Sciences physiques, Concours EMIA, �cole militaire interarmes 2021.

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L'orage.
I. Eclair et tonnerre.

1. L'onde sonore est-elle transversale ou longitudinale ? Justifier.
Onde longitudinale : l'onde se propage dans la m�me direction que la variation de pression, succession de d�pression et surpression.
2. Calculer les longueurs d'onde correspondant � 20 Hz et 20 kHz, limites des fr�quences audibles par l'homme.
cson = 340 m / s � 20�C.
lmin = cson / fmax =340 / 20 000 =0,017 m.
lmax = cson / fmin =340 / 20 =17 m.
3. Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant.
Affirmation 1 : une onde quelconque se propage toujours dans un milieu mat�riel.
Faux, une onde �lectromagn�tique peut se propager dans le vide.
Affirmation 2 : une onde sonore peut se propager dans le vide.
Une onde m�canique ( onde sonore par exemple ) n�cessite un milieu de propagation.
Lors d'un orage, la foudre tombe � 3,4 km d'un promeneur. L'�clair et le tonnerre sont �mis simultan�ment au moment o� la foudre tombe.
4. Au bout de combien de temps le promeneur verra t-il l'�clair ? Au bout de combien de temps entendra-t-il le tonnerre ?
Eclair : t = 3,4 103 / (3,0 108)~1,1 10-5 s.
Tonnerre : t = 3400 / 340 =10 s.
5. Justifier la technique qui consiste � compter les secondes entre l'�clair et le tonnerre et � les diviser par 3 pour obtenir la distance en km � laquelle la foudre  est tomb�e.
Secondes compt�es / 3 = distance (m)  / ( 3 x 340) =distance ( km ) / (3 x0,34) ~ distance (km) / 1,02 ~ distance ( km)

II. Etude du condensateur  Terre-Ionosph�re.
On consid�re que la terre et son atmosph�re constituent les deux armatures d'un volumineux condensateur sph�rique. La terre de rayon R est charg�e n�gativement -Q, l'ionosph�re, repr�sent�e par une surface �quipotentielle de rayon R+h, porte une charge positive +Q. On suppose que l'atmosph�re situ�e entre les deux a la permitivit� du vide e0.
1. Faire un sch�ma de la situation en pla�ant un point M quelconque situ� � la distance r du centre de la terre, telle que R < r < R+h. Repr�senter le rep�re sph�rique au point M.

