2x ; v' = 2x-3.
(u'v-v'u) / v² =[2x(x²-3x-2)-(2x-3)(x²+1)] / (x²-3x+2)².
f '(x) = (2x³-6x²-4x-2x³-2x+3x²+3) / (x²-3x+2)².
f '(x) = (-3x²-6x+3) / (x²-3x+2)².

b. g(x) = (2x³-x+1)²⁰²⁰.
On pose u = 2x³-x+1 ; u' = 6x²-1.
g(u) = u2020 ; g'(u) = 2020 u' u²⁰¹⁹ ; g '(x) = 2020(6x²-1) (2x³-x+1)²⁰¹⁹.

4. Déterminer les dérivées des fonctions suivantes définies sur R par :
a. f(x) = x e^1/x +3(x²+1)^½.
x e^1/x : on pose u = x et v =e^1/x ; u' = 1 v' = -e^1/x / x².
u'v + v'u = e^1/x -e^1/x / x = e^1/x (1-1 /x).
3(x²+1)^½ : on pose u = x²+1 ; u' = 2x ; ½ u' u^-½ = x (x²+1)^-½ .
f '(x) = e^1/x (1-1 /x) +3x (x²+1)^-½ .
b. g(x) = (sin(x) +cos(x)²⁰.
On pose u = (sin(x) +cos(x) ; u' = cos (x) - sin(x).
g ' =20 u' u¹⁹.
g'(x) = 20 (cos (x) - sin(x))(sin(x) +cos(x)¹⁹.

5. Déterminer les dérivées des fonctions suivantes définies par :
a. f(x) = e^2x ln(2x+1) pour x > 0,5.
On pose u = e^2x et v = ln(2x+1) ; u' = 2 e^2x ; v' = 2 / (2x+1).
u'v+v'u = 2e^2x ln(2x+1)+2e^2x /(2x+1).
b. g(x) = (ln(x²+1)]¹⁸ pour x réel.
On pose u = x²+1 ; u' = 2x.
w = ln(x²+1) ; w' = 2x / (x²+1).
Dérivée de w¹⁸ = 18 w¹⁷ w' = 18[ln(x²+1)]¹⁷2x / (x²+1).

Convexité.
6. Soit la fonction définie sur R par f(x) = (x²+1) e^x et C sa courbe représentative.
a. Etudier les variations de f sur R.
b. Etudier la convexité de f sur R et préciser les éventuels points d'inflexion pour la courbe C.
Dérivée : on pose u = x²+1 et v = e^x ; u' = 2x ; v' = e^x.
f '(x) = u' v + v' u = 2xe^x +(x²+1)e^x =(x²+2x+1)e^x=(x+1)²e^x >0. f(x) est croissante sur R.
Dérivée seconde :
On pose u = x²+2x+1 et v = e^x ; u' = 2x+2 ; v' = e^x.
f "(x) = u' v + v' u = 2(x+1)e^x +(x²+2x+1)e^x =(x²+4x+3)e^x.
f " a le signe de x²+4x+3 :
x²+4x+3=0 ; discriminant D =4²-4 *3 = 4 = 2².
x₁ = (-4 +2) / 2 = -1 ; x₂ =(-4-2) / 2 = -3.

Au points d'abscisse x = -3 et x = -1, la dérivée seconde s'annule et change de signe. Ce sont deux points d'inflexion.

7. Soit la fonction définie sur R par f(x) = x²-4+ e^-x et C sa courbe représentative.
a. Etudier la convexité de f sur R.
Dérivée f ' =2x-e^-x.
Dérivée seconde f "(x) = 2+e^-x.
f "(x) est strictement positive sur R : f(x) est convexe sur R.
b. Soit a un réel. Déterminer une équation de la tangente à C au point d'abscisse a.
Coefficient directeur de la tangente : f '(a) = 2a-e^-a.
Le point de coordonnées (a ; f(a) = a²-4+e^-a ) appartient à la tangente.
Equation de la tangente : y = f '(a) x + b.
a²-4+e^-a=2a²-ae^-a + b ; b = -a²-4+e^-a+ae^-a .
y = ( 2a-e^-a)x -a²-4+e^-a+ae^-a .
c. Déduire l'équation de la tangente à C au point d'abscisse 0.
a = 0 ; y = -x -3.
d. Montrer que pour tout réel x : e^-x+x²-4 > -x-3.
f est convexe sur R ; C se trouve toujours au dessus de ses tangentes.
En particulier en x = 0 : e^-x+x²-4 > -x-3.