Transport et distribution d'�nergie �lectrique, concours CAPLP maths sciences 2022

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Le propri�taire d’une villa envisage l’installation d’une piscine chauff�e assez �loign�e de son habitation. Afin d’alimenter la pompe de filtration et la pompe � chaleur, une ligne d’alimentation �lectrique monophas�e doit �tre d�ploy�e depuis le tableau principal de la villa jusqu’au local technique accol� � la piscine.
Le technicien charg� du projet doit dimensionner la section des c�bles de cette ligne (2,5 mm� ou 6 mm�) en prenant en compte trois crit�res : le co�t d’installation (plus �lev� pour une large section), les pertes en ligne et la consommation �lectrique des pompes.
La longueur de chaque c�ble est estim�e � 50 m et le dossier technique (sch�ma �lectrique et caract�ristiques des pompes) est donn�.
Probl�matique : Quelle est la section des c�bles la plus adapt�e conform�ment � la norme NF C 15-100 ?

Partie 1 : Appropriation de la situation professionnelle par une �tude physique.
L’objectif de cette partie est de s’approprier la situation professionnelle en la simplifiant de la fa�on suivante :
- la capacit� lin�ique des c�bles et les pertes di�lectriques sont n�glig�es ;
- les contraintes de d�marrage des moteurs (intensit�s et facteurs de puissance) ne sont pas prises en compte ;
- la chute de tension correspond � la valeur efficace de DU (voir sch�ma ci-dessous).
Ces simplifications n’ont aucune cons�quence sur le r�sultat attendu.
Le sch�ma �quivalent du circuit est :

R repr�sente la r�sistance de la ligne et L son inductance.
M1 d�signe le moteur de la pompe � filtration et M2 le moteur de la pompe � chaleur.
1. Montrer � partir de la loi d’Ohm locale, que pour un conducteur rectiligne de section S, de longueur L et soumis � une tension u,
on a R = r L /  S o� r  repr�sente la r�sistivit�, en W.m, du conducteur.
 La relation qui lie la densit� de courant J au champ �lectrique E d�pend de la conductivit� du milieu : c'est la loi d'Ohm locale ( J = s E ) o� entre deux points M1 et M2 :

