Math�matiques, concours recrutement professeur des �coles 2022

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Exercice 1.
Un enseignant de moyenne section de maternelle souhaite cr�er un jeu sur le mod�le du jeu de l’oie pour travailler avec ses �l�ves la construction du nombre et en particulier des d�compositions et recompositions de nombres de 1 � 6.
Il fabrique deux d�s �quilibr�s selon les patrons suivants :

Il cr�e un parcours sur lequel les �l�ves d�placent un pion selon le protocole suivant :
- l’�l�ve lance les deux d�s ;
- il avance son pion d’autant de cases que la somme des nombres inscrits sur les faces sup�rieures des deux d�s ; s’il n’obtient aucun nombre sur les deux d�s (deux faces vierges), il passe son tour.
Le plateau de jeu est mat�rialis� par une bande num�rique comme ci-dessous.

1. On lance le d� vert seul. Quelle est la probabilit� d’obtenir 3.
2 cas favorables sur 6 cas possibles.
Probabilit� d'obtenir 3 : 2 / 6 = 1 /3.
Dans la suite de l’exercice, afin de simplifier les r�ponses, on pourra consid�rer que les faces vierges correspondent au nombre 0.
2. Un �l�ve lance les deux d�s, il calcule la somme des nombres obtenus.
a. Quelles sommes peuvent �tre obtenues ?

0
1
 1
 2
 3
 3
0
 0
 1
 1
 2
 3
 3
1
 1
 2
 2
 3
 4
 4
2
 2
 3
 3
 4
 5
 5
2
 2
 3
 3
 4
 5
 5
3
 3
 4
 4
 5
 6
 6
3
 3
 4
 4
 5
 6
 6

0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6.
b. Quelle est la probabilit� qu’il doive passer son tour ?
1 cas favorable sur 36 cas possibles.
Probabilit� d'obtenir deux fois z�ro : 1 / 36.
c. Quelle est la probabilit� qu’il doive avancer de 3 cases ?
9 cas favorables sur 36 cas possibles.
Probabilit� d'avancer de trois cases : 9 / 36 = 1 / 4..
d. D�terminer la probabilit� de chacun des r�sultats possibles.
Probabilit� d'obtenir une somme �gale � 1 : 3 / 36 = 1 / 12.
Probabilit� d'obtenir une somme �gale � 2 : 5 / 36
Probabilit� d'obtenir une somme �gale � 4 : 8 / 36 =2 / 9
Probabilit� d'obtenir une somme �gale � 5 : 6 / 36 = 1 / 6.
Probabilit� d'obtenir une somme �gale � 6 : 4 / 36 = 1 / 9..
e. Quelle est la probabilit� que le r�sultat du d� vert soit strictement sup�rieur � celui du d� bleu ?
(1 ; 0 ) ; (1 ; 0 ) ; (2 ; 0 ) ; (2 ; 1 ) ; (3 ; 0 ) ; (3 ; 1 ) ; (3 ; 2 ) ; (3 ; 2 ) ; (3 ; 0 ) ; (3 ; 1 ) ; (3 ; 2 ) ; (3 ; 2 ).
12 cas favorables sur 36 cas possibles : 12 / 36 = 1 / 3.
 3. Apr�s deux tours de jeu, un �l�ve est arriv� sur la case 10 . Quelle est la probabilit� qu’il se soit arr�t� sur la case 4 au premier tour ?

Probabilit� qu’il se soit arr�t� sur la case 4 au premier tour : 8 / 324 / (25 / 324) =8 / 25 =0,32.

