Machine �
force de surface (SFA), mesure de force, concours agr�gation interne
2022.
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Mesures de forces.
La
machine � force de surface (SFA) estrepr�sent� sch�matiquement sur la
figure ci-dessous. Elle permet de mesurer la force qui s’exerce entre
deux surfaces (en l’occurrence une sph�re de rayon millim�trique et un
plan) entre lesquelles est
introduit un fluide tout en contr�lant la distance entre celles-ci, �
une fraction de nanom�tre pr�s. En mode dynamique,
la sph�re est excit�e, dans la direction normale au plan, par une
vibration sinuso�dale de petite amplitude (typiquement 1 nm) appliqu�e
au moyen d’une c�ramique piezo�lectrique. Le plan est mont� sur un
bilame �lastique dont la d�formation est mesur�e gr�ce � un capteur
optique qui ne sera pas �tudi� dans ce probl�me. La force exerc�e par
le bilame sur le plan est simplement reli�e � la d�formation du bilame
multipli�e par sa raideur. Le bilame constitue ainsi un capteur de
force. Le
d�placement relatif entre la sph�re et le plan est, quant � lui, mesur�
par un capteur capacitif.
1. Mesure de forces.
On peut mod�liser le bilame �lastique qui sert de capteur de force par
un ressort de raideur 𝑘 et de longueur � vide l0
. On note M la masse du plan d�pos� sur le ressort susceptible de se
d�placer suivant un axe vertical O𝑧 orient� par le vecteur unitaire,
not� ez , dirig� vers le haut. Le point O (z=0) est choisi �
la position d’�quilibre du plan quand la sph�re n’exerce aucune force
sur le plan.
Le d�placement du plan est mesur� gr�ce � un dispositif optique qui
n’est pas �tudi� dans ce probl�me.
Dans cette partie, le capteur de force est �tudi� en l'absence de force
exerc�e par la sph�re sur le plan.
1. M�canique au
coll�ge.
a. Indiquer deux
fausses conceptions initiales que l’on retrouve chez de nombreux �l�ves
en cycle 3 et d�but du cycle 4 concernant la notion de vitesse et la
notion de relativit� des mouvements.
Force et vitesse sont toujours colin�aires. S'il n'y a pas de force,
alors la vitesse de l'objet est nulle.
Les objets ont un mouvement et une vitesse ind�pendamment du
r�f�rentiel.
Confusion entre temps et dur�e, entre position, vitesse et acc�l�ration.
b. Proposer, en une
vingtaine de lignes maximum, une s�quence p�dagogique pour faire
�merger une de ces deux conceptions initiales et y apporter une
r�ponse. On y int�grera une exp�rience de cours � pr�ciser.
Etude du mouvement de plusieurs points sur une roue dans diff�rents
r�f�rentiels.
Les �l�ves se r�partissent par groupes de 3.
Cas n�1 : etude du mouvement du centre de la roue dans le r�f�rentiel
terrestre. (mouvement rectiligne uniforme)
Cas n�2 : �tude du mouvement de la valve dans le r�f�rentiel terrestre.
( mouvement curviligne non uniforme )
Cas n�3. �tude du mouvement du centre ( immobilit� ) et de la valve (
mouvement circulaire uniforme) dans le r�f�rentiel du centre de la roue.
Trac� de la trajectoire : pointage + logiciel ou papier calque.
2. Rappeler ce
qu’est un r�f�rentiel. D�finir � r�f�rentiel galil�en �.
Un r�f�rentiel est un objet de r�f�rence par rapport auquel on �tudie
un solide en mouvement.
Le r�f�rentiel est galil�en si le barycentre d'un syst�me ferm� et
isol� se d�place avec un vecteur vitesse constant ( mouvement
rectiligne uniforme ).
3. En l’absence de
force exerc�e par la sph�re sur le plan, identifier les forces qui
s’appliquent sur le syst�me m�canique constitu� par le plan. Pour un
plan de masse typique M = 30,0 g et un ressort de raideur typique k =
1,00 � 103 N.m-1, calculer la valeur de
l’enfoncement du ressort � l'�quilibre.
Poids, verticale, vers le bas, valeur P =Mg.
Tension du ressort, verticale, vers le haut, valeur T = k |l-l0|.
A l'�quilibre, ces deux forces se compensent :
Mg = k |l�q-l0| ; |l�q-l0 |= Mg / k =
0,0300 x9,81 / (1,00 103) =2,94
10-4 m.
4. Appliquer le
principe fondamental de la dynamique au syst�me constitu� par le plan
de masse M, en d�duire l’�quation diff�rentielle du mouvement reliant
la position z du plan, � ses diff�rentes d�riv�es temporelles z' et z".