o� dl est �quivalent � un d�placement dx selon la direction ex entre M1 et M2 et o� n est le vecteur normal au point M1 ici.
On conna�t plus la loi d'Ohm macroscopique o� l'on d�finit la r�sistance qui lie la tension et l'intensit�. Cette loi s'�crit U = RI mais la valeur de R peut �tre parfois complexe � calculer. N�anmoins si on consid�re que le conducteur est un cylindre de section S et de longueur L entre les points M1 et M2, sa formule est assez simple car R = U / I.
Dans le cas d'un conducteur cylindrique la formule permettant de calculer la r�sistance en fonction de s, L et S.
U = E L ; I = J S et J = s E. Par suite : I = s E S et R = U / I = L / ( s  S)= r L /  S.
s : conductivit� ( S m-1) ; L : longueur (m) ; S : section (m2) ; R r�sistance (ohm W).
2. On s’appuiera sur les documents 1.2 et 1.3. Calculer R, en W, et L, en H, pour des c�bles en cuivre ayant des conducteurs de section 2,5 mm� ou 6 mm�.
Bien qu’utilisant du c�ble � trois conducteurs, on consid�rera la valeur de a d’un c�ble � deux conducteurs (le fil de terre ne transporte pas d’�nergie �lectrique en fonctionnement normal).
r = 2,2 10-8 W m ; R2,5 =2,2 10-8 x 100 / (2,5 10-6)=0,88 ohm ; R6 =2,2 10-8 x 100 / (6 10-6)~0,37 ohm.
L =0,05 +ln( 2a/ r) en �H / m avec a = r+1 mm et r rayon du c�ble.
Section 2,5 mm2 : r ~0,892 mm ; L =0,05 +ln(3,78 / 0,892 )~1,5 �H / m ; L = 1,5 10-4 H.
Section 6 mm2 : r ~1,38 mm ; L =0,05 +ln(4,76 / 1,38 )~1,24 �H / m ; L ~ 1,2 10-4 H.
3. Montrer, en calculant le facteur de puissance cos fL de la ligne, que l’on peut n�gliger son effet inductif quel que soit, parmi les deux valeurs possibles, le diam�tre des c�bles choisi.
tan fL = L w / R avec w = 2 p f = 314 rad / s.
Section 2,5 mm2 : tan fL = 1,5 10-4 x314 / 0,88 ~0,054 ; cos fL ~0,999.
Section 6 mm2 : tan fL = 1,2 10-4 x314 / 0,37 ~0,102 ; cos fL ~0,995.
4. Dans un premier temps, on n�glige DU et on a donc US = 230 V. Calculer les puissances active, r�active et apparente totales, not�es respectivement P (en W), Q (en VAR) et S (en VA), de l’ensemble form� par les deux moteurs (chauffage et filtration) en fonctionnements simultan�s.
Pompe de filtration : intensit� nominale chauffage 11,6 A. Pompe de filtration : I = 5,8 A.
Pompe de filtration : P = 1,1 kW ; S = 230 x 5,8 =1334 VA ; cos f =P / S = 1100 / 1334 =0,825 ; sin f =0,566 ; Q = 1100 x0,566 =623 VAR.
 Pompe � chaleur : P = 2,35 kW ; S = 230 x 11,6 =2668 VA ; cos f =P / S = 2350 / 2668 =0,880 ; sin f =0,473 ; Q = 2350 x0,473 =1113 VAR.
 Ptotale =1,1 +2,35 = 3,45 kW.
Qtotal =623 +1113 =1736 VAR.
S2 =P2+Q2 =34502 +17362 =1,49 107 ; S = 3862 VA.
5. En d�duire que l’intensit� totale I consomm�e par les deux moteurs est d’environ 17,4 A.
Stotal / U =3862 / 230 ~16,8 A.
6. R �tant n�gligeable devant la r�sistance �quivalente des deux moteurs, on consid�rera que l’intensit� du courant qui circule dans la ligne a pour valeur I. Calculer DU, commenter.
DU =R2,5I =0,88 x17,4 =15 V soit 15 / 230 ~0,065 ( 6,5 %), sup�rieure � 5 %..
DU =R6I =0,37 x17,4 =6,4 V soit 6,4 / 230 ~0,028 (2,8 %) n�gligeable dans ce cas.
7. Calculer les pertes de puissance par effet Joule pour les deux sections de conducteurs.
R2,5I2 =0,88 x 17,42 = 266 W ; R6I2 =0,37 x 17,42 =112 W.
8. En d�duire le c�ble le plus adapt�, sachant que le co�t d’installation (inconnu) ne saurait �tre pr�pond�rant devant le respect des normes en vigueur.
C�ble 6 mm2.

Partie 2 : La situation professionnelle en classe de premi�re en physique-chimie.
Pour permettre aux �l�ves de premi�re M�LEC de r�pondre � la probl�matique soulev�e par la situation professionnelle, le professeur organise une activit� lors d’une s�ance de travaux pratiques.
9. Proposer une exp�rimentation (liste du mat�riel, montage exp�rimental et protocole) permettant d’illustrer qualitativement les pertes en ligne et la cons�quence qui en d�coule pour le consommateur.
10. Pr�ciser les points de vigilance � respecter dans l’activit� que le professeur donnerait � ses �l�ves (notions � ne pas aborder, formules et valeurs � donner).
11. Lister les questions qu’il poserait dans cette activit� (elle contient n�cessairement une partie exp�rimentale et les diff�rents calculs pourront �tre demand�s sous la forme d’un tableau � compl�ter).
12. Pour chaque question propos�e � la question 11., lui associer au moins une comp�tence.
 La centrale �lectrique sera mod�lis�e par un g�n�rateur 12 V continu.
  La ligne �lectrique de 100 km est mod�lis�e par deux fils �lectriques associ�s chacun � une r�sistance R = 10 ohms.
Les habitations et les usines sont mod�lis�es par une simple ampoule (12V ; 250 mA).
Amp�rem�tre et voltm�tres.
  Mesurer les tensions UG, UL et l’intensit� Iligne du courant et compl�ter le tableau suivant :
Tension aux bornes du g�n�rateur
 Tension aux bornes de la lampe
 Intensit� du courant dans le circuit
 Puissance d�livr�e par le g�n�rateur
 Pertes de puissance en lignes
 Puissance re�ue par la lempe
UG=
 UL=
 Iligne
 PG = UG Iligne =
 Pperte =
 Plampe =Ulampe Iligne =
 Proposer une explication au faible �clairement de la lampe.
Comment optimiser les pertes en lignes ?
Pertes par effet Joule en ligne : Rligne I2.
Rligne est proportionnelle � la longueur et inversement proportionnelle � la section.
Pour une longueur fix�e, augmenter la section.
Puissance = U x I ; pour une puissance donn�e, augmenter la tension, c'est faire chuter l'intensit�.
Capacit� : justifier l'int�r�t du transport d'�nergie �lectrique � grande distance sous haute tension.
Comp�tences : r�aliser, analyser, valider.