 Exercice 2.
Un nombre d�cimal est souvent d�fini de la fa�on suivante : � Un nombre d�cimal est un nombre pouvant s’�crire sous la forme a / 10n o� a est un nombre entier et n est un nombre entier positif. �.
1. On s’appuiera sur la d�finition pr�c�dente pour r�pondre aux deux questions suivantes.
a. Montrer que 0,127 est un nombre d�cimal.
0,127 = 127 / 1000 = 127 / 103.
b. Montrer que 1 /4 est un nombre d�cimal.
1 / 4 = 0,25 = 25 / 100 = 25 / 102.
2. Dans une classe de CM2 un enseignant demande aux �l�ves de dire ce qu’est un nombre d�cimal, voici trois r�ponses propos�es par des �l�ves :
- �l�ve A : � Un nombre d�cimal est un nombre avec une virgule. �
- �l�ve B : � Un nombre d�cimal est un nombre qui s’�crit avec une fraction qui a 10 ou 100 au d�nominateur. �
- �l�ve C : � Un nombre d�cimal est un nombre qui n’est pas entier. �
Expliquer pourquoi chacune des d�finitions propos�es ne convient pas d’un point de vue math�matique. On pourra notamment s’appuyer sur des contre-exemples.
A : 22 peut s'�crire 22 / 100, c'est donc un nombre d�cimal.
B : 0,127 = 127 / 1000 = 127 / 103. L'�criture ne contient ni 10 ni 100 au d�nominateur.
C : 1 = 1 / 100, c'est un nombre entier et d�cimal.
 3. Parmi les nombres suivants dire, en justifiant, lesquels sont d�cimaux et lesquels ne le sont pas : 2,48 ; 7 /25 ; 12 ; 7 / 9 ; 49 / 14.
2,48 = 248 / 100 = 248 / 102 est un nombre d�cimal.
7 / 25 = 7 x4 / (25 x4) = 28 / 100 = 28 / 102 est un nombre d�cimal.
12 = 12 / 100 est un nombre d�cimal.
7 / 9 diff�re de a / 10n car 10n n'est pas un multiple de 9. ( la somme des chiffres qui composent 10n est �gale � 1 et non � 9 ).
49 / 14 = 7 x7 /(2 x7) = 7 / 2 = 7 x5 / (2 x5) = 35 / 101 est un nombre d�cimal.
4. Le produit de deux nombres d�cimaux est-il toujours un nombre d�cimal ? Justifier.
Soit deux nombres d�cimaux A = a / 10n et B = b / 10p.
AB = a b / 10n+p.
a b est un nombre entier car c'est le produit de deux nombres entiers.
n+p est un nombre entier positif, somme de deux nombres entiers positifs.
5. Le quotient de deux nombres d�cimaux est-il toujours un nombre d�cimal ? Justifier.
7 / 9 diff�re de a / 10n car 10n n'est pas un multiple de 9.
Le quotient de deux nombres d�cimaux n'est pas toujours un nombre d�cimal.

Exercice 3.
PARTIE A.
Alice veut r�aliser une activit� avec ses �l�ves de petite section de maternelle. Elle a besoin de d�couper 30 disques de 14 cm de rayon dans des feuilles de dimensions 120 cm � 80 cm, c’est-�-dire de 120 cm de longueur sur 80 cm de largeur.
Elle aimerait les dessiner en occupant l’espace de chaque feuille en commen�ant en haut � gauche puis en continuant comme dans la figure ci-dessous.

1. Calculer l’aire de la feuille, en cm�.
A = 120 x 80 =9,6 103 cm2.
2. a. Expliquer pourquoi Alice peut tracer au maximum 4 disques dans la longueur de la feuille.
Diam�tre d'un disque : 28 cm ; 28 x4 = 112 cm, inf�rieure � 120 cm.
28 x5 = 140 cm, sup�rieure � 120 cm.
b. En d�duire le nombre maximum de disques qu’elle pourra tracer dans cette feuille.
28 x 2 =56 cm ; 28 x3 = 82 cm sup�rieur � 80 cm.
Donc 2 rang�es de 4 disques soit 8 disques.
c. Combien faut-il au minimum de feuilles pour dessiner les 30 disques ?
30 / 8 =3,75 donc il faut 4 feuilles.
3. Repr�senter � l'�chelle 1/8 une feuille de dimensions 120 cm � 80 cm avec les disques qu'elle peut contenir.

4. Calculer l’aire exacte d’un disque puis donner la valeur arrondie au centim�tre carr� pr�s.
pR2 = p x 142 =196 p ~ 616 cm2.
Dans la suite du probl�me, on consid�rera que l’aire d’un disque est de 616 cm�.
5. a. Quelle est l’aire de papier non utilis� si Alice d�coupe 8 disques dans une feuille ?
Aire de 8 disques : 8 x 616 =4928 cm2.
Aire de la feuille : 9600 cm2.
Aire de papier non utilis� : 9600 -4928 =4672 cm2.
Quelle proportion, exprim�e en pourcentage et arrondie � l’unit� de pourcentage, de l’aire totale de la feuille cela repr�sente-t-il ?
4672 / 9600 ~0,49 ( 49 %).
b. Quelle est l’aire de papier non utilis� apr�s avoir d�coup� 30 disques ?
3 feuilles avec 8 disques : aire de papier non utilis�e : 4672 x3 =14 016 cm2.
Une feuille avec 6 disques : 9600 -6 x616 =5904 cm2.
Total : 19 920 cm2.
 Quelle proportion, exprim�e en pourcentage et arrondie � l’unit� de pourcentage, de l’aire totale des feuilles utilis�es cela repr�sente-t-il ?
19 920 / (4x9600)~0,52 (52 %).
6. Pour limiter le gaspillage de papier, Alice veut choisir le format qui permettra d’obtenir le moins de chutes (en cm�) tout en gardant la m�me disposition que pr�c�demment. Elle a le choix entre plusieurs formats propos�s par un fournisseur :
Raisin : 65 cm � 50 cm.
J�sus : 75 cm � 56 cm.
Imperial : 80 cm � 60 cm.
Grand Aigle : 105 cm � 75 cm.
Grand Monde : 120 cm � 80 cm.
Pour obtenir les 30 disques, le format Grand Aigle permet-il d’obtenir moins de chutes (en cm�) que le format Grand Monde ? Justifier la r�ponse.
 Grand Aigle : 105 / 28=3,75 soit 3 disques par longueur.
75 / 28 =2,68 soit 2 disques par largeur.
Soit 5 feuilles.
Aire de 6 disques : 6 x 616 =3696 cm2.
Aire de la feuille : 105 x75 =7875 cm2.
Aire de papier non utilis� : 5 x(7875 -3696) =20 895 cm2.
Le format Grand Aigle ne permet pas d’obtenir moins de chutes.