Montrer que cette �quation diff�rentielle peut s’�crire sous la forme :
z"+ w02
z = 0
Exprimer la pulsation propre w0 en
fonction de k et M. � partir des dimensions de k et de M, justifier
l’homog�n�it� de cette relation.
Ecrire la seconde loi de Newton suivant l'axe Oz : -Mg +k( l0 -l) = Ma
= M z".
-Mg +k( l0 -l�q +l�q- l)
= M z".
Or -Mg + k( l0 -l�q )= 0
; d'o� : k( l -l�q )= M z" soit -kz = M
z" ou z" +k / M z = 0.
w02 z=
k / M.
M s'exprime en kg et k en N m-1 soit kg m s-2 m-1 soit kg s-2 ; k
/ M s'exprime en s-2.
5. Exprimer la
solution g�n�rale de cette �quation. Indiquer combien il faut de
conditions initiales pour la d�terminer enti�rement. On suppose qu’on
�carte le plan d’une quantit� z0 et qu’on le l�che avec une
vitesse initiale nulle, �tablir alors l’�quation horaire du mouvement.
z = A cos ( w0t + B).
A et B sont des constantes d�termin�es par 2 conditions initiales.
A t = 0; z0 =Acos (B) ; v (t)= z'(t) = -A w0 sin ( w0t + B).
v(t=0) = -A w0 sin B = 0 soit B = 2 k p.
Par suite z = z0 cos ( w0t ).
6. Pour d�terminer
la valeur de la raideur k, une technique consiste � rajouter des
masselottes de masse m � la masse M. On observe que la pulsation propre
du syst�me M+m est d�sormais w1.
Exprimer w1 en
fonction de k, M et m.
Sur la figure suivante, on repr�sente les valeurs de 1/w12 en
fonction de m. Estimer un ordre de grandeur de la valeur de la raideur
k et de la valeur de la masse M correspondant � ces mesures.
w12 =k
/(M+m) soit 1/w12 =
(M+m) / k.
Le graphe est donc une droite de pente 1 / k et d'ordonn�e � l'origine
M / k.
k = 1 /(3,5 10-4) =2,9 103 N/m.
M = 19 10-6 x2,9 103 =5,4 10-2 kg = 54
g.
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....
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7.
On mod�lise la dissipation dans cet oscillateur par une force de
frottement fluide proportionnelle � la vitesse du plan et de sens
contraire � la vitesse. ( |f |= a
M v. Donner la nouvelle �quation diff�rentielle du mouvement.
-Mg
+k( l0 -l) - a M z' = M z".
z"+ a z'+ w02 z
= 0.
Dans toute la suite du probl�me, on supposera
que cet amortissement est faible, de sorte que a << w0.
On d�finit le facteur de qualit� Q par : Q =w0 / a >>
1.
Dans un premier temps, on s’int�resse aux oscillations libres de ce
syst�me m�canique oscillant amorti, on montre que la solution approch�e
de l’�quation diff�rentielle obtenue � la question 7 peut se mettre
sous la forme : 𝑧(𝑡) = 𝑧0 e−a𝑡/2 cos(w0 t + F).
8. La dissipation
d’�nergie est trait�e comme une perturbation par rapport au cas d’un
syst�me non amorti. Compte tenu du choix de l’origine de l’axe Oz,
�tablir l’expression de la valeur moyenne temporelle de l’�nergie
m�canique <E> du syst�me non amorti en fonction de k et 𝑧0.
Energie m�canique = �nergie potentielle �lastique + �nergie cin�tique.
E = �k z2 +�Mv2.
E = � k z20
cos2 ( w0t )+�M w02sin2 ( w0t )
avec M w02= k.
E = � k z20
cos2 ( w0t )+�k
z20sin2 ( w0t )=�k z20
= <E>
( �nergie m�canique constante ).
9.
Montrer qu’au premier ordre en 1 / Q, l’�nergie dissip�e par frottement
pendant une p�riode s’�crit
DE=2 p / Q<
E>.
En d�duire une interpr�tation �nerg�tique du facteur de qualit� Q
dans cette limite de faible amortissement.
Energie m�canique dissip�e par frottement sur une p�riode DT = 2 p / w0 :
Efrot = - a
M z' z = - a M z2 ' DT .
<Efrot
> = -2 p/ w0 a M <z2
'> = -2 p/ w0 a k / w02<z2
'>.
z(t) = 𝑧0
e−a𝑡/2
cos(w0 t + F).
z '(t) = w0 z0e−a𝑡/2[-a/(2w0)cos(w0 t + F) - sin(w0 t + F)] ~ -w0 z0e−a𝑡/2 sin(w0 t + F).