Partie 3 : La s�quence correspondante en classe de premi�re en physique-chimie.
L’activit� pr�c�dente a permis d’introduire la partie du programme d’�lectricit� � Transporter l’�nergie sous forme �lectrique � et la notion de pertes en ligne. Le professeur souhaite la compl�ter en s’appuyant sur les questions suivantes.
13. Proposer une exploitation p�dagogique du document 3.1 et l’objectif vis�. Les approximations de ce document devront �tre signal�es.

Quelle est la part des �nergies renouvelables dans la production d'�nergie �lectrique ?
Quel est l'int�r�t du transport d'�nergie �lectrique � grande distance sous haute tension ?

14. Le document 3.2 est un extrait d’�valuation certificative. Les r�sultats exp�rimentaux partiels sont donn�s dans le tableau.
a. Calculer les valeurs manquantes dans ce tableau et proposer une r�ponse � la question B.6
b. Pr�ciser les comp�tences  �valuables dans la question B.6.
B.3 R�aliser le montage suivant :

B.4 R�gler le rh�ostat sur R = 5 ohms et compl�ter la colonne 1 du tableau en pr�ciser les unit�s.

Mesures avec T1 et T2.
 Mesures sans T1 et T2.
Puissance fournie par le g�n�rateur. Lue sur le wattm�tre
 PG = 9,3 W
 PG = 9,3 W
Intensit� du courant dans les lignes
lue sur l'amp�rem�tre.
 I = 0,12 A
 I = 0,5 A
Puissance perdue par effet Joule en ligne
PJ = RI2.
 PJ = 2 x5 x0,122 =0,144 W
 PJ = 2 x5 x0,52 =2,5 W
Rapport des puissances ( en %)
 PJ / PG =0,144 / 9,3 x100
=1,54 %
 PJ / PG =2,5 / 9,3 x100
=26,9 %
B.5 Retirer T1 et T2 du montage et compl�ter la collonne 2 du tableau.
B.6 R�diger une conclusion montrant l'int�r�t de transporter l'�nergie �lectrique � haute tension.
Pour une puissance donn�e, augmenter la tension, c'est faire chuter l'intensit� en ligne, donc l'effet joule ( pertes en lignes).
Comp�tences : analyser, valider.
15. Proposer une activit� exp�rimentale destin�e aux �l�ves permettant d’illustrer le seul r�le de T1 (montage, protocole, ce qui est attendu, ce qu’il faut retenir).
Tension aux bornes du g�n�rateur : 9,3 / 0,5 =18,6 V. T1 transformateur abaisseur de tension.
Mat�riel : un G.B.F muni d’une fiche B.N.C. en position sinuso�dale et r�gl� sur la fr�quence f = 50 Hz. Un transformateur d�montable constitu� :  d'une bobine de 500 spires, d'une bobine de 1000 spires, d'une culasse pour le noyau.
Un interrupteur, des fils conducteurs, un dispositif Exao avec des capteurs voltm�tre et amp�rem�tre.
Relever les tensions et les intensit�s efficaces.
Calculer les rapports Us / Up et np / ns et conclure.
16. Le document 3.3 reproduit une copie d’�l�ve. La corriger en pr�cisant les annotations �ventuelles qu’il conviendrait de mettre sur la copie de l’�l�ve et les comp�tences �valu�es lors de chaque question.