PARTIE B.
D’autres classes veulent r�aliser la m�me activit�. La directrice se demande quel format permettra d’obtenir moins de chutes en fonction du nombre de disques � d�couper.
Pour cela, elle utilise un tableur :

1. Sans justifier, donner la formule qui a �t� saisie dans la cellule B2 et �tir�e vers le bas.
= A2*616
2. Sans justifier, donner le format permettant d’�viter au mieux le gaspillage de papier si l’on veut r�aliser 325 disques.
J�sus.
3. Les deux seuls fournisseurs disponibles ne disposent plus que de feuilles au format � Grand Monde �. La directrice veut choisir le fournisseur qui propose le tarif le plus avantageux pour acheter les feuilles n�cessaires � la r�alisation des disques. On a repr�sent� graphiquement ci-dessous le prix en fonction du nombre de feuilles command�es chez chaque fournisseur :

a. Chez un des deux fournisseurs le co�t des feuilles est proportionnel au nombre de feuilles achet�es. Lequel ? On justifiera la r�ponse.
Fournisseur A : le graphe est une droite passant par l'origine.
R�pondre aux questions suivantes par lecture graphique, sans justifier.
b. Quel est le prix que va co�ter l’achat de 15 feuilles chez chaque fournisseur ?
A : 54 € ; B : 58 €.
c. D�terminer le nombre maximal de feuilles que l’on peut acheter chez chaque fournisseur si l’on dispose d’un budget de 45 €.
A : 12 ; B : 10.
d. � partir de combien de feuilles est-il plus avantageux de commander chez le fournisseur B ?
Intersection des deux courbes : 23 feuilles.
4. On a maintenant repr�sent� sous forme de tableau les tarifs propos�s par chaque fournisseur :
Co�t d’une feuille (en €) : A 3,55 € port gratuit.
B : 2,90 € port 14,90 €.
a. Quel est le prix que va co�ter l’achat de 15 feuilles chez chaque fournisseur ?
A : 15 x3,55 =53,25 €.
B : 2,90 x15 +14,90 =58,4 €.
b. D�terminer le nombre de feuilles que l’on peut acheter chez chaque fournisseur si l’on dispose d’un budget de 312 €.
A : 312 / 3,55 ~ 87 feuilles.
B : 312 -14,90 =297,1 ; 297,1 / 2,90 ~102 feuilles.
c. � partir de combien de feuilles est-il plus avantageux de commander chez le fournisseur B ? Justifier la r�ponse.,90.
On note x le nombre de feuilles.
A : 3,55 x  ; B : 2,90 x+14,90.
3,55x < 2,90 x +14,90 ;
0,65 x <14,90 ; x < 23.
A partir de 23 feuilles, B est le plus avantageux.
d. Sachant qu’il y a 325 disques � dessiner et que l’on peut en mettre 8 par feuille, quelle entreprise la directrice va-t-elle choisir ? Quel sera le prix de cette commande ?
325 / 8 =40,625 donc 41 feuilles.
Fournisseur B : 41 x 2,90 +14,90 =133,8 €.

PARTIE C.
1. Apr�s avoir d�coup� les 30 disques, Alice veut les border d’un fil de laine. Quelle longueur de laine devra-t-elle utiliser pour border tous les disques ? On donnera le r�sultat en m�tre, arrondi au d�cim�tre.
P�rim�tre d'un disque : 2 p R = 2 x14 x3,14 =87,96 cm = 0,8796 m..
Longueur de fil : 0,8796 x30 ~26,4 m.
2. Alice met 48 minutes � dessiner et d�couper les 30 disques alors que son coll�gue Bertrand met 1 heure et 12 minutes � effectuer cette t�che.
a. Donner le temps moyen que met Alice pour d�couper un disque (en minutes et secondes).
48 / 30 =1,6 min = 1 min 36 s = 96 s.
b. Combien de temps mettront-ils pour d�couper les 30 disques ensemble ? Donner le r�sultat en minute et seconde.
Bertrand d�coupe un disque en : (3600+12x60) / 30=144 s.
Dur�e de la d�coupe t : t / 96 +t /144 =30.
1,5 t / 144 + t /144 = 30.
2,5 t =30 x144 ; t =1728 s =28 min 48 s. .

  
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