<z2
'>= (w0 z0)2<e−a𝑡 sin2(w0 t + F)>
=�(w0 z0)2 e−a𝑡.
<Efrot
> =-2 p/ w0 a k / w02 �(w0 z0)2 e−a𝑡= -2 p/ w0 a k � z02 e−a𝑡= -2 p/ Q k � z02 e−a𝑡= -2 p/
Q<E>
Facteur de qualit� Q = 2p / DE <E>.
Le facteur de qualit� est sans dimension ; il caract�rise
l'amortissement de l'oscillateur.Plus Q est grand, plus l'amortissement
est faible.
On
s’int�resse maintenant au r�gime sinuso�dal forc� o� le plan est soumis
� une force excitatrice suppl�mentaire que l’on note en repr�sentation
complexe  avec 𝐹0 > 0.
Le r�gime transitoire n’est pas pris en compte dans cette description.
En pratique cette force est appliqu�e gr�ce � un petit aimant de masse
n�gligeable, coll� sous le plan, plac� en face d’une bobine que l’on
fait parcourir par un courant sinuso�dal. Ce syst�me bobine-aimant
permet de d�terminer la fonction de transfert du SFA.
10. Expliquer
comment le syst�me bobine-aimant d�crit ci-dessus permet
d’appliquer une force sinuso�dale sur le plan.
Une bobine parcourue par un courant sinuso�dal se comporte comme un
�lectroaimant. Un champ magn�tique sinuso�dal est cr��. Ce champ exerce
une force sinuso�dal sur l'aimant.
11. Expliciter la
propri�t� de l’�quation du mouvement qui justifie
l’utilisation de la notation complexe.
L'�quation du mouvement est lin�aire.
12. Exprimer
l’amplitude complexe z(w) des oscillations en
fonction
de F0, M, w,
w0
et a.
z(t) = z(w) exp(iwt) ; z '(t) = iw z(w) exp(iwt) ; z "(t) = -w2 z(w) exp(iwt).
La seconde loi de Newton s'�crit : -Mg -k(z +Dl) -M a z' +F(t) = M z"
-k z -M a
z' +F(t) = M z"
En notation complexe : -k z -M a z' +F(t) = M z"
z(w) [-k -iMaw+Mw2]=-F0.
z(w)=F0 / M [1 /(k
/M +iaw-w2)]= F0
/ M [1 /(w02
+iaw-w2)].
13. On
d�finit la fonction de transfert complexe H(w) =k z(w) / F0. Pr�ciser
l’expression du module |H(w)| et
de la phase F(w) (on fera attention �
s�parer le
cas w < w0
et w
> w0)
de H(w).
Calculer |H(0)|, |H(w0)|
et |H(+∞)|
Tracer l’allure de ces fonctions.
H(w) =w02 / (w02 +iaw-w2) .
|H(w)| =w02 / [(w02-w2)2 +a2w2 ]�.
F(w) = -arctan [aw / (w02-w2)]
pour w < w0.
F(w) = -arctan [aw / (w02-w2)] -p pour w > w0.
F(w0) = - p /2.
|H(0)| = 1 ; |H(w0)| =
Q ; |H(+∞)|
=0.
Trac�s pour Q = 10.
14. Sur la figure suivante, les exp�rimentateurs ont choisi de
travailler en
fr�quence plut�t qu’en pulsation et ont trac� le module |H(f)| de H(f) en fonction de la
fr�quence f. Estimer l’ordre de grandeur du facteur de qualit� � partir
de la courbe exp�rimentale de
la figure en s’appuyant
sur la question 13.
|H(w0)| =
Q = 100.
15.
Donner une valeur typique du facteur de qualit� d’un diapason,
oscillateur m�canique tr�s souvent utilis� en classe. Expliquer comment
on peut l’estimer avec un
chronom�tre. Comparer au facteur de qualit� du SFA.
Le facteur de qualit� d'un diapason est de l'ordre de 1000, valeur bien
plus �lev�e que le facteur de qualit� du SFA.
Frapper fortement un diapason et not� le temps au bout duquel
l'intensit� sonore est divis�e par 2. Apr�s l'excitation, on entend le
son durant environ 3 s ; fr�quence du diapason f = 440 Hz ; Q = 3 x440
= 1200.
16. Expliquer en
quoi la connaissance de la fonction de transfert
complexe est importante par rapport � la simple connaissance de la
raideur k ?
Pour mesurer des forces d�pendantes du temps avec le SFA, il faut
conna�tre de mani�re pr�cise la r�ponse en fr�quence du capteur de
forces.
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