Partie 4 : Minimisation des pertes en ligne par effet Joule en classe de premi�re en math�matiques.
Le professeur d�cide d’une exploitation en math�matiques du probl�me des pertes par effet Joule en le consid�rant d’un point de vue plus global : l’interconnexion en r�seaux des lignes de transport depuis les centrales de production jusqu’aux consommateurs. Pour ce faire, le professeur s’appuie sur un mod�le simplifi� compos� de :
 deux centrales de production ;
 quatre lignes de transport uniquement r�sistives R1, R2, R3 et R4 ;
deux villes Ville 1 et Ville 2 qui consomment une puissance constante et qui sont uniquement r�sistives ;
d'un noeud d’interconnexion.

On cherche � d�terminer les intensit�s I1 et I2 qui minimisent la puissance totale P perdue par effet Joule sur l’ensemble du r�seau. Cette puissance P est �gale � R1I12+R2I22+R3I32+R4I42.
Les intensit�s doivent satisfaire les contraintes suivantes :
0≤ I1≤ I1max et 0≤ I2≤ I2max (la capacit� de production des centrales est limit�e) ;
 I1max+ I2max > I3+I4 (la production des centrales permet de r�pondre � la consommation des villes) ;
 I3 et  I4 sont constantes (la puissance consomm�e par chaque ville est constante) ;
  I1+ I2= I3+ I4=K (o� K est une constante).
17. D�terminer en fonction de K, I1max et I2max l’ensemble D des valeurs de I1 pour lesquelles ces contraintes sont satisfaites.
I1+ I2 < I1max+ I2max ; K < I1max+ I2max ;  I1≤ I1max ;
K+I1  < 2 I1max+ I2max ; 0 < I1  < 2 I1max+ I2max -K.
18. On note Pc=R3 I32+R4 I42. Montrer que P=(R1+R2 )I12−2KR2I1+Pc+K2R2.
P =R1I12+R2I22+R3I32+R4I42 =R1I12+R2I22+Pc.
I2=K-I1 ; P =R1I12+R2(K-I1)2+Pc =R1I12+R2I12+K2R2-2KR2I1.
19. Soit f la fonction d�finie et d�rivable sur l’ensemble D d�termin� � la question 17, d’expression f(x)=(R1+R2 )x2−2KR2x+Pc+K2R2.
�tudier la fonction f et dresser son tableau de variations.
f '(x) =2(R1+R2 )x−2KR2 ; f '(x) = 0 si x = KR2 / (R1+R2 ).
f '(x) > 0 si x > KR2 / (R1+R2 ) et f est croissante.
f '(x) < 0 si x < KR2 / (R1+R2 ) et f est d�croissante.

