Machine � force de surface (SFA), mesure de d�placement, concours agr�gation interne 2022.

Mesures de d�placement.
Pour mesurer le d�placement relatif de la sph�re et du plan, on fixe rigidement la sph�re et le plan � deux disques de duralumin de surface S qu’on approche � une distance e l’un de l’autre en prenant garde au parall�lisme. On suppose que le condensateur, ainsi cr��, ne perturbe pas le fonctionnement du SFA.
2.1 Condensateur plan.
Un tel condensateur est repr�sent� ci-dessous. On rep�re l’axe perpendiculaire aux faces du
condensateur par un axe Oz, de vecteur unitaire e_z . Les dimensions du condensateur permettent de n�gliger les effets de bord.

Consid�rons que les deux plaques m�talliques sont plac�es aux abscisses respectives z = 0 et z = e et port�es respectivement aux potentiels V₁ et V₂. Ces deux plaques forment un condensateur, c’est-�dire qu’elles portent respectivement les charges Q et −Q.
17. Rappeler les �quations de Maxwell v�rifi�es par les champs �lectrique et magn�tique dans le vide. Quelle �quation permet de justifier qu’il est possible, en �lectrostatique, d’�crire
le champ E sous la forme

18. Etablir l’�quation de Laplace v�rifi�e par le potentiel V(z) entre les plaques du condensateur.

d²V / dz² = 0.
19. R�soudre cette �quation en utilisant les potentiels V₁ et V₂ et la distance e.
On int�gre deux fois : V(z) = a z +b avec a et b des constantes.
V(0) =V₁ = b.
V(e) = V₂ = ae+V₁ ; a = (V₂-V₁) / e.
V(z) = (V₂-V₁) z / e +V₁.
20. En d�duire une premi�re expression du champ �lectrostatique E entre les 2 plaques � lʼaide de V₁, V₂ ete. Tracer, sur un sch�ma du condensateur, l’allure de quelques lignes du champ E. Pr�ciser leur orientation en supposant V₁ > V₂.

21. Le champ �tant nul � l’ext�rieur, �tablir une deuxi�me expression du champ �lectrostatique E entre les 2 plaques en fonction de Q, S et e₀ la permittivit� du vide.
Expression du champ �lectrique au voisinage d'un conducteur ( s : densit� surfacique de charge).

22. En d�duire la capacit� d’un tel condensateur plan.
(V₁-V₂) / e = Q / (S e₀) ; C₀ =Q /(V₁-V₂) = e₀S / e.

2.2 Mesure du d�placement par capteur capacitif.
23. On assimile la permittivit� di�lectrique de l’air � celle du vide e₀. Donner la valeur de C₀ pour des disques de rayon R = 3,0 cm s�par�s par une distance e = 10 μm. Commenter la valeur obtenue.
C₀ = 8,85 10^-12 x 3,14 x 0,03² / 10^-5 =2,5 10^-9 F.
Cette valeur est tr�s faible devant les capacit�s utilis�es au lyc�e ( quelques microfarads).
24. Donner l’expression de la force entre les armatures de ce condensateur si la tension entre les bornes est maintenue fixe. Calculer la valeur de cette force si la tension est maintenue � 5 V.
Energie �lectrique stock�e dans le condensateur : E =�C₀ U²=�e₀S / z U².
On d�rive � tension U constante : F = -�e₀S / e² U².
|F| =0,5 x8,85 10^-12 x 3,14 x 0,03² / 10^-10 x 5²=3,1 10^-3 N.
25. Etude du condensateur. Classe de terminale. Sp�cialit� physique-chimie.
Un professeur souhaite �tudier la charge d’un condensateur � travers un conducteur ohmique.
a. Sch�matiser le circuit �lectrique correspondant au montage.

b. Expliciter la fonction du premier code Arduino fourni par le professeur.
void setup( ) {
pinMode(9, OUTPUT);
}
void loop( ) {
digitalWrite(9, LOW);
delay(5) ;
digitalWrite(9, HIGH);
delay(5);
}
Ce programme permet de d�livrer une tension carr�e e(t) de p�riode T = 10 ms.
c. Indiquer comment l’�l�ve effectue le branchement sur le micro-controleur pour r�pondre aux exigences du second code Arduino fourni.
La broche commune � C et R est reli�e � A₀ sur la carte arduino.
d. Expliquer la ligne de code � tension=valeur*5/1023 �.
Acquisition num�rique allant de 0 � 1023 ( 1023 correspondant � 5 V).
x lue par la carte correspond � la tension 5 x / 1023.
L’acquisition lors de la charge du condensateur permet de tracer la courbe ln(5-tension) en fonction de t, ainsi que sa mod�lisation.

e. Etablir l’expression donn�e dans la question (3) de la partie � exploitation �. Expliciter l’int�r�t p�dagogique de travailler avec cette expression.
Exploitation :
1. �tablir l’�quation diff�rentielle v�rifi�e par la tension u_C aux bornes du condensateur lors de sa charge. On suppose le condensateur initialement d�charg�.
Loi des mailles : E = R i(t) + u_c(t) ; i(t) = dq(t) / dt = C du_c/dt.
E =RC du_c/dt + u_c(t)
2. D�terminer la solution de l’�quation diff�rentielle, �quation temporelle de la tension aux bornes du condensateur.
u_c(t) = A exp(-t / RC) + E.
u_c(t=0) = 0 = A+E soit A = -E.
u_c(t) = E(1- exp(-t / RC).
3. Cette solution peut s’�crire �galement sous la forme :
E- u_c(t) = E exp(-t / RC).
ln(E- u_c(t)) = ln(E) - t / (RC).
On pose t = RC ; ln(E- u_c(t)) = ln(E) - t / t.
La repr�sentation logarithmique permet de trouver le temps caract�ristique, le coefficient directeur de la droite �tant -1 / t.
f. Proposer une question utilisant le graphe obtenu pour r�pondre aux exigences du programme. Formuler une r�ponse coh�rente � cette question.
A partir du trac� de ln(E- u_c(t)) en fonction du temps, retrouver la valeur du temps caract�ristique de la charge de ce condensateur.
-1 / t = -24,4 s^-1 ; t = 1 /24,4 =0,041 s.
Afin d’expliciter la notion d’�quation diff�rentielle et sa r�alit� physique, le professeur envisage de l’aborder en activit� exp�rimentale de cours en repr�sentant du_c(ti)/dt en fonction de u_c(ti). Dans un premier temps, � l’aide du microcontr�leur, il rel�ve les valeurs de tensions successives.
Transf�r�es dans un tableur, il d�termine la d�riv�e de u_c(ti) en calculant [u_c(ti+1)-u_c(ti)] /Dt.
g. Repr�senter du_c(ti)/dt en fonction de u_c(ti). Proposer un int�r�t didactique de cette repr�sentation.
Pour la charge : du_c/dt = -1 / t (u_c-E).
Pour la d�charge : du_c/dt = -1 / t u_c.
Il existe un lien affine entre la fonction et sa d�riv�e. Le coefficient directeur �tant -1 / t.

h. Quel int�r�t scientifique pr�sente le recours � un portrait de phase, c’est-�-dire une repr�sentation du_c(ti)/dt en fonction de u_c(ti), lorsqu’on �tudie un syst�me dynamique ?
L'�tude du syst�me se fait sans calcul de la fonction ; on d�termine facilement le comportement asymptotique du syst�me dynamique selon les conditions initiales.