Pasteurisation du lait, �tamage d'une cuve en cuivre, concours CAPLP maths sciences 2022

Partie B : Pasteurisation.
La pasteurisation du lait avant la mise en bouteille se fait dans une cuve en cuivre. Le contr�le de la temp�rature se fait � l’aide d’un dispositif �lectronique bas� sur une thermistance .
Partie B-1 : La thermistance.
22. Donner une br�ve d�finition d’une thermistance.
Une thermistance est un composant �lectronique dant la r�sistance varie en fonction de la temp�rature.
On donne l’�quation g�n�rale de la r�sistance d’une thermistance CTN :
R = R₀ exp(B(1 / T-1/T₀)).
T : temp�rature ambiante en K
T₀ : temp�rature de r�f�rence � 25 �C (soit 298 K)
R₀ : r�sistance � 25 �C
B : indice de sensibilit� thermique
23. Donner la dimension de B. Une justification est attendue.
Le terme en exponentielle est sans dimension, donc B / T est sans dimension ; B est en kelvin.
24. Que signifie CTN ? Donner l'allure de l'�volution de la valeur de la r�sistance en fonction de la temp�rature pour une thermistance CTN.
CTN : coefficient de temp�rature n�gatif.

25. Proposer un protocole exp�rimental qui permet de repr�senter graphiquement cette �volution.
On utilise le montage en pont de Wheststone suivant :

On veut choisir judicieusement les r�sistanes R₁, R₂ et R₃ de mani�re � lin�ariser l'�volution de V en fonction de la temp�rature.
Pour lin�ariser la mesure, on impose V=0 pour q = 25�C, V = 1 V pour q = 50�C et V= 2 V pour q = 75�C.

Partie B 2 : La cuve en cuivre
B 2.1 �tude structurale.
Le cuivre pur cristallise dans le syst�me cubique � faces centr�es.
Le rayon d’un atome de cuivre est d’environ 130 pm.
26. Repr�senter la maille �l�mentaire du cuivre pur (vue en perspective cavali�re ou en projection). D�terminer le nombre d’atomes par maille.

- Chaque atome situ� au centre d'une face, donc commun � deux mailles compte pour � : il y a 6 faces soit 6*0,5 = 3 atomes.
- Chaque atome situ� � un sommet, donc commun � huit mailles compte pour 1/8 : il y a huit sommets donc 8 /8= 1 atome.
27. En adoptant le mod�le de sph�res dures ind�formables, d�terminer la valeur de la masse volumique du cuivre. Comparer avec la valeur donn�e 8960 kg m^-3 et critiquer.
Masse des 4 atomes de cuivre : m= 4 x M(Cu) / N_A =4 x0,0635 / (6,02 10²³) =4,2 10^-25 kg.
a = 4 x130 10^-12 /1,414 ~3,68 10^-10 m ; volume de la maille : V =(3,68 10^-10)³ ~4,97 10^-29 m³.
m / V =4,2 10^-25 / (4,97 10^-29)=8,4 10³ kg m^-3.
Ecart relatif avec la valeur donn�e :(8,96 -8,4) / 8,96~0,06 ( 6 %).
Les entit�s de cuivre ne sont pas des sph�res parfaites.
Par ailleurs, le cuivre peut former de nombreux alliages, par insertion ou substitution.