Dans la suite, on consid�re une maquette du mod�le simplifi� pour laquelle on a les valeurs suivantes :
R1 = 0,1 ohm ; R2 = 0,2 ohm ; R3 = 0,1 ohm ; R4 = 0,2 ohm ; I1max = 4 A ; I2max = 6 A ; I3=2 A ; I4=3 A.
20. Donner, dans ce cas, l’ensemble de d�finition de la fonction f et montrer que : f(x)=0,1x2+0,2(5−x)2+2,2.
0 < I1  < 2 I1max+ I2max -K.
0 < I1  < 14 -5 ;  0 < I1  < 9.
Pc =0,1 *22+0,2*32=2,2.
f(x) =0,3 x2-2x +2,2+25*0,2 =0,3 x2-2x +7,2.
0,1x2+0,2(5−x)2+2,2 =0,1x2+0,2x2+5-2x+2,2 =0,3 x2-2x +7,2.
21. D�terminer le minimum de la fonction f et pr�ciser la valeur de x pour laquelle ce minimum est atteint.
x = 2 / 0,6 =10 /3.  Minimum : 0,3 * 100 /9-2*10 /3 +7,2 =10 / 3-20 / 3 +72 /10 = -10 /3 +72 / 10 =(-100 +216) / 30 =116 / 30 ~3,87.
22. On admet que la fonction f dont l’expression a �t� �tablie � la question 20 mod�lise les pertes en ligne en fonction de l’intensit� I1. Plus pr�cis�ment, f(x) est la puissance, en watts, dissip�e par effet Joule sur le r�seau, lorsque x est l’intensit� I1, en amp�res,
En d�duire les valeurs de I1 et I2 qui minimisent les pertes par effet Joule sur le r�seau.
I1 = 116 / 30 ~3,87 A. I2 = K-I1 =5-116 / 30 =34 / 30 ~1,13 A.
23. R�diger un texte de pr�sentation d’une activit� et sa probl�matique, correspondant � la situation �tudi�e, qui pourrait �tre propos�e � des �l�ves de premi�re professionnelle M�LEC.
Les pertes en ligne lors du transport de l'�nergie �lectrique peuvent s'exprim�es par f(x) = 0,3 x2-2x +7,2 avex apparteant � [0 ; 5 ]. Ces pertes sont minimales si x = 10 / 3.
 Probl�matique : cette donn�e  est-elle correcte ? 
24. R�diger ensuite les questions permettant de r�pondre � cette probl�matique en indiquant pour chacune d’elles les capacit�s et connaissances du module � Fonctions d�riv�es et �tudes des variations d'une fonction � mises en oeuvre.
Calculer la d�riv�e f '(x) ; �tudier son signe et donner le tableau de variations de f(x).
25. Un commentaire du module � Fonctions d�riv�es et �tudes des variations d'une fonction � indique � On visualise graphiquement la diff�rence entre extremum local et extremum global �. La fonction f �tudi�e dans cette partie est-elle adapt�e pour sensibiliser les �l�ves � cette diff�rence ? Justifier la r�ponse.
Oui.
26. Un autre commentaire de ce module indique : � La formule de d�rivation de la fonction carr� est conjectur�e � l’aide des outils num�riques puis admise �.
Expliquer comment � l'aide du fichier nomm� � conjecture �, dont une capture d'�cran est fournie sur le document 3.4, les �l�ves peuvent conjecturer la formule de d�rivation de la fonction carr�.

Le coefficient directeur de la tangente en un point est �gal au nombre d�riv�e en ce m�me point.
Choisir diff�rentes valeurs de x et comparer chaque valeur avec le coefficient dirceteur de la tangente � la courbe.

Partie 5 : Prolongement en classe de terminale en physique-chimie.
Le transport de l’�nergie �lectrique � haute tension, qui met en jeu des pyl�nes en acier prot�g�s contre la corrosion, permet un prolongement possible en classe de terminale professionnelle M�LEC sur le th�me de la protection des m�taux contre la corrosion.
27. Pr�ciser les capacit�s et connaissances du programme concernant sp�cifiquement ce th�me .
Classer exp�rimentalement les couples oxydant / r�ducteur.
Identifier l'oxydant et le r�ducteur dans une transformation d'oxydor�duction.
Pr�voir une r�action d'oxydor�duction et prot�ger les m�taux contre la corrosion.
28. Proposer une s�quence p�dagogique portant sur ce th�me, en d�taillant l’ordre des s�ances et en explicitant les exp�rimentations envisag�es.
29. Pr�senter une s�ance de travaux pratiques qui aborde d’une part la mise en �vidence du ph�nom�ne de corrosion d’un m�tal et d’autre part la protection contre la corrosion d’un m�tal. On indiquera en particulier la probl�matique, le mat�riel disponible, la d�marche et les conclusions attendues.

Vous disposez de trois solutions :
 solution contenant des ions Cu2+ ;  solution contenant des ions Zn2+ ;  solution contenant des ions Fe2+
Vous disposez aussi d’�chantillons de trois m�taux diff�rents :  du fer, du cuivre et du zinc.
Tremper dans chaque solution un m�tal et observer.
La paille de fer se cuivre et la solution se d�colore.
Test de pr�sence d'ions dans la solution : ajout de quelques gouttes de soude : observation d'un pr�cipit� vert caract�ristique des ions Fe2+.

Lame de zinc dans la solution de sulfate de fer II :
Les ions Fe2+ disparaissent et un pr�cipit� blanc d'hydroxyde de zinc appara�t qui se dissout dans un exc�s de soude.