2. Justifier que le champ �lectrostatique en M ne d�pend que de la variable r.
Dans une distribution sph�rique, il y a invariance par rotations autour du point O, centre de la sph�re. En M le champ �lectrostatique, ne d�pend pas des coordonn�es q et j. Le champ �lectrostatique en M ne d�pend que de la variable r.
3. Citer des plans de sym�trie et d'antisym�trie de la distribution de charges passant par le point M. En d�duire la direction du champ �lectrostatique en M.
Tout plan contenant le point M et le centre O de la sph�re est plan de sym�trie de la distribution de charge. Donc le champ �lectrique en M appartient � tous ces plans, c'est � dire � la droite OM. Le champ �lectrique est selon cette droite, donc radial.
4. Appliquer le th�or�me de Gauss et montrer que
On consid�re comme surface de Gauss une sph�re de centre O et  de rayon r = OM. Le champ �tant constant sur cette surface et orthogonal � la sph�re, le flux du champ � travers cette surface est simplement le champ multipli� par la surface :
F = 4 p r2 E(r)= -Q / e0.
5. Rappeler le lien entre le champ �lectrique et le potentiel V. Donner alors l'expression du potentiel V(r) puis celle de la diff�rence de potentiel entre la terre et l'ionosph�re DV = V(R+h) - V(R).
E = -dV / dr ; V(r) = Q /(4pe0r) + V0, avec V0 une contante d'int�gration.
V(R) = Q /(4pe0R) + V0,
V(R+h)=Q /(4pe0(R+h)) + V0,
DV =Q /(4pe0) [1 /(R+h) - 1 / R]= -h Q / [4pe0(R+h)R].
6. En d�duire la capacit� C du condensateur terrestre d�finie par C = Q / DV en fonction de R, h et e0.
C = 4pe0(R+h)R / (-h)
7. Lors de l'�mission d'un �clair, la tension est de l'ordre de 100 millions de volts. Calculer la charge Q. e0 = 8,85 10-12 F m-1. R = 6371 km et h = 80 km.
R+h =6451 km = 6,451 106 m.  R = 6,371 106 m.
Q = C U = 4 x3,14 x8,85 10-12 x 6,451 106 x6,371 106 /( -8,0 104) x 108=  -5,71 106 C.
Averse.
On �tudie la chute d'une goutte d'eau, mod�lis�e par une sph�re de rayon a, de masse m, compos�e d'eau de masse volumique r = 1,0 103 kg m-3 et tombant dans l'air de masse volumique rair = 1,2 kg m-3. La goutte est soumise � une force de frottement fluide f = 6phav o� v est sa vitesse et h = 2,0 10-5 Pa s est la viscosit� de l'air.
1.  Justifier que l'on peut n�gliger la pouss�e d'Archim�de devant son poids.
V : volume de la goutte.
Poids P = V r g ; pouss�e F = Vrair g.
P / F = r / rair=1,0 103 / 1,2 ~800.
2. En utilisant la seconde loi de Newton, �tablir l'�quation diff�rentielle v�rifi�e par la vitesse de la goutte.
L'axe Oz est dirig� vers le bas.
La goutte est soumise � son poids et � la force de frottement, verticale, vers le haut.
mg -6phav = m dv/ dt.
dv / dt  +6pha / m v = g.
On pose t = m / (6pha).
dv / dt +v / t = g. (E).
 3. R�soudre cette �quation sachant que la vitesse initiale est nulle.
Solution g�n�rale de dv / dt +v / t =0 : v = A exp(-t / t) avec A une constante.
Solution particuli�re de (E) : vlim = g t.
Solution g�n�rale de (E) : v = A exp(-t / t) + g t.
La vitesse initiale �tant nulle : 0 = A+ g t ; A = -g t.
v = g t ( 1- exp(-t / t)).
4. Montrer que vlim = 2a2rg/(9h).
 vlim = g t= gm (6pha) ; m = 4 / 3 p a3r.
 vlim = 2a2rg/(9h).
A.N : a = 2,00 mm = 2,00 10-3 m.
 vlim =2 x4,00 10-6x 103 x9,81 /(9 x2,0 10-5)=4,36 102 m /s.
a = 0,10 mm = 1,0 10-4 m.
 vlim =2 x1,00 10-8x 103 x9,81 /(9 x2,0 10-5)=1,1 m /s.
 5. Dessiner l'allure du graphe de v(t) en indiquant t et vlim.

La forme ronde d'une goutte est due � son �nergie de surface Es = g S o� g = 70 mN m-1 est la tension superficielle de l'eau et S la surface de la goutte. Lorsque la goutte s'�crase, elle dissipe la totalit� dr son �nergie cin�tique Ec. Cela peut avoir pour effet de la faire exploser si son �nergie de surface est inf�rieure � son �nergie cin�tique.
 6. Rappeler la formule de l'�nergie cin�tique.
Ec = �m v2.
 7. En comparant les valeurs de Ec et Es de la goutte, d�terminer l'expression de la valeur limite du rayon de la goutte pour qu'elle ne se fragmente pas en s'�crasant.
Fragmentation si Es < Ec.
g 4pa2 < �mv2.
m = 4 / 3 pa3 r.
g < ra / 6 ; a >6 g / r.
a > 6 x70 / 1000 ; a > 0,42 mm.
8. Les gouttes de la question 4 vont-elles se fragmenter ?
La grosse goutte se fragmente ; la petite goutte ne se fragmente pas.

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 IV. R�actions nucl�aires dans les nuages.
Des isotopes radioactifs 137 N et 158O naissent au coeur des nuages d'orages.
1. Donner la composition d'un noyau d'azote 14.
7 protons et 14-7 = 7 neutrons.
2 et 3. Quelle particule est �mise lors de la r�action de transformation d'un noyau d'azote 14 en azote 13 sous l'effet d'un rayonnement g ? Ecrire l'�quation correspondante.
147 N + 00 g --> 137 N +10 X ( neutron).
4. La particule �mise a une �nergie de E0 = 10 MeV. Convertir cette valeur en joule.
10 x 106 x1,6 10-19 =1,6 10-13 J.
 5. L'azote 13 d�cro�t rapidement par radioactivit� �+. Quel est le type de particule �mise ?
Transformation d'un proton en neutron : positon 01e.
11p --> 10n +01e.
6. En d�duire la composition et la nature du noyau fils.
137 N --> 01e + 136 C.
7. Le temps de demi-vie de l'azote  13 vaut 598 s. Que signifie cette valeur ?
Au bout de 598 s, la moiti� des noyaux d'azote 13 se sont d�sint�gr�s en carbone 13.

V. Protection des circuits �lectriques contre la foudre.
Fusible simple.
Son nom vient du fait qu'il y a fusion d'un filament conducteur sous l'effet de son �l�vation de temp�rature provoqu�e par la surintensit�.
Les premiers fusibles �taient en plomb.
r = 11,35 103 kg m-3 ; Tf = 327 �C ; c = 129 J K-1 kg-1 ; g = 4,81 106 S m-1.

1. Tracer sur un graphe le calibre  In des 4 fils en fonction de leur section S. Que remarque t-on ?
Calibre In(A)
 2,5
 6
 10
 15
Diam�tre d (mm)
 0,6
 1
 1,2
 1,5
Section S =pd2 / 4 mm2
 0,282
 0,785
 1,13
 1,77
In / S
 8,86
 7,64
 8,85
 8,47

3. Quelle est la puissane P dissip�e par effet Joule dans le fusible de r�sistance R travers� par l'intensit� I ?
P = RI2.
L'�nergie �lectrique re�ue par le fusible le chauffe pendant la dur�e Dt depuis la temp�rature T0 = 20 �C jusqu'� sa temp�rature de fusion.
PDt = mc (Tf-T0).
R�sistance du fil de longueur L de section S : R = L /(gS).
4. Exprimer la masse m en fonction de sa masse volumique, de sa section et de sa longueur.
m = r L S.
5. Montrer que I est proportionnelle � S.
RI2Dt = mc (Tf-T0) ; L /(gS) I2Dt =  r L S.c (Tf-T0) .
I2Dt =  r  S2.c (Tf-T0)g .
I2 =  r  S2.c (Tf-T0)g / Dt.
I =  a S avec a = ( r c (Tf-T0)g / Dt)�=(11,35 103x129 x317 x4,81 106 / Dt)�=4,72 107/ Dt�.
6. En comparant l'expression de a obtenue � la question 5 � la valeur donn�e � la question 2, en d�duire le temps caract�ristique  du fusible Dt.
8,6 A  / mm2 =8,6 106 A  / m2.
8,6 106  = 4,72 107/ Dt�.
Dt� =47,2 / 8,6 ~5,48 ; Dt ~30 s.

Fusible compos�.

On note U la tension aux bornes des trois branches.
1. Donner la relation liant les courants I, I1, I2 et I3.
Loi des noeuds : I = I1 + I2 + I3.
2. Dessiner le circuit �quivalent � tr�s basse fr�quence ( courant quasi-continu ). A quelle condition a t-on  I1=I2=I3.
Les inductances se comportent comme des interrupteurs ferm�s ( petit fil conducteur ).

Si R1=R2=R3 alors I1=I2=I3.
On se place maintenant en r�gime sinuso�dal forc� de pulsation w.
3. D�terminer les im�dances Zi des diff�rentes branches.
 Zi = R + jLi w.
4. Donner l'expression des courants complexes Ii traversant les diff�rentes branches.
Ii = U / Zi .
5. A haute fr�quence, quel est l'effet domminant ? Quel terme peut-on n�gliger dans les expressions de Zi ?
L'effet domminant est du � l'inductance Li. Le terme R devient n�gligeable devant le terme Lw.
6. Quel est alors le d�phasage entre le courant et la tension ? Lequel est en avance sur l'autre ?
La tension est en avance de �p sur l'intensit�.

  
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