B 2.2 : Capacit� thermique du cuivre.
28. Donner, en le justifiant, la fonction d’�tat adapt�e � la transformation s’effectuant � la pression atmosph�rique lors de l’�talonnage du calorim�tre.
A pression constante, la fonction adapt�e est l'enthalpie.
29. � l’aide des donn�es num�riques fournies, d�terminer puis calculer la capacit� thermique C_cdu calorim�tre (incluant agitateur, thermistance et r�sistance chauffante).
Une masse me d’eau m_e=0,600 kg, de capacit� thermique massique c_e=4 185 J kg^-1 K^-1 est introduite dans le calorim�tre et une r�sistance chauffante (de r�sistance �lectrique r=230 ohms) y est immerg�e, sans �tre aliment�e dans un premier temps. Apr�s �quilibre, la temp�rature de l’ensemble eau calorim�tre est θ_i=23,2�C. La r�sistance chauffante est ensuite aliment�e sous une diff�rence de potentiel U=120 V et, au bout d’un temps Δt=9 min, la temp�rature de l’ensemble atteint la valeur d’�quilibre θ_f=36,1�C. Les fuites thermiques sont n�glig�es.
Energie �lectrique fournie : U I Dt =U² / r Dt = 120² /230 x9 x60=3,38 10⁴ J.
Energie re�ue par l'eau et le calorim�tre : (m_e c_e +C_c)(θ_f -θi)=(0,600 x4185+C_c) x12,9=3,24 10⁴ +12,9 C_c.
3,38 10⁴ =3,24 10⁴ +12,9 C_c; C_c ~109 J K^-1.
30. D�terminer puis calculer la capacit� thermique massique du cuivre c_Cu.
Un �chantillon parall�l�pip�dique de cuivre de masse m_cu (aire de la section S=25 cm², �paisseur L=3 cm, masse volumique ρ _Cu=8960 kg m^-3) et de capacit� thermique massique c_cu est introduit dans un four r�gul� en temp�rature o� il atteint, apr�s �quilibre, la temp�rature θ₁=250�C. Cet �chantillon est ensuite plong� le plus rapidement possible dans le calorim�tre qui renferme toujours la m�me masse d’eau m_e � la temp�rature initiale θ_i (la r�sistance chauffante n’est plus aliment�e) ; apr�s fermeture, l’ensemble {calorim�tre + eau + �chantillon} atteint la temp�rature d’�quilibre θ₂=43,8�C.
Masse de cuivre m = S L ρ _Cu=25 10^-4 x0,03 x8960 =0,672 kg.
Energie c�d�e par le cuivre : m c_cu (θ₂ -θ₁)=0,672 x(-206,2) c_cu = -138,56 c_cu J.
Energie gagn�e par l'eau et le calorim�tre : (m_e c_e +C_c)(θ₂ -θi)=(0,600 x4185+109) x20,6=5,4 10⁴ J.
Syst�me adiabatique : 5,4 10⁴ -138,56 c_cu = 0 ; c_cu =3,9 10² J kg^-1 K^-1 .

B 2.3 : Corrosion du cuivre.
On �tudie la corrosion de la cuve en cuivre � pH = 7 en milieu humide a�r�.
31. �crire la r�action pouvant s'effectuer entre le cuivre et le dioxyg�ne dissous dans la solution a�r�e et calculer sa constante d'�quilibre � 298 K. On choisira une �criture de la r�action telle que le coefficient stoechiom�trique du dioxyg�ne soit 1.
2Cu(s) = 2Cu²⁺aq + 4e^-. E�₁ = 0,34 V.
O₂(g) + 4H⁺ + 4e^- = 2H₂O(l). E�₂ = 1,23 V.
2Cu(s) +O₂(g) + 4H⁺ = 2Cu²⁺aq +2H₂O(l).
K = [Cu²⁺]²/ (P_O2[H⁺]⁴).
E₁ =E�₁ +0,06 / 4 log [Cu²⁺]².
E₂ = E�₂ +0,06 / 4 log (P_O2[H⁺]⁴).
A l'�quilibre E₁ = E₂ : E�₁ +0,06 / 4 log [Cu²⁺]² = E�₂ +0,06 / 4 log (P_O2[H⁺]⁴).
E�₂ -E�₁ =0,06 / 4 log K.
log K =4(1,23-0,34) / 0,06 =59,3 ; K =2,15 10⁵⁹.
32. D�terminer la valeur du potentiel du couple O₂(g)/H₂O � pH = 7. Pourquoi parle t on de surtension cathodique ?
E₂ = E�₂ +0,06 / 4 log (P_O2[H⁺]⁴)= 1,23 -0,06 pH si P_O2= 1 bar.
E₂ =1,23 -0,06 x7 =0,81 V.
Pendant l'�lectrolyse, au voisinage de la cathode les cations dispara�ssent ( r�duction de ces derniers ) : leur concentration diminue fortement au contact de l'�lectrode. La loi de Nernst s'appliquant, le potentiel de l'�lectrode diminue. L'�lectrolyse ne peut se poursuivre avec une vitesse acceptable, qu'en augmentant la tension appliqu�e entre les �lectrodes : c'est ce que signifie surtension.
33. D�finir et estimer le potentiel mixte de la solution a�r�e.

34. En fait, cette corrosion du cuivre est tr�s lente. Que peut on en d�duire sur les valeurs des courants cathodiques et anodiques ?
Les valeurs des courants cathodiques et anodiques sont tr�s faibles.