30. D�crire les protocoles des exp�riences cit�es � la question 29, citer les capacit�s du programme qu’elles permettent de d�velopper et donner la trace �crite correspondante, telle qu’elle pourrait figurer dans le cahier d’un �l�ve.
Classification �lectrochimique de quelques m�taux ; r�gle du gamma. Capacit�s : r�aliser, observer,formuler des hypoth�ses.
31. Le zinc prot�ge le fer de la corrosion gr�ce au principe de l’anode sacrificielle. Justifier cette affirmation.
Placer dans la bo�te de P�tri trois clous entour�s de tortillons de cuivre, zinc et magn�sium ; Recouvrir les clous de la solution d’eau de Javel.
Seul le clou entour� de fil cuivre subit une oxydation ; les deux autres restent intacts.
Le fer est attaqu� lorsqu’il est associ� � un m�tal moins r�ducteur que lui comme le cuivre ; par contre, il est prot�g� par le zinc et le magn�sium qui sont des m�taux plus r�ducteurs.
C’est le principe de protection du fer contre la corrosion par anode sacrificielle 
32. Citer deux autres moyens de protection du fer contre la corrosion.
 Rev�tement du m�tal par des peintures, laques, films plastiques, vernis ou rev�tements m�talliques (nickelage, argenture, cadmiage…).

Partie 6 : Prolongement en classe de terminale en math�matiques sur le module � Trigonom�trie �.
L’association en d�rivation des deux moteurs (chauffage et filtration) (voir sch�ma de la partie 1) est l’occasion de travailler en classe de terminale sur le module � Trigonom�trie �.
33. Proposer la trame d’une activit� permettant de d�velopper la capacit� du programme � �tablir des liens entre le vecteur de Fresnel d’une tension ou d’une intensit� sinuso�dale de la forme a sin(wt+f) et la courbe repr�sentative de la fonction qui � t associe a sin(wt+f)�.

34. En se repla�ant dans les conditions de la question 5, montrer que les expressions i1(𝑡) et i2(𝑡) des intensit�s des courants traversant respectivement la pompe � filtration et la pompe � chaleur, peuvent s’�crire (en choisissant judicieusement l’origine des temps et en arrondissant les d�phasages au centi�me) :
𝑖1(𝑡)= 5,8 √2sin(100pt+0,60) et 𝑖2(𝑡)=11,6 √2 sin(100p𝑡+0,49).
Pompe de filtration : sin f =0,566 ; f =0,60 rad ( 34 degr�s) ; pompe � chaleur : sin f =0,473 ; f =0,49 rad. (28 degr�s ).
w = 2 pf = 100 p rad /s.
 35. L’expression de l’intensit� du courant dans la ligne alimentant les deux moteurs v�rifie la relation :
𝑖(𝑡)=𝑖1(𝑡)+𝑖2(𝑡). En s’aidant des vecteurs de Fresnel repr�sentant les courants 𝑖,𝑖1 et 𝑖2, d�terminer l'expression de 𝑖(𝑡) en fonction de 𝑡.


Partie 7 : Conception d’une s�quence d’enseignement en math�matiques portant sur le module � Trigonom�trie �.
Cette s�quence, destin�e � des �l�ves de terminale professionnelle M�LEC, porte sur les �quations de la forme cos 𝑥= 𝑎, sin𝑥=𝑏 et sin (wt+f))=𝑐 sur un intervalle donn�.
36. Pr�ciser le nombre de s�ances pr�vues et, pour chacune d’elles, la trace �crite qui pourrait figurer dans le cahier d’un �l�ve.
Utilise le tableau virtuel g�ogebra.
Exemple : cos x = 0,5 est �quivalent � cos x = cos (p/3).
Deux solutions x = � p/3 + 2kp.

Exemple : sin x = 0,5 est �quivalent � sin x = sin (p/6).
Deux solutions x =  p/6 + 2kp.et x =p- p/6 + 2kp.
37. Pr�senter la s�ance qui aborde la r�solution de l’�quation sin (wt+f)= 𝑐. On pourra prendre appui sur la situation professionnelle �tudi�e dans la partie 6.
On pr�cisera en particulier :
- les activit�s propos�es et les t�ches attendues de l’�l�ve ;
- l’organisation p�dagogique et le r�le de l’enseignant ;
- les modalit�s de mise en oeuvre des outils num�riques et leur plus-value.